problemes convergence 1 master 2012 2013

Département de Mathématiques -Univ-Guelma Probabilités de base 2012-2013 (Kerboua M)
Problèmes divers
EX 1. Soit (Xn)n2Nune suite de variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées suivant la loi gaussienne N(0;1);X1a pour densité
x7! 1
p2ex2=2:
1. Calculer, pour s2R,EesX1.
2. Montrer que la suitde terme général
Yn=Pn
k=1 X2
k
Pn
k=1 eXk
converge presque sûrement et préciser sa limite.
EX 2. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires réelles indépendantes
et identiquement distribuées suivant la loi de Bernoulli de paramètre1=2:
P(X1= 1) = P(X1= 0) = 1=2:
On pose, pour n1,
Un=
n
X
k=1
Xk
2k
1. Soit 'la fonction caractéristique de X1. Montrer que
8t6= 0 (2); ' (t) = eit=2cos (t=2) = 1
2eit=2sin t sin (t=2):
EX 3. Les deux questions sont indépendantes.
Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires indépendantes et identique-
ment distribuées suivant la loi de Poisson de paramètre  > 0:
8k2N; P (X1=k) = ek
k!:
On note Gla fonction génératrice de X1
8jzj<1; G (z) = EzX1=e(z1):
1. (a) Calculer, pour tout n0, la fonction génératrice de Sn=
Pn
k=0 Xk+2 et préciser la loi de Sn.
(b) Exprimer à l’aide de Gla fonction génératrice de la variable aléatoire
Sdé…nie par
8!2; S (!) =
X1(!)
X
k=1
Xk+2 (!):
2. On considère, pour n1; Yn=Y
1kn
Xk:
(a) Calculer, pour n1;P(Yn6= 0):
(b) En remarquant que, pour 0<  < 1;P(jYnj> ) = P(Yn6= 0),
montrer que la suite (Yn)n1converge en probabilité vers 0.
(c) La convergence a-t-elle lieu presque sûrement ?
(d) La convergence a t-elle lieu dans L1?
EX 4. Soit (Xn)n1une suitede v.a. positives indépendantes ; pour tout
n2N,Xnsuit la loi de Bernoulli de paramètre 1=pn:
P(Xn= 1) = 1=pn; P(Xn= 0) = 1 1=pn:
On note, pour n2N,Sn=X1+::: +Xnet Yn=Sn=E[Sn].
1. Calculer, pour tout n2N,E[Sn]et V(Sn)puis véri…er que
V(Sn)E[Sn].
2. Soit  > 0. Montrer que pour tout n2N,
P(jYn1j> ) = P(jSnE[Sn]j> E[Sn]) 1
2E[Sn]:
En déduire que (Yn)n1converge vers 1en probabilité.
On rappelle que, pour n2N;2pn2
n
X
k=1
1
pk2pn:
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3. En utilisant la majoration de la question précédente, montrer que,
pour tout  > 0,
X
n1
P(jYn41j> )<+1;
et en déduire que la sous-suite(Yn4)n1converge presque sûrement vers 1.
4. On désigne par pnla partie entière de n1=4.
(a) Montrer que, pour tout n2N,
Sp4
n
E[S(pn+1)4]YnS(pn+1)4 E[Sp4
n]:
(b) Montrer que limn!+1E[S(n+1)4]=E[Sn4] = 1:
(c) En déduire que (Yn)n1converge presque sûrement vers 1.
EX 5. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires réelles indépen-
dantes et identiquement distribuées; X1a pour densité 1
2x2I[1;+1[(jxj):
On note, pour tout n1; Mn= sup1knXk:
1. (a) Montrer que A=fsupn1Xn= +1g est un événement asympto-
tique de(Xn)n1.
(b) Quelles valeurs peut prendre P(A)?
2. (a) Déterminer la fonction de répartition de X1puis, pour tout n1,
celle de Mn.
(b) Soit r2N. Montrer que lim supfMn< rg=\
n1fMn< rget en
déduire que
P(lim supfMn< rg) = 0:
(c) Montrer que, pour tout r2N,lim infn!+1Mnrpresque sûre-
ment; en déduire que limn!+1Mn= +1presque sûrement.
(d) Que vaut P(A)?
3. Montrer que la suite (Mn=n)n1converge en loi vers une variable
aléatoire Zdont on précisera la fonction de répartition.
EX 6 . Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires positives de carré
intégrable. On suppose que limn!+1E[Xn] = +1et que la suite V(Xn)
E[Xn]n1
est bornée.
1. Montrer que la suite Xn
E[Xn]n1converge vers 1dans L2.
2. On suppose que, pour tout n1,Xnsuit la loi de Poisson de
paramètre n>0c’est à dire
8k2N;P(Xn=k) = enk
n
k!;
et que X
n1
1
n<+1:
a) La suite Xn
nn1converge-t-elle vers 1dans L2?
(b) Montrer que Xn
nn1converge vers 1presque sûrement.
EX 7. Soit (Xn)n1une suite de variables aléatoires à valeurs dans [0;1] ,
indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi uniforme sur [0;1];
X1a pour fonction de répartition Foù F(t) = 0 si t < 0,F(t) = min(t; 1) si
t0.
On note, pour tout n1; Mn= max1knXk:
1. Déterminer, pour tout n1, la fonction de répartition, Fn, de Mn.
2. (a ) Calculer, pour tout n1et tout  > 0,P(j1Mnj> ):
(b) En déduire que (Mn)n1converge presque sûrement vers 1.
3. Montrer que la suite (n(Mn1))n1converge en loi vers une vari-
able aléatoire Zde fonction de répartition Gdé…nie par G(t) = etsi t0,
G(t) = 1 pour t > 0:
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