Ppt

GOP
Cours :
Modélisation
des
Actions Mécaniques
1) NOTION D’ACTION MECANIQUE
On appelle action mécanique toute cause susceptible de :

Créer ou modifier un mouvement ;

Maintenir un corps au repos ;

Déformer un corps ;
2) DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS
MECANIQUES
2.1) LES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE
En construction mécanique, elles sont essentiellement de
type magnétique ou de pesanteur.
2.2) LES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT
Elles résultent :
- Soit du contact d’un fluide (gaz ou liquide) sur un solide;
- Soit du contact d’un solide avec un autre solide.
Dans le cas de contact entre deux solides, les deux solides sont
obligatoirement en liaison mécanique et l’action mécanique exercée
dépend de la nature du contact entre les deux solides. ( ponctuel,
linéique, surfacique plan, etc.…)
Par exemple, une liaison pivot glissant ne peut transmettre les mêmes
efforts qu’une liaison encastrement à cause de ses deux degrés de
liberté.
3) LE MODELE DE LA FORCE
Nous avons vu en étudiant les liaisons que le contact entre deux pièces pouvait être soit
ponctuel, linéique ou surfacique. Dans un premier temps, nous allons étudier l'action
mécanique transmissible par un contact ponctuel parfait ( liaison parfaite ).
3.1) CAS DU CONTACT PONCTUEL PARFAIT (Sans Frottements)
L'action mécanique qui s'exerce entre deux solides en contact ponctuel sera
modélisée par une force, dont les caractéristiques sont celle d’un vecteur :
- Origine : point de contact E,
- Direction : normale au plan tangent de contact (0,Y ,Z ) donc suivant X.
- Sens : vers la gauche, suivant les X négatifs,
- Norme : dépend, entre autre, du niveau de l’eau dans la cuve.
On a l'habitude de désigner une action
mécanique modélisable par une force de la
façon qui suit :
E4/2
E 4/2
Y
X
solide sollicité
solide qui exerce la force
point d’application de la force
3.2) CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS
3.2.1) Cas de la Pression d’un Fluide sur une Paroi Plane
r
Df
r
Df
r
Df
C
F
r
Df
La pression sera supposée uniforme (constante sur toute la paroi).
Elle s’applique en chaque élément de surface de la paroi.
r
Nous avons donc une infinité de forces élémentaires Df .
r
Leur somme nous donne une force appelée force de pression F , ayant
les caractéristiques suivantes :
- Point d’application : le centre de la surface, C
- Direction : perpendiculaire à la surface de contact entre le fluide et la paroi
- Sens : dirigé vers la paroi
- Norme :
r
F  p.S
, avec :
- F : effort développé (N)
- p : pression uniforme du fluide (Pa)
- S : surface de la paroi plane, en (m2)
3.2.1) Cas de la Pesanteur
r
Dp
r
Dp
r
Dp
r
Dp
r
Dp
G
r
Dp
P
On considère un solide indéformable.
La pesanteur s’applique en chaque élément de matière de ce solide.
r
Nous avons donc une infinité de forces élémentaires Δp .
Leur somme nous donne une force appelée force de pesanteur P, ayant les
caractéristiques suivantes :
- Point d’application : G, le centre de gravité du solide ou du système
- Direction : verticale passant par G
- Sens : vers le bas
r
- Norme : P  m . g
avec : - P : poids en Newton ( N )
- m : masse du solide ou du système en kilogrammes ( kg )
- g : accélération de la pesanteur = 9.81 m.s-2
3.3.3) Cas de l’Action d’un Ressort de Compression
L’action mécanique qu’exerce un ressort sur une pièce peut être
modélisée par une force, dont les caractéristiques sont :
- Point d’application : centre du cercle de contact,
- Direction : selon l’axe du ressort,
- Sens : du ressort vers la pièce,
- Norme :proportionnelle à la variation de longueur du ressort (à sa déformation) :
F = k (lo-l) , avec
- k : raideur du ressort (constante – N/mm)
- lo : longueur à vide du ressort (mm)
