Rappels

2010
2011
Cours de Mécanique du Solide
Amelie Caissial – Quentin Grandemange
ESSTIN – 2A S2
2010 2011
Chapitre 1 : Opérations Vectorielles,
Torseurs – Rappels.
Sommaire
I.
Opérations sur les vecteurs – Rappels ............................................................................................ 3
1)
1
Produit scalaire ............................................................................................................................ 3
A)
Définition ................................................................................................................................. 3
B)
Propriétés ................................................................................................................................ 3
C)
Applications ............................................................................................................................. 3
D)
Expression analytique.............................................................................................................. 3
2)
Produit vectoriel .......................................................................................................................... 3
A)
Définition ................................................................................................................................. 3
B)
Interprétation géométrique .................................................................................................... 4
C)
Propriétés ................................................................................................................................ 4
D)
Expression analytique.............................................................................................................. 4
E)
Formule du double produit vectoriel (formule de Gibbs) ....................................................... 4
3)
Division vectorielle ...................................................................................................................... 4
4)
Produit mixte ............................................................................................................................... 5
II.
A)
Définition ................................................................................................................................. 5
B)
Propriété : Permutation circulaire ........................................................................................... 5
Torseur ............................................................................................................................................ 5
1)
Définition ..................................................................................................................................... 5
2)
Torseur associé à un ensemble de glisseurs................................................................................ 6
A)
Ensemble fini de glisseurs ....................................................................................................... 6
B)
Ensemble infini de glisseurs .................................................................................................... 6
3)
Invariants ..................................................................................................................................... 6
4)
Point central – Axe central d’un vecteur ..................................................................................... 6
A)
Point central – Définition ........................................................................................................ 6
B)
Axe central – Définition ........................................................................................................... 7
C)
Recherche de l’axe central ...................................................................................................... 7
5)
Opérations sur les torseurs ......................................................................................................... 7
A)
Addition ................................................................................................................................... 7
B)
Multiplication par un réel 𝜆 ..................................................................................................... 7
6)
Torseurs spéciaux ........................................................................................................................ 8
7)
Moment d’un torseur – d’un axe ................................................................................................ 8
8)
Co-moment (produit) de deux torseurs ...................................................................................... 8
III.
A)
Définition ................................................................................................................................. 8
B)
Propriétés ................................................................................................................................ 9
Champ équiprojectif .................................................................................................................... 9
1)
Définition ..................................................................................................................................... 9
2)
Théorème .................................................................................................................................... 9
2
I.
Opérations sur les vecteurs – Rappels
1) Produit scalaire
A) Définition
⃗ ⃗ est un réel.
⃗ ⃗
3
‖⃗ ‖
‖⃗ ‖
⃗ ⃗
B) Propriétés

Symétrie : ⃗⃗

Distributivité : ⃗⃗

Multiplicité par un réel : ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗

Carré scalaire : ⃗⃗⃗⃗
‖⃗ ‖

Cas de nullité :
o ⃗⃗
o ⃗⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗⃗
(⃗
⃗⃗⃗⃗ )
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗
⃗
C) Applications
Si


sont les vecteurs unitaires d’une base orthonormée (⏊) :
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
D) Expression analytique
Dans une base ⏊, le produit scalaire des deux vecteurs ⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
2) Produit vectoriel
A) Définition
Le produit vectoriel des deux vecteurs ⃗ et ⃗ est le vecteur ⃗
 ⃗ ⃗ soit ⏊ au plan ⃗ ⃗


Le repère ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ soit direct
⃗ ⃗
‖ ⃗ ⃗ ‖ ‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖
⃗ tel que :
s’écrit :
B) Interprétation géométrique
⃗
⃗
⃗
D
A
La norme du produit vectoriel ⃗
représente la surface du
parallélogramme ABCD.
⃗
⃗
4
C
B
C) Propriétés

