TALK CH 1 16-17
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Ch. I TORSEURS I. Champ de vecteurs antisymétrique ሬሬሬԦ • On appelle champ de vecteurs, ۻ ሬሬሬԦሺۯሻ= ۻ ሬሬሬԦۯ vecteur M toute application qui associe à chaque point A de l’espace un ሬሬሬԦ est équiprojectif si et seulement si : • On dit qu’un champ de vecteurs ۻ തതതത തതതത ۯ۶ = ۰۹ ሬሬሬሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ۰ = ۯ۰ ሬሬሬሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦۯ ۯ۰ ∀ ܜ܍ ۯ۰ ሬሬሬԦ est antisymétrique si : • On dit qu’un champ de vecteurs ۻ ∀ ܜ܍ ۯ۰ ሬሬԦ ∃! ܀ ሬሬሬԦ۰ = ۻ ሬሬሬԦ ۯ+ ܀ ሬሬԦ ∧ ۯ۰ ሬሬሬሬሬԦ ۻ ሬሬሬԦA M A ∥ B K ∥ H ሬሬሬԦB M Ou encore s’il existe une matrice ሾ۴ሿ antisymétrique (ሾ۴ሿ = - ሾ۴ሿ ) ܂telle que : ∀ ܜ܍ ۯ۰ ሾ۴ሿ ܂est la matrice transposée de ሾ۴ሿ. THEOREME DE DELASSUS : Tout ሬሬሬԦ۰ = ۻ ሬሬሬԦ ۯ+ ሾ۴ሿ. ۯ۰ ሬሬሬሬሬԦ ۻ champ de vecteurs Antisymétrie ⇔ Equiprojectivité réciproquement. antisymétrique est équiprojectif et II. Torseurs ሬሬሬԦ et de son vecteur On appelle torseur un ensemble constitué d’un champ de vecteurs antisymétrique ۻ ሬሬԦ appelé résultante du torseur, vérifiant la relation de transport: associé ܀ ሬሬሬԦ۰ = ۻ ሬሬሬԦ ۯ+ ܀ ሬሬԦ ∧ ۯ۰ ሬሬሬሬሬԦ ۻ ∀ ۯ, ۰ On note le torseur en un point A sous la forme : ሬࡾ ሬԦ ሬሬԦ, ۻ ሬሬሬԦA] [T(A)]= ቊ ቋ ou encore [܀ ሬሬԦ ሬࡹ ሬሬሬԦ A est appelé moment résultant en A du torseur. Les vecteurs ۻ réduction du torseur au point A. Dans une même base, on écrit: ࡾ ሾࢀሺሻሿ = ൝ࡾ ࡾ ࡹ ࡹ ൡ ࡹ ሬሬԦ et ۻ ሬሬሬԦ A s’appellent les éléments de ܀ III. Invariant scalaire d’un torseur ሬሬԦ et de son L’invariant scalaire d’un torseur [T], noté, I[ T ] est le produit scalaire de sa résultante ܀ ሬሬሬԦA en un point A quelconque. Cette quantité est indépendante de ce point : moment ۻ ∀ ܜ܍ ۯ۰ I [ T ] ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦA = ܀ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦB = ܀ IV. Algèbre élémentaire des torseurs ሬሬԦ , ۻ ሬሬሬԦ ] ۯet [ࢀ (A)] = [܀ ሬሬԦ , ۻ ሬሬሬԦ] ۯ Soient deux torseurs : [ࢀ (A)] = [܀ • Egalité : • Addition: ሾࢀ ሿ = ሾࢀ ሿ ሾࢀሿ = ሾࢀ ሿ + ሾࢀ ሿ (∀ ) ۯ • Comoment : ሬሬሬԦ = ࡹ ሬሬሬԦ ) ࢋ࢚ ࡹ est un torseur tel que : ሾࢀሺሻሿ = ሾࢀ ሺሻሿ + ሾࢀ ሺሻሿ ⇔ • Multiplication par un scalaire (∀ ) ۯ ሬሬԦ = ܀ ሬሬԦ ( ܀ (∀ ) ۯ ⇔ ࣅ: ሾࢀሿ = ࣅ ሾࢀ ሿ ሾࢀሺሻሿ = ࣅ ሾࢀ ሺሻሿ ⇔ ሬሬԦ + ࡾ ሬሬԦ ሬࡾ ሬԦ = ࡾ ሬሬሬԦ + ࡹ ሬሬሬԦ ሬሬԦ = ࡹ et ሬࡹ est un torseur tel que : ሬሬԦ = ࣅ ࡾ ሬሬԦ (ࡾ et ሬࡹ ሬሬԦ = ࣅࡹ ሬሬሬԦ ) ሬሬሬԦ + ሬࡾ ሬሬሬԦ ሬԦ . ࡹ ሬԦ . ࡹ ሾࢀ ሺሻሿ. ሾࢀ ሺሻሿ = ሬࡾ Le comoment est un invariant scalaire qui ne dépend pas du point A : (∀ ∀ ܜ܍ ۯ۰ ) ሾࢀ ሺሻሿ. ሾࢀ ሺሻሿ = ሾࢀ ሺሻሿ. ሾࢀ ሺሻሿ Preuve : ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ ۯ+ ܀ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ܀ = ۯ ሬሬԦ . ሺۻ ሬሬሬԦ۰ + ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ . ሺۻ ሬሬሬԦ۰ + ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ ሾࢀ ሺሻሿ. ሾࢀ ሺሻሿ = ܀ ሻ + ܀ ) ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ۰ + ܀ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ۰ + ܀ ሬሬԦ . ሺ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ . ሺ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ۰ + ܀ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ۰ =܀ ሻ + ܀ ሻ = ܀ = ሾࢀ ሺሻሿ. ሾࢀ ሺሻሿ ሬሬԦ . ሺ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ . ሺ܀ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬሬሬԦ Car : ܀ ሻ = −܀ ሻ ሬሬԦ . ۻ ሬሬሬԦ = ۯ I[T] [T(A)] . [T(A)] = 2 ܀ Automoment : V. Axe central d’un torseur 1. Point central ሬሬሬԦ ۯest colinéaire à sa résultante ܀ ሬሬԦ: Le point central A d’un torseur est un point où le moment résultant ۻ Ou encore que 2. Axe central : ሬሬሬԦ܀ ܓ = ۯ ሬሬԦ, ۻ ሬሬሬԦ ∧ ሬࡾ ሬԦ = ሬԦ, ࡹ où k est un scalaire. L’axe central ሺ∆ሻ d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points centraux : ሬሬԦ ≠ ሬԦ. L’axe central n’existe que si ܀ ∆= ൛ / ሬԦൟ ሬԦ = ሬሬሬԦ ∧ ሬࡾ ࡹ Equation de l’axe central : ሬሬԦ, ۻ ሬሬሬԦ ۽൧ un torseur dont les éléments de Soit [T(O)] = ൣ܀ ሬሬሬԦO M réduction en un point O sont donnés. Soit ሺ∆ሻ l’axe central de [T] et soit A ∈∆ alors : ሬሬሬԦA ∧ ܀ ሬሬԦ = ሬԦ ۻ Ou encore : ሬሬሬԦ (ۻ O ሬሬԦ= ሬԦ +ሬሬሬԦ ∧ ܀ሬሬሬሬሬሬԦ ܀ ∧ ) ۯ۽ Ce qui donne en développant : ሬሬሬԦO ∧ ܀ ሬሬԦ + R2 ۻ ሬሬሬሬሬሬԦ ۯ۽ − ሬሬԦ ≠ ሬԦ, on obtient: Comme ܀ ሬሬԦ = ሬԦ (ሬሬሬԦ ܀. ሬሬሬሬሬሬԦ ܀ )ۯ۽ ሬሬሬԦ ሬሬԦ ∧ ሬሬሬሬԦ ܀. ሬሬሬሬሬሬԦ ܀ ۯ۽ ۽ۻ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ + = ۯ۽ቆ ቇ ܀ ܀ ܀ ሬሬԦ = alors : Soit B ∈∆ tel que ሬሬሬሬሬሬԦ ۽۰ . ܀ ሬሬԦ ∧ ۻ ሬሬሬԦ۽ ܀ ሬሬሬሬሬሬԦ = ۽۰ ܀ ሬሬሬԦB M O ሬԦ R A ሬሬሬԦA M B Axe (∆ ∆) Le point B est la projection orthogonale de O sur l’axe central ሺ∆ሻ. Donc : ሬሬሬሬሬሬԦ = ࢻ ࡾ ሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬԦ + ࡻ ࡻ ࢻ scalaire ሬሬԦሻ qui passe par le point B et de vecteur directeur ܀ ሬሬԦ. Par conséquent, l’axe central est la droite, ∆ሺ, ܀ 3. Moment central ሬሬሬԦA d’un torseur est le moment résultant en un point A de son axe central (A ∈ (∆ Le moment central ۻ ∆)). Le moment central a la même direction que l’axe central du torseur. REMARQUE Le moment d’un torseur est constant le long de : B = A • l’axe central : ∀A et B ∈ (∆ ∆) : • toute parallèle à l’axe central. = 0 ∧ // (AB) donc = A + ∧ A B = Par conséquent : Preuve : Soit A et B ∈ (∆ ∆) alors VI. Torseurs à invariant scalaire nul : Glisseurs et Couples , 9 un torseur. Soit [T(A)] =7 . A = 0 est nul, dans les cas suivants : L’invariant scalaire du torseur : I[ T ] = 1. Torseur nul 2. Glisseur 3. Couple 1. Torseur nul 2. Glisseur [0]: = 0 (∀ ∀ ) I[ T ] = 0 : En effet : M C ≠ 0 et ∀ C ∈ ∆ Le moment central d’un glisseur est nul : (car I[T] = 0) et ⊥ M A = 0 et C = 0 (car C (∆) ) Donc : // C M C =0 Un glisseur est un torseur pour lequel il existe au moins un point central dont le moment est nul. Axe central : Il faut distinguer deux cas : 1er Cas : = 0. = 0 Donc : ∧ (l’axe central passe par le point A) ) passant par le point central A et de vecteur directeur L’axe central du glisseur est la droite ∆(", . 2eme Cas : d’où A ∈∆ ≠ 0. )) passant par le point B et de vecteur directeur tel que : L’axe du glisseur est la droite ∆(., ∧ = ' 3. Couple : I[ T ] = 0 = 0, Un couple est un champ uniforme: et A ≠ 0 = . Par construction, un couple ne possède pas d’axe central. Exercice 1 défini par : Dans un repère @ (O; A, B, 1) orthonormé direct, on considère le champ de vecteurs C + (−'D − EF + (E − &)G + EH)B + (D + EF − EG + (& − E)H)1 = (D + (& − E)F + EG − EH)A C Où x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère (@), a et b sont deux constantes réelles. 1. ‘Anti-symétriser’ ce champ. 2. Déterminer alors les éléments de réduction au point O du torseur associé. 3. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : a = 0 et I ≠ 0
