Dans tout le chapitre, le plan est muni d`un repère (O, ®i, ®j)

1ère STG
PROBABILITES
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1) Vocabulaire
Lançons un dé. A l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3,
4, 5 ou 6. Si le dé est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait),
nous sommes incapables de prévoir quelle face va apparaître. Nous
sommes en présence d’une expérience aléatoire.
1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les résultats ou les cas possibles ou les issues ou les
éventualités.
L’ensemble des issues est l’univers
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
.
Un événement est une partie de l’univers.
Par exemple, l’événement « obtenir un nombre entier strictement
supérieur à 4 » est l’événement {5, 6}.
L’événement {4} (« obtenir 4 ») ne contient qu’une seule issue : c’est
l’événement élémentaire.
L’événement « obtenir 7 » est un événement impossible ( C’est
l’ensemble vide ; ).
L’événement « obtenir l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 » est l’événement
certain ( C’est l’univers tout entier ).
L’événement formé des issues qui sont dans A et dans B est noté A
(intersection de A et B) et se lit A inter B.
B
L’événement formé des issues qui sont dans A ou dans B est noté A
(réunion de A et B) et se lit A union B.
B
Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) lorsqu’ils
n’ont aucun élément en commun, c'est-à-dire A B =
A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir 3 ou 5 » sont
incompatibles.
L’événement contraire de A est le complémentaire de A dans . ; on le
note A .
Si A : « Obtenir un nombre pair », alors A : « Ne pas obtenir un nombre
pair », c'est à dire « Obtenir un nombre impair » et A = {1 ; 3 ; 5 }.
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PROBABILITES
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2) Probabilités
Définition : Soit = {a1, a2, …, an} l’univers d’une expérience aléatoire. a1, a2,
…, an désignent les issues possibles.
On définit une loi de probabilité sur si on choisit des nombres p1, p2, …, pn
tels que, pour tout i, 0  pi 1 et p1 + p2 + … + pn = 1
pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou
parfois plus simplement p(ai).
Pour tout événement E inclus dans , on définit p(E) comme la somme des
probabilités des événements élémentaires qui définissent E.
Propriétés :
P( ) = 0 ( la probabilité de l’événement impossible est nulle )
P( ) = 1 ( la probabilité de l’événement certain est égale à 1 ).
P ( A ) = 1 – P ( A)
Exemple :
On lance un dé. Chaque face a la même probabilité d’apparaître :
1
.
6
Soit A l’événement « obtenir un nombre impair ».
1 1 1 1
P(A) = P({1}) + P({3}) + P({5}) = + + = .
6 6 6 2
3) Equiprobabilité
Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a
équiprobabilité.
Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement
1
élémentaire a pour probabilité où n est le nombre total d’issues.
n
m
Si A est événement contenant m issues, alors P(A) =
.
n
On écrit parfois P(A) =
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
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Expressions qui signifient qu’il y a équiprobabilité :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On lance une pièce parfaitement équilibrée.
On jette un dé non pipé.
Les jetons ou les boules sont indiscernables au toucher…
Exemple :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Chaque tirage est
équiprobable.
1
La probabilité de tirer le roi de trèfle est
.
52
13 1
La probabilité de tirer un trèfle est de
= .
52 4
4) Réunion de deux évènements
Définition :
On appelle événement « A ou B », l’événement constitué des issues qui
appartiennent à A ou à B.
Remarque :
L’événement « A ou B » est la réunion de deux événements : « A ou B »
= A B.
A
B
A ou B
Pour calculer P(A B), on peut calculer séparément P(A) et P(B), puis
les ajouter.
Mais les issues qui appartiennent simultanément à A et à B sont alors
comptabilisés deux fois.
On obtient donc la probabilité cherchée en retranchant P(A B).
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PROBABILITES
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Propriété :
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).
Si A B =
alors A et B sont incompatibles, P(A B) = 0 alors on
obtient : P(A B) = P(A) + P(B).
Exemple :
On lance un dé non pipé.
Soit A l’événement « obtenir un nombre impair ». A = {1 ; 3 ; 5}.
Soit B l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ». B = {1 ;
2}.
Soit C l’événement « obtenir un nombre multiple de trois ». C = {3 ; 6}.
A B est l’événement « obtenir un nombre impair ou inférieur ou égal à
2 ».
A B = {1 ; 2 ; 3 ; 5}
A B est l’événement « obtenir un nombre impair inférieur ou égal à 2 ».
A B = {1}
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
3
2 1
2
=
+ - = .
6
6 6
3
2
2
2
B et C sont incompatibles donc : P(B C) = P(B) + P(C) = + = .
6
6
3
4