Chapitre 1 Rappels et Introduction

Chapitre 1
Rappels et Introduction
1.1
Rappels sur les vecteurs.
On se place dans l’espace à trois dimensions, muni d’un repère orthonormé direct
~ est repéré par ses trois composantes v1 , v2 , v3 :
E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ). Un vecteur V
 
3
v1
X
~ = v2  = v1~e1 + v2~e2 + v3~e3 =
V
vi~ei
i=1
v3 E
1.1.1
Somme de deux vecteurs.
~ et W
~.
Soient deux vecteurs V
 
3
v1
X
~


V = v2
=
vi~ei
i=1
v3 E
Alors,
et
 
3
w1
X
~


W = w2
=
wi~ei
i=1
w3 E


3
v1 + w1
X
~
~


V + W = v2 + w2
=
(vi + wi) ~ei .
i=1
v3 + w3 E
Exemple :
♦
5
6
CHAPITRE 1. RAPPELS ET INTRODUCTION
1.1.2
Multiplication par un scalaire (un nombre).
Soient λ un nombre réel et V~ un vecteur :
 
3
v1
X
vi~ei
V~ = v2  =
i=1
v3 E
Alors, le produit de V~ par λ est un vecteur :
 
3
λv1
X
~


λV = λv2
=
λvi~ei
i=1
λv3 E
Exemple :
♦
1.1.3
Produit scalaire de deux vecteurs.
~ et W
~.
Soient deux vecteurs V
 
3
v1
X
~


V = v2
=
vi~ei
i=1
v3 E
et
 
3
w1
X
~


W = w2
=
wi~ei
i=1
w3 E
Alors, le produit scalaire de ces deux vecteurs est un nombre réel défini par :
~ ·W
~ = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 =
V
3
X
vi wi
i=1
~ et W
~ sont égaux, le produit scalaire est le carré de la longueur du vecteur, le carré
Si V
de sa norme
2
~ ~
~
V · V = V
= v12 + v22 + v32
2
~
= longueur de V
Remarque :
Un vecteur est de longueur nulle si et seulement si v12 + v22 + v32 est nul. Donc si chacune
de ses composantes est nulle. Donc si il est nul. ♦
1.1. RAPPELS SUR LES VECTEURS.
7
Autre définition du produit scalaire :
~ ~ ·W
~ =
~ ,W
~
V
V~ W
cos V
P
ropriété.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
~ ⊥W
~
V
~ ·W
~ = 0.
V
⇐⇒
♠
Pour obtenir les composantes d’un vecteur sur une base donnée, on effectue son produit
scalaire avec chacun des vecteurs de la base :
~ · ~ei = vi .
V
Exemple :
♦
1.1.4
Produit vectoriel de deux vecteurs.
~ et W
~.
Soient deux vecteurs V
 
3
v1
X
~


V = v2
=
vi~ei
i=1
v3 E
et
 
3
w1
X
~


W = w2
=
wi~ei
i=1
w3 E
~ défini par :
Alors, le produit vectoriel de ces deux vecteurs est un vecteur U


v2 w3 − v3 w2
~ =V
~ ∧W
~ = v3 w1 − v1 w3 
U
v1 w2 − v2 w1
A
TTENTION !
~ ∧W
~ = −W
~ ∧V
~ ♠
Le produit vectoriel n’est pas commutatif. V
8
CHAPITRE 1. RAPPELS ET INTRODUCTION
~ et à W
~ . Sa longueur est
Le vecteur obtenu est à la fois perpendiculaire à V
~ ~ ~ ,W
~ .
V W sin V
~ et sur W
~ . Le trièdre U
~,V
~ ,W
~ est direct.
C’est l’aire du parallélogramme construit sur V
Exemple :
♦
P
ropriété.
Deux vecteurs sont parallèles si et seulement si leur produit vectoriel est nul.
~ //W
~
V
⇐⇒
~ = ~0
V~ ∧ W
♠
F
ormule du double produit vectoriel.
~ ∧ V
~ ∧W
~ = U
~ ·W
~ V
~ − U
~ ·V
~ W
~ ♠
U
1.1.5
Produit mixte de trois vecteurs
~ V
~, W
~ est un nombre réel
Le produit mixte de trois vecteurs U,
~ V
~ ,W
~
U,


u1 v1 w1
~
~
~


= det u2 v2 w2 = U · V ∧ W
u3 v3 w3
~ , V~ , W
~.
Ce nombre correspond au volume du parallélépipède construit sur U
1.2. RAPPELS SUR LES TORSEURS.
1.2
9
Rappels sur les torseurs.
Soit F~ une force appliquée en un point matériel P . Par définition, le moment en A
de cette force est
h i
→
−→
~ t F~ = −
M
AP ∧ F~ = F~ ∧ P A.
A
h i
h i
~ t F~ = ~0 et que M
~ t F~ · F~ = 0.
On remarque que M
P
A
F
ormule du changement de moment.
h i
−→
−→
−→ ~
~ t F~ = −
M
BP ∧ F~ = BA ∧ F~ + AP
B
| {z∧ F}
~ t [F
~]
M
A
♠
1.2.1
Définition.
~
Dans l’espace à trois dimensions, un torseur [T ] est défini par un vecteur libre R
~ t [T ] en
appelé résultante et un champ de vecteurs défini en tout point P , à valeurs M
P
P , tels que :
→
~ t [T ] = M
~ t [T ] + R
~ ∧−
∀P, ∀Q
M
PQ
Q
P
~ t [T ] est appelé moment en P du torseur [T ]. R
~ et M
~ t [T ] sont les éléments de
M
P
P
réduction du torseur [T ], au point P .
Deux torseurs sont égaux, lorsqu’ils ont même résultante et même moment en tout
point. Les définitions imposées impliquent qu’une condition nécessaire et suffisante pour que deux torseurs soient égaux est qu’ils aient mêmes éléments de réduction
en un point.
1.2.2
Propriétés.
√
L’ensemble des torseurs forme un espace vectoriel de dimension 6 sur le corps des
réels.
√
~ t [T ] est équiprojectif. Autrement dit :
Le champ des vecteurs P 7→ M
P
∀P, ∀Q,
−→ ~ t
−→ ~ t
P Q · MP [T ] = P Q · M
Q [T ] .
→
→
~ t [T ] sur −
~ t [T ] sur −
La projection de M
P Q est égale à la projection de M
P Q.
Q
P
∀P, ∀Q,
~ ·M
~ t [T ] = R
~ ·M
~ t [T ] .
R
P
Q
On note h cette valeur indépendante du point considéré : h est l’invariant scalaire du
torseur [T ].
10
CHAPITRE 1. RAPPELS ET INTRODUCTION
1.2.3
Torseurs particuliers.
√
Un couple est un torseur de résultante nulle. Le champ des moments d’un couple
√ est donc un champ constant et l’invariant scalaire est nul.
Un glisseur est un torseur pour lequel il existe un point A tel que
~ t [G] = ~0.
M
A
~ 6= ~0, alors, ∀P ∈ A, R
~ ,M
~ t [G] = ~0
Donc h = 0 et si R
P
Lorsque la résultante est non nulle, la droite s’appelle le support du glisseur. On
démontre que tout torseur [T ] de résultante non nulle et d’invariant scalaire nul est
un glisseur non nul.
√
Le torseur nul est le seul torseur qui soit à la fois un couple et un glisseur.
1.2.4
Torseur associé à un nombre fini de forces.
Soient n forces F~i appliquées en des points Pi .
Le torseur associé à ces forces a pour résultante :
~ = F~1 + F~2 + F~3 + · · · + F~n =
R
n
X
F~i
i=1
et pour moment en A :
n
h
i
−→ ~
−−→
−−→ X ~ −−→
~ t F~1 , · · · F~n = F~1 ∧ −
~
M
P
A
+
F
∧
P
A
+
·
·
·
+
F
∧
P
A
=
Fi ∧ Pi A
1
2
2
n
n
A
i=1
on a toujours :
1.2.5
h
i
h
i
→
~ t F~1 , · · · F~n = M
~ t F~1 , · · · F~n + R
~ ∧−
M
AB.
B
A
Torseur associé à une densité volumique de forces.
Soit ∆V le volume élémentaire entourant la particule P et soit δ F~ la force élémentaire
