Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Centre d’Intérêt 8 : COURS 1 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES : TRANSMETTRE l'énergie – Aspect STATIQUE Compétences : MODELISER TP Associer un modèle à une action mécanique Associer aux liaisons un torseur d'action mécanique transmissible • Système de freinage du train avant d'un Airbus A320 Le système de freinage du train avant d’un Airbus A320 permet, par contact avec frottement entre des disques et des garnitures, de ralentir puis de stopper le mouvement de l’avion. Comment déterminer la pression hydraulique nécessaire au niveau des pistons ? MODELE TD • Porte de barrage sur la Tamise Comment déterminer l’action de l’eau sur une porte du barrage de la Tamise afin de dimensionner son système de manœuvre et la porte ? REEL • Ces exemples montrent la nécessité de définir précisément et localement les actions mécaniques qui assurent le service attendu, pour dimensionner correctement le système ou prédire ses déformations. La statique étudie les actions mécaniques qui produisent "l’équilibre" d’un système matériel. Comme en cinématique, une modélisation adaptée va être nécessaire. On vérifiera aussi, dans le cadre de ces études statiques, que les pièces sont fixes ou alors, s’il y a mouvement, qu’il soit uniforme (vitesse constante) ou bien que les masses des pièces et les accélérations soient très faibles pour négliger les effets d’inertie (et donc dynamiques). • Nous débuterons ce nouveau chapitre par un rappel sur les actions mécaniques d’un point de vue physique et mathématique. 1- QU'EST-CE QU'UNE ACTION MECANIQUE ? 1/ Définitions • Action mécanique (A.M.) : Toute cause susceptible de provoquer l’équilibre, le mouvement ou la déformation et la destruction d’un système matériel. Une action mécanique s'exprime par une force et/ou un moment. maintenir un corps en équilibre créer un déplacement déformer un corps • La FORCE : La force est une action mécanique représentée par un vecteur en un point d’application P ; est un vecteur dont la direction, le sens et la norme permettent de quantifier l’effet mécanique constaté sur le système 2 subissant la force. Son unité est le Newton (N). On appelle support de la force, l'axe défini par le point d'application et la direction de la force. Ex : action mécanique du doigt sur une touche du clavier d’ordinateur, du pneu sur la route, du fluide sur le piston 1. • Le MOMENT : Pourquoi cette notion ? Comment nommer/modéliser l’action mécanique exercée par le tournevis sur la vis ? Comment nommer/modéliser l’action mécanique exercée en A par le sol sur le panneau pour éviter qu’un vent violent en P ne le fasse basculer ? On appelle moment en A d’une force par : appliquée en P, le vecteur noté P défini L’unité est le Newton mètre (N.m). Signification physique : Il traduit la capacité de la force appliquée en P (par exemple du vent 1 sur le panneau 2) à entraîner le système en rotation autour du point A. Il est dirigé selon l'axe de rotation. CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -1- A Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Plan Caractéristiques de : Produit vectoriel - Direction : perpendiculaire au plan = ( , ) - Sens : orthonormé direct (application de la règle du tire-bouchon (ou des 3 doigts de la main droite) à partir du sens de ). défini par ( , ) dans le plan A P • 3 moyens à connaître pour une utilisation efficace de la formule du moment : 2 exemples : - A droite, un dispositif (traits forts) représente un pèse-véhicule par une lecture appropriée de l’effort Q appliqué au point A. En O, B, C, D : liaisons pivot de direction . Le poids du véhicule est appliqué au point G. - A gauche, un panneau est soumis à son propre poids. G C G On souhaite déterminer : le moment au point C du poids du véhicule ou du panneau : . On donne : . H 1- Utilisation classique du produit vectoriel pour les cas généraux en 3D : 2- Autre traduction du produit vectoriel, connaissant et CG : 3- Formule dite du "bras de levier" pour les systèmes plan essentiellement : Tracer Attention au signe : règle tire-bouchon ou celle des 3 doigts de la main droite Bras de levier = a : distance la plus courte du point de calcul du moment au support de la force. C’est donc la perpendiculaire à la force passant par le point C où l’on calcule le moment. Dans notre cas, a = CH. Ou alors : 2/ Classification On distingue : • Les actions mécaniques à distance : Elles s’exercent au niveau du volume du solide. Ex : action