- l : longueur comprimée du ressort (mm)
Exemple : effort du ressort sur le piston.
Y
X
D
D
8/6
4) LE MOMENT D’UNE FORCE
4.1) MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE
Droite d’action
de la force FA
(D,FA)
4.1.1) Cas où la Force est Orthogonale à l’Axe
DEFINITION :
On appelle moment d'une
force FA par rapport à un axe
r
(O, x ), le produit de la norme
de la force ( FA ) par la
distance de la droite d'action
de la force à l'axe considéré,
affecté d’un signe défini cidessous :
+ si la force tend à provoquer
une rotation autour de l'axe
r rr r
dans le sens positif (xy, yz
r r
ou zx) .
- si la force tend à provoquer
une rotation autour de l'axe
dans le sens négatif.
FA
distance
distance
MOx(FA) ( FA OH )
ou
 (OH  FA )
ou
FA
r
 (d  F )
L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m)
d : distance la plus courte à la droite d’action (m)
r
F : norme de la force (N)
Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si le support de la
force et l’axe du moment considéré appartiennent à un même plan.
Exemple :
MOy(FA)0
4.1.2) Cas où la Force est Parallèle à l’Axe
FA
FA
Que pensez-vous du moment de FA par rapport à l’axe (O, z ) ?
Remarque : la force en A ne tend pas à «faire tourner» le bras
du robot autour de l’axe (O, z ). Le moment est donc
nul par rapport à cet axe.
Le moment d'une force par rapport à un axe qui lui est parallèle est nul.
r
MOz(FA)0 car FA est parallèle à (O,z)
4.2) MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT,
NOTION DE VECTEUR MOMENT
4.2.1) Notion de Vecteur Moment
DEFINITION : On appelle vecteur moment de
FA au point O,
MO(FA), le vecteur dont les coordonnées ou
composantes sont les moments par rapport aux trois
axes :
M O (FA)  M Ox (FA)
M Oy (FA)
M Oz (FA)
Remarque : FA et MO(FA) sont perpendiculaires
4.2.2) Détermination Analytique, Produit Vectoriel
r
r
DEFINITION : Le produit vectoriel
d'un vecteur
r r
r U par un vecteur V que
l'on notera UV est le vecteur W dont un représentant
r
d'origine M est tel que :
W
r
V
r
U
S
r r
- Son support est perpendiculaire au plan (S,U , V )
r r r
- Son sens est tel que le trièdre (U , V, W) soit direct
r
r
r
r r
- Sa norme a pour valeur: W  U  V . sin(U,V)
PROPRIETES :
r r
- W 0 dans les cas suivants :
r r
• si U0
r r
V
• si 0
r
r
• si U et V sont colinéaires
z
k
x
i
j
y
- Dans un repère orthonormé
direct ayant pour vecteur pour
rrr
vecteurs de base i , j ,k , on a :
r r r r r r r r r
i  j k ; j k i ; k i  j
Expression analytique du moment M S (FA) dans un repère orthonormé direct R0 :
Soient a, b et c les coordonnées du vecteur SA dans R0.
Soient X, Y et Z les coordonnées du vecteur FA dans R0.
Pour obtenir le produit vectoriel SA  FA (qui est le
moment en S de FA ) on effectue les produits en croix
comme ci-dessous :
MS(FA)
=
SA
 FA
a
X
b
Y
R0 c
a
R0 Z
X
=
b  Z – c  Y
=
c  X – a  Z
R0 a  Y – b  X
La Force et le Moment ………
Dans la vie courante, est-ce que les actions mécaniques
sont uniquement des forces ou des moments ?
Non, car une action mécanique ne déplace (ou déforme) pas uniquement
un solide : - en translation (cas de la force)
- en rotation (cas du moment)
Plus généralement une Action Mécanique peut engendrer des
translations en même temps que des rotations :
Une AM est donc une composition de forces et de moments.
Cette association s’appelle …………… le TORSEUR
5) LE TORSEUR
5.1) EXPRESSION DU TORSEUR
C'est la modélisation la plus générale pour une action mécanique. Elle permet, entre
autres, de modéliser l’action mécanique transmissible par une liaison mais aussi les
actions mécaniques de pesanteur, de pression et d’un ressort vues précédemment.
DEFINITION :
Soient deux sous-ensembles 1 et 2 d'un mécanisme en liaison de centre A. L'action
mécanique de 1 sur 2 est modélisée par l’association des vecteurs : FA1/2 et MA(1/2) .


