TALK CH 1 16-17

B
A
M
MM
M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A
AA
A
M
MM
M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
B
BB
B
H
K
∥
∥∥
∥
∥
∥∥
∥
Ch. I TORSEURS
I. Champ de vecteurs antisymétrique
• On appelle champ de vecteurs, ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
toute application qui associe à chaque point A
de l’espace un
vecteur M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሺۯሻ= ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ
• On dit qu’un champ de vecteurs ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
est équiprojectif si et seulement si :
∀ ۯ ܍ܜ ۰ ۯ۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۰=ۯ۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ
ۯ۶
ത
ത
ത
ത
=۰۹
ത
ത
ത
ത
• On dit qu’un champ de vecteurs ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
est antisymétrique si :
∀ ۯ ܍ܜ ۰ ∃! ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۰= ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ۯ۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Ou encore s’il existe une matrice ሾ۴ሿ antisymétrique (ሾ۴ሿ = - ሾ۴ሿ
܂
) telle que :
∀ ۯ ܍ܜ ۰ ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۰= ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ+ሾ۴ሿ. ۯ۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሾ۴ሿ
܂
est la matrice transposée de ሾ۴ሿ.
THEOREME DE DELASSUS : Tout champ de vecteurs antisymétrique est
équiprojectif et
réciproquement.
Antisymétrie
⇔
Equiprojectivité

II. Torseurs
On appelle torseur un ensemble constitué d’un champ de vecteurs antisymétrique ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
et de son vecteur
associé ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
appelé résultante du torseur, vérifiant la relation de transport:
∀ ۯ,۰ ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۰= ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ۯ۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
On note le torseur en un point A sous la forme :
[T(A)]= ቊ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
࡭
ቋ
࡭
ou encore [܀
ሬ
ሬ
Ԧ
, ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A]
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A est appelé moment résultant en A du torseur. Les vecteurs ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
et ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A
s’appellent les éléments de
réduction du torseur au point A.
Dans une même base, on écrit: ሾࢀሺ࡭ሻሿ=൝ࡾ
૚
ࡹ
૚࡭
ࡾ
૛
ࡹ
૛࡭
ࡾ
૜
ࡹ
૜࡭
ൡ
III. Invariant scalaire d’un torseur
L’invariant scalaire d’un torseur [T], noté, I[ T ] est le produit scalaire de sa résultante ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
et de son
moment ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A en un point A quelconque. Cette quantité est indépendante de ce point :
∀
∀∀
∀ ۯ ܍ܜ ۰ I
[ T ]
= ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
. ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A
= ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
. ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
B

IV. Algèbre élémentaire des torseurs
Soient deux torseurs : [ࢀ
૚
(A)] = [܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
, ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚ۯ
] et [ࢀ
૛
(A)] = [܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
, ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛ۯ
]
• Egalité : ሾࢀ
૚
ሿ= ሾࢀ
૛
ሿ ⇔
⇔⇔
⇔ (∀ ۯ ) ( ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
=܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
ࢋ࢚ ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚࡭
=ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛࡭
)
• Addition : ሾࢀሿ= ሾࢀ
૚
ሿ+ ሾࢀ
૛
ሿ
est un torseur tel que :
(∀ ۯ ) ሾࢀሺ࡭ሻሿ= ሾࢀ
૚
ሺ࡭ሻሿ+ ሾࢀ
૛
ሺ࡭ሻሿ ⇔
⇔⇔
⇔ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
+ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
et ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
࡭
=ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚࡭
+ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛࡭
• Multiplication par un scalaire ࣅ: ሾࢀሿ=ࣅ ሾࢀ
૚
ሿ est un torseur tel que :
(∀ ۯ ) ሾࢀሺ࡭ሻሿ=ࣅ ሾࢀ
૚
ሺ࡭ሻሿ ⇔
⇔⇔
⇔ (ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ࣅ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
et ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
࡭
=ࣅࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚࡭
)
• Comoment : ሾࢀ૚ሺ࡭ሻሿ.ሾࢀ૛ሺ࡭ሻሿ= ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚.ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛࡭+ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛.ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚࡭
Le comoment est un invariant scalaire qui ne dépend pas du point A :
(∀
∀∀
∀ ۯ ܍ܜ ۰ ) ሾࢀ૚ሺ࡭ሻሿ.ሾࢀ૛ሺ࡭ሻሿ=ሾࢀ૚ሺ࡮ሻሿ.ሾࢀ૛ሺ࡮ሻሿ