magnétique, action de la pesanteur, etc. • Les actions mécaniques de contact : Elles s’appliquent directement sur la surface du solide (action ponctuelle, surfacique, …). Ex : pression d’un fluide, action de contact entre deux solides, etc. 3/ Représentation mathématique • Toute action mécanique exercée par un solide 1 sur un solide 2 et caractérisée par un ensemble de forces points est modélisée par un torseur d'action mécanique dont on retiendra les 3 écritures : Titre Ecriture vectorielle globale Définition avec : Ecriture en ligne (ou "vectorielle détaillée") RESULTANTE de l’action mécanique de 1 sur 2 (indépendante du point d'expression du torseur) Ecriture en colonnes (ou "par les composantes") MOMENT en A de l’action mécanique de 1 sur 2 (dépendant du point d'expression) • Rappel sur le champ des moments : (BABAR) (permet de transporter le torseur du point A vers le point B) CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville appliquées aux -2- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur • Rq : - Pour sommer des torseurs, ceux-ci doivent tous être exprimés au même point. - Le point d'expression est aussi appelé "point de réduction" du torseur. • Actions mécaniques particulières : - Torseur couple : un torseur couple est de la forme : - Glisseur : un glisseur est de la forme : et donc s'écrit de la même manière en tout point. au point d'expression A. • Application : exercice 1 sur TD1. 2- MODELISATION D'UNE ACTION MECANIQUE sans frottement • L'étude du système de freinage de l’A320 en introduction conduit à la nécessité de représenter et d’étudier les actions mécaniques et ses effets à partir d’un modèle local (à l'échelle d'une zone infiniment petite) puis d’évoluer vers une représentation globale pour déterminer la pression dans le circuit hydraulique. Autre exemple : (cf. RDM) Disque de frein (à l’arrêt) 1/ Modélisation locale d’une action mécanique : Plan tangent au contact entre 1 et 2 au point M. (normale au plan ) 2 M Surface de contact plaquette / disque 1 • Si deux solides 1 et 2 sont en contact ponctuel théorique (sans frottement) au point M, alors le torseur associé à l’action mécanique de 1 sur 2 s’écrit : La résultante de l’action mécanique de contact est normale au plan tangent au contact. Ce torseur correspond au torseur d’action mécanique transmissible par une liaison sphère / plan de normale (L'action mécanique va être transmise par la pièce 1 à la pièce 2 dans la liaison entre 1 et 2). . 2/ Modélisation globale d’une action mécanique (sans prise en compte du frottement) • La modélisation globale consiste à étudier les actions mécaniques équivalentes à tous les éléments de forces étudiés localement. C'est le modèle retenu pour tous les problèmes de mécanique du solide indéformable. CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -3- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Contact surfacique Zoom sur un élément de surface autour de M M dS M • Autour de chaque point M de la surface de contact, on définit une surface élémentaire de contact dS. L’action mécanique exercée au niveau de cet élément dS par 1 sur 2 est modélisée par le vecteur de moment nul en M (action élémentaire) : . L’action mécanique globale de 1 sur 2, modélisée en un point A quelconque, correspond à la somme de toutes les actions mécaniques élémentaires en chaque point : avec - où . Pour "pression" • Exemple de modélisation locale / globale surfacique : Répartition radiale des pressions de contact alésage/arbre dans un palier lisse : la répartition réelle des efforts est complexe Simplification assez réaliste Contact linéique avec où - . Répartition volumique avec où • Méthode pour déterminer le torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2 : - Représenter la ligne / surface / le volume sollicité localement, ainsi que le repère ; - représenter M et l'élément , ou et sa limite ; - représenter et ; - choisir un système de coordonnées (cartésiennes, polaires ou sphériques). • Application : exercices 2 et 3 sur TD1. 