Antisymétrie : ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗

Distributivité sur l’addition : ⃗⃗


Multiplication par un réel : ⃗⃗
Cas de nullité :
o Un des vecteurs est nul
o Les deux vecteurs sont colinéaires
(⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
D) Expression analytique
Dans une base orthonormée directe, le produit vectoriel des deux vecteurs ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
s’écrit :
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
|
⃗
|
et
⃗
⃗
E) Formule du double produit vectoriel (formule de Gibbs)
⃗⃗
(⃗
⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗ ⃗⃗⃗ )
⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗
3) Division vectorielle
et ⃗ non nuls déterminant l’ensemble des vecteurs tel que :
problème n’est possible que si les deux vecteurs et ⃗ sont orthogonaux.
Soit deux vecteurs
On considère un plan (𝜋 )
⃗ . Le
On considère un plan (𝜋) orthogonal à ⃗ . Alors
⃗
et
⃗⃗⃗⃗
𝜆
sont inclus dans (𝜋).
Soit ⃗⃗⃗⃗ un vecteur particulier tel que ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ). On peut écrire :
⃗⃗⃗⃗
⃗.
(
𝜋
𝜋
En multipliant par
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5
⃗⃗⃗⃗
⃗
D’où la solution particulière : ⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
.
Pour obtenir la solution générale , on écrit : {
⃗⃗⃗⃗
la solution vérifie
chaque membre :
⃗
⇔
𝜆
𝜆
⃗
. Par différence :
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗ , donc
⃗⃗⃗⃗
.
D’où la solution générale sous forme paramétrique (de paramètre 𝜆) :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝜆
⃗⃗⃗⃗
4) Produit mixte
A) Définition
Le produit mixte des trois vecteurs ⃗ , ⃗ , ⃗⃗⃗ est le réel noté :
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗
B) Propriété : Permutation circulaire
( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ )
II.
⃗ (⃗
⃗⃗⃗ )
⃗ ( ⃗⃗⃗
⃗)
⃗⃗⃗ ( ⃗
⃗)
Torseur
1) Définition
Un torseur { } est l’ensemble de deux champs vectoriels définis par :
 Un champ de vecteurs uniformes noté ⃗ , résultante de { } : ⃗

Un champ de vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗⃗
Soit un point B :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑
⃗⃗
∑
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
∑
⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗
∑
⃗⃗
⃗⃗ .
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
∑
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
Formule du champ de moment d’un torseur.
On a donc : {
⃗
{ }
⃗⃗⃗⃗⃗
}
avec ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ les éléments de réduction de { }.
2) Torseur associé à un ensemble de glisseurs
6
A) Ensemble fini de glisseurs
{
⃗⃗⃗
⃗
{ }
⃗⃗⃗⃗⃗
}
∑ ⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗
{
⃗⃗
}
B) Ensemble infini de glisseurs
∫
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
}
⃗⃗⃗⃗⃗
∫
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
}
3) Invariants
Entre deux points A et B de l’espace, si deux éléments de { } sont conservés, ils constituent les deux
invariants du torseur :
 1er invariant : la résultante ⃗

2ème invariant : la projection du moment sur la résultante (ou auto-moment).
En effet, on a : ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ )
⃗.
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ )
d’où
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
4) Point central – Axe central d’un vecteur
A) Point central – Définition
Le point de l’espace où le moment du torseur a même direction que la résultante ⃗ .
B) Axe central – Définition
L’axe central d’un torseur – qui n’est pas un couple – est l’ensemble des points centraux. C’est-à-dire
l’ensemble des points tels que ⃗ et ⃗⃗⃗⃗ soient colinéaires, ou proportionnels : ⃗⃗⃗⃗
𝜆⃗ .
𝜆 est le pas du torseur.
C) Recherche de l’axe central
7
{ }
{
⃗
}
⃗⃗⃗⃗⃗
Si est un point de l’axe central, alors :
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝜆⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
𝜆⃗
⇔
⃗
⃗⃗⃗⃗
𝜆⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ , on a :
Par division vectorielle
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
A
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
L’axe central est donc une droite passant par
le point
défini par ⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
⃗⃗⃗⃗
et parallèle
à la résultante générale ⃗ du torseur. On a :
⃗⃗⃗⃗
5) Opérations sur les torseurs
A) Addition
Au même point :
{ }
{ }
⃗
{
⃗⃗⃗⃗⃗
B) Multiplication par un réel 𝜆
𝜆{ }
𝜆⃗
{
}
𝜆⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ .
6) Torseurs spéciaux
Un torseur spécial est un torseur dont l’auto-moment est nul : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
. Quatre cas sont
possibles :

⃗
Torseur nul : {
⃗⃗⃗⃗⃗

Torseur couple : {
On a ⃗⃗⃗⃗⃗
}
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
}
⃗ or ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
. Le champ de vecteurs
est uniforme.

⃗
{
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
} avec ⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ il existe un point P tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
D’où { }
{
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⇔
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⇔
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗.
D’où { } est un glisseur en P.
}
Torseur glisseur : {
⃗.
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
} (A est sur l’axe central)
7) Moment d’un torseur – d’un axe
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
A
Le moment d’un torseur par rapport à un axe
⃗ est égal
au produit scalaire (projection) de ⃗ (unitaire) avec le
moment ⃗⃗⃗⃗⃗ du torseur. A quelconque de
⃗ .
⃗
Δ
8) Co-moment (produit) de deux torseurs
A) Définition
Le co-moment de deux torseurs { } et { } est le nombre réel suivant :
{ } {
}
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Notation qui sert en particulier à exprimer une puissance.
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
8
B) Propriétés
Ce produit est :
 Commutatif
 Indépendant du point choisi.
III. Champ équiprojectif
9
1) Définition
Un champ de vecteurs V est équiprojectif si :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
2) Théorème
Le champ de moment d’un torseur est équiprojectif. On a ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , on a :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Donc on a :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗ . Si on multiplie par