Preuve :
ሾ
ࢀ
૚
ሺ
࡭
ሻ
ሿ
.
ሾ
ࢀ
૛
ሺ
࡭
ሻ
ሿ
=
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
.
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛ۯ
+
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
.
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚ۯ
=
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
.
ሺ
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛۰
+
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
∧
࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ
+
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛
.
ሺ
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚۰
+
܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚
∧
࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
)
=܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚.ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛۰+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛.ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚۰+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚ .ሺ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛∧࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛.ሺ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚∧࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ=܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚.ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૛۰+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛.ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
૚۰
=ሾࢀ૚ሺ࡮ሻሿ.ሾࢀ૛ሺ࡮ሻሿ
Car : ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚ .ሺ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛∧࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ=−܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૛.ሺ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
૚∧࡮࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ
Automoment : [T(A)] . [T(A)] = 2 ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
.ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ =૛ I
[T]
V. Axe central d’un torseur
1. Point central
Le point central A d’un torseur est un point où le moment résultant ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ
est colinéaire à sa résultante ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
:
ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
࡭∧ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
=૙
ሬ
ሬ
Ԧ
,
Ou encore que : ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ۯ=ܓ ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
, où k est un scalaire.
2. Axe central
L’axe central ሺ∆ሻ d’un torseur est la droite constituée par l’ensemble des points centraux :
∆=൛࡭ / ࡹ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
࡭∧ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
=૙
ሬ
ሬ
Ԧ
ൟ
L’axe central n’existe que si ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
≠ ૙
ሬ
ሬ
Ԧ
.

Equation de l’axe central :
Soit [T(O)] = ൣ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
, ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۽
൧ un torseur dont les éléments de
réduction en un point O sont donnés.
Soit ሺ∆ሻ l’axe central de [T] et soit A ∈
∈∈
∈∆
∆∆
∆ alors :
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A ∧
∧∧
∧ ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
= ૙
ሬ
ሬ
Ԧ
Ou encore : (ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
O + ܀
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
∧
∧∧
∧ ۽ۯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
) ∧
∧∧
∧ ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
= ૙
ሬ
ሬ
Ԧ
Ce qui donne en développant :
ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
O ∧
∧∧
∧ ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
+ R2 ۽ۯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
−
−−
− ( ܀
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. ۽ۯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
) ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
= ૙
ሬ
ሬ
Ԧ
Comme ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
≠ ૙
ሬ
ሬ
Ԧ
, on obtient:
۽ۯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= ቆ ܀
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.۽ۯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
܀
૛
ቇ ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
+܀
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۽
܀
૛
Soit B ∈
∈∈
∈∆
∆∆
∆ tel que ۽۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
= ૙ alors :
۽۰
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=܀
ሬ
ሬ
Ԧ
∧ ۻ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
۽
܀
૛
Le point B est la projection orthogonale de O sur l’axe central ሺ∆ሻ. Donc :
ࡻ࡭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=ࢻ ࡾ
ሬ
ሬ
Ԧ
+ࡻ࡮
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ࢻ scalaire
Par conséquent, l’axe central est la droite, ∆ሺ࡮,܀
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ qui passe par le point B et de vecteur directeur ܀
ሬ
ሬ
Ԧ
.
(
∆
∆∆
∆
)
Axe
R
RR
R
ሬ
ሬ
Ԧ
B
A
O
M
MM
M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
O
M
MM
M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
B
M
MM
M
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
A