3/ Quelques actions mécaniques souvent rencontrées L’action de gravité Axe vertical vers le bas CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -4- - . Sciences Industrielles pour l’Ingénieur • Définition du centre de gravité : On définit le point G, centre de gravité d’un solide de masse m de la façon suivante (O = origine du repère attaché) : ou encore : (car ) On définit le point G, centre de gravité d’un ensemble de solides i de centres de gravité Gi, de masses mi, de volumes Vi et de masses volumiques i, par : avec et • Torseur des actions de pesanteur : On définit le torseur des actions de pesanteur agissant sur un solide S de masse m comme suit : avec = vecteur vertical unitaire descendant (vers le centre de la Terre). Action mécanique d’un fluide sur une surface • Un fluide exerce toujours une pression normale à la surface sur laquelle il agit : La résultante des actions de pression vaut donc : p p Ex : balle plongée dans un liquide • On peut distinguer 2 situations courantes : - cas d’une surface plane : , par exemple . On a alors - cas d’une surface plane circulaire (piston vérin) avec p = cte = P : où . Soit : F = P . S 2 [N] [Pa] [m ] Modèle local Modèle global Transmission d’A.M. dans les engrenages à denture droite MODELISATION I Effort de 1 → 2 transmis par une seule dent CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville Effort de 1 → 2 réparti sur 2 dents -5- On modélise toujours l’action au contact par un glisseur de résultante incliné de α, l’angle de pression (20° en général), au point I sur le diamètre nominal (D = m.z, roulement sans glissement en I). La direction du glisseur est nommée ligne d’action. Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Modélisation des A.M. exercées par les pièces élastiques • En mécanique, l'usage d'éléments déformables et élastiques est fréquent. Ils ont la propriété de fournir un effort proportionnel à leur déformation. • Les éléments élastiques les plus courants sont : - les ressorts : ils peuvent être de traction, de compression ou de torsion. Ils sont réalisés à partir d'un fil d'acier que l'on enroule en spirales. Ils permettent de grandes déformations (de l'ordre de plusieurs mm ou cm). Barres de torsion sur train arrière de voiture - les barres : elles peuvent être de torsion ou de flexion. Elles sont réalisées dans de l'acier, et on utilise l'élasticité du matériau. Elles permettent de très petites déformations (de l'ordre de 0,001 à 1 mm). - les rondelles ressort (Belleville) : elles s'assemblent comme des rondelles classiques mais présentent la particularité d'être coniques et donc déformables. Elles permettent de petites déformations (de l'ordre de 0,1 à quelques mm). (seule) (en série) (en //) (mixte) • Tous ces éléments ont une grandeur caractéristique : la raideur (k), déterminée à l'aide de la RDM ou d'essais. Dans le cas d'un ressort de compression, l'effort axial F nécessaire pour obtenir une déformation (appelée aussi flèche (f)) est donné par la relation de proportionnalité suivante : -1 [N.mm ] • Pour les autres éléments élastiques, il existe des relations similaires de proportionnalité entre l'action mécanique fournie (force ou moment) et la déformation obtenue (distance ou angle). Par exemple : . -1 [N.m.rad ] 3- LES ACTIONS MECANIQUES DANS LES LIAISONS NORMALISEES – TORSEURS STATIQUES • Il y a, de manière évidente pour des liaisons parfaites, complémentarité entre le torseur d’action mécanique transmissible et le torseur cinématique, exprimés au centre de la liaison et en la respectant. Un exemple est donné ci-dessous pour une liaison linéaire rectiligne d’axe et de normale . Chaque composante non nulle (mouvement possible) du vecteur vitesse : une composante nulle de la résultante (traduction : 1 ne peut pas transmettre d’effort à 2) selon cet axe Torseur cinématique (1) (2) Chaque composante non nulle (mouvement possible) du vecteur rotation CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville Torseur d’action mécanique transmissible entre 1 et 2. une composante nulle du moment (traduction : 1 ne peut pas transmettre de moment à 2) selon cet axe -6- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Les actions mécaniques transmissibles par les liaisons (A CONNAÎTRE) Symbole Désignation de la liaison Plan sphère/plan en O de normale (ponctuelle) Spatial Torseur d’AM transmissible (2) (1) (1) O (2) sphère/cylindre en O d’axe (linéaire annulaire) linéaire rectiligne en O d’axe et de normale Mobilités (1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (2) plane en O de normale (appui plan) (2) (2) (1) O (1) O (2) (2) sphérique de centre O (rotule) (2) (1) (1) (2) (2) pivot glissant en O d’axe (2) (1) (1) (1) (2) (2) pivot en O d’axe (2) (1) (1) (1) O (2) (2) hélicoïdale en O d’axe (2) (2) (1) glissière en O de direction x x (1) O O (1) (2) (2) (1) Z12 et NO12 liées (1) CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville (1) -7- Rz et Tz liées Pas à droite : NO12 = - . Z12 (pas p en mm)