agissant sur ∆V (force de pesanteur, force électrique...).
~ ), la limite, si elle existe de
On appelle densité volumique de forces, notée f(P
∆F~
lorsque ∆V tend vers 0. La force élémentaire dF~ agissant sur de volume dV est donc
∆V
dF~ = f~ (P ) dV .
Le torseur associé à une densité volumique de forces f~ agissant sur l’ensemble matériel
D a pour éléments de réduction en A :
Z
Z
→
t
~ = f~ (P ) dv
~ [T ] = f~ (P ) ∧ −
R
M
P Adv
A
D
D
1.3. GÉNÉRALITÉS SUR LA RDM.
11
Conséquence :
En mécanique classique, les efforts de pesanteur sont définis par une densité massique égale
à ~g . L’effort dû à la pesanteur s’exerçant sur un volume élémentaire de masse dm = ρdv est
~g dm = ρ~g dv. Donc pour un ensemble matériel D, les efforts de pesanteur sont modélisés
par un glisseur de résultante P~ = m~g (m est la masse de D), de support passant par G le
centre d’inertie de D. G est défini par
Z
−→
GP dm = ~0.
D
♦
1.3
Généralités sur la RdM.
1.3.1
Hypothèses générales
√
Continuité : Le matériau ne présente pas de discontinuité de structure à l’intérieur
des pièces que nous considérerons. Dans le cas contraire, il apparaît des concentra√ tions de contraintes et les résultats obtenus seront inférieurs à la réalité.
Homogénéité : Tous les éléments du matériau ont les mêmes caractéristiques.
√
Isotropie : En tout point du matériau et dans toutes les directions autour de ce
point existent des propriétés mécaniques identiques.
En RdM, les déformations sont faibles et tous les calculs s’effectuent sur la structure
non déformée.
H
ypothèse de Saint Venant.
Les résultats obtenus en RdM ne sont valables qu’à une distance suffisamment
grande de la région d’application des forces concentrées. ♠
1.3.2
Contraintes.
Définition
Considérons un solide (E) et effectuons sur celui-ci une coupe fictive par un plan (P ).
On obtient alors deux morceaux (E1 ) et (E2 ).
Considérons la partie (E1 ) uniquement. Elle est en équilibre sous l’action des forces
12
CHAPITRE 1. RAPPELS ET INTRODUCTION
extérieures suivantes :
√
√ Les actions mécaniques du milieu extérieur sur (E).
Les actions mécaniques que le morceau (E2 ) exerce sur (E1 ) à travers la section
droite fictive.
On note ∆f l’une de ces forces élémentaires qui s’exerce sur la facette d’aire ∆S. Cette
force est intérieure au solide (E).
Soit M le centre de cette facette ∆S dont l’orientation est définie par la normale
extérieure (M, ~n).
∆f~
On admet que le rapport
tend vers une limite finie quand ∆S tend vers zéro.
∆S
Cette limite est appelée vecteur contrainte en M. On la note :
∆f~
df~
T~ (M, ~n) = lim
=
∆S→0 ∆S
dS
Unités
~
∆f : N (newtons)
∆S : mm2 ~
T (M, ~n) : MPa (Méga-Pascal).
L’unité de contrainte est le Pascal :
1Pa
1MPa
1MPa
1MPa
= 1N/m2
= 106 Pa
= 1N/mm2
= 10bars
La grandeur T~ (M, ~n) est définie comme une grandeur vectorielle. Sa direction est
différente de ~n.
On appelle contrainte normale σn la projection