L'ensemble  FA s'appelle Torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2.
MA(1/2)
FA1/2 est appelée résultante du torseur.
MA(1/2) est appelé moment résultant en A du torseur associé.
FA1/2 et MA(1/2) sont les éléments de réduction du torseur au point A.
NOTATION :
Coordonnées de la
résultante
Coordonnées du
moment résultant
X1/2 LA1/2 

F
A 
1/2  MA(1/2)  Y1/2 MA1/2
 AZ1/2 NA1/2 (xr,yr,zr)
A
Point de réduction
(calcul) du torseur
Base de réduction
(calcul) du torseur
r rr
où (A; x , y, z) représente le repère local associé à la liaison.
TRANSPORT D’UN TORSEUR :

A


On a : 1/2  FA  au point de réduction A, et on veut le "transporter"
MA(1/2)
(le déplacer) au point B. On montre que le torseur, déplacé au point B, s'écrit :


 FA

 BMA(1/2)  BA  FA
1/2  FMBB(1/2)

B
on a donc FB  FA et MB(1/2)  MA(1/2)  BA  FA
5.2) TORSEURS DE QUELQUES ACTIONS MECANIQUES DEJA VUES
5.2.1) Torseur de l’Action Mécanique de Pression
F   - F
 fluide/par oi  MC(f/p)
 
z
C
F

C
y
x
0 0
0
 C 0 0(xr,yr,zr)
5.2.2) Torseur de l’Action Mécanique de Pesanteur
z
G
y
P
x
 0 0


P
pesanteur   MG   0 0
 G- P 0(xr,yr,zr)
G
5.2.3) Torseur de l’Action Mécanique d’un Ressort
Y
X
D 8/6
 8/6 
 D8/6  XD8/6 0

   0 0
M
D(8/6)

0 0 rrr
D

D
(x,y,z)
5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS
Cas d'un problème plan de
r
normale z
Nature de la
liaison et repère
associé : R
Schéma
spatial
Mvts
possibles
Torseur
transmissible
 
Schéma
plan
Torseur
transmissible
1/ 2
Encastrement
R quelconque
r
z
2
1
r
x
r
y
A
r
y
r
Pivot d'axe (A, z )
1
2
A
r
x
r
z
r
z
Rotule de centre A
1
2
A
r
x
r
y
r
z
Glissière d'axe
r
(A,x )
2
A
1
r
x
r
y
r
z
Pivot glissant
r
d'axe (A, x )
2
1
r
x
A
r
y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tx
0
0
Tx
0
0
0
0
0
0
0
Rz
Rx
Ry
Rz
0
0
0
Rx
0
0
r
y

X1/2 L A1/2 

 Y1/2 MA1/2 
Z1/2 NA1/2 
(xr, yr, zr)
A
r
x
A
r
y

 X1/2 L A1/2 

 Y1/2 MA1/2 

Z1/2 0 
(xr, yr, zr)
A
 X1/2 - 
 Y1/2 - 
- 0 (xr, yr, zr)
A
r
x
A
r
y
 X1/2 0
 Y1/2 0
Z1/2 0(xr, yr, zr)
A
- 
 X1/2
- 
 Y1/2
- NA1/2 (xr, yr, zr)
A
r
x
 X1/2 - 
 Y1/2 - 
- 0 (xr, yr, zr)
A
r
x
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (xr, yr, zr)
A
A
r
y
 0 L A1/2 
 Y1/2 MA1/2 
Z1/2 NA1/2 (xr, yr, zr)
A
A
r
y
 0
0 
 Y1/2 MA1/2 
Z1/2 NA1/2 (xr, yr, zr)
A
r
x
A
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (xr, yr, zr)
A
5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS - SUITE
Cas d'un problème plan de
r
normale z
Nature de la
liaison et repère
associé : R
Schéma
spatial
Mvts
possibles
Torseur
transmissible
 
Schéma
plan
Torseur
transmissible
1/ 2
Tx 0
0 Ry
Tz 0
r
y
Appui plan de
r
normale (A, y )
2
A
r
z
r
1 x
r
x
Ponctuelle de
r
normale (A, x )
1
A
r
y
0 Rx
Ty Ry
Tz Rz
2
r
z
r
x
Linéaire rectiligne
r
de normale (A, z )
et d’axe (A, xr )
X
2
r
y
r
z
A
r
x
Linéaire annulaire
r
d'axe (A, y )
2
1
r
y
0 Rx
Ty 0
Tz Rz
1
A
r
z
0 Rx
Ty Ry
0 Rz
r
y

 0 L A1/2 

Y1/2 0 
0
N
A
1/2


(xr, yr, zr)
A
 X1/2 0
 0 0
0 0(xr, yr, zr)
A
r
x
A
r
x
r
y
A
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (xr, yr, zr)
A
 X1/2 - 
 0 -
- 0(xr, yr, zr)
A
r
x
 X1/2 0 
 0 MA1/2 
 0
0 (xr, yr, zr)
A
 X1/2 - 
 0 -
- 0(xr, yr, zr)
A
r
y
r
x
 X1/2 0
 0 0
Z1/2 0(xr, yr, zr)
A
r
y
A
 X1/2 - 
 0 -
- 0(xr, yr, zr)
A
FIN
Vous savez maintenant tout, ou presque, sur
la Modélisation des Actions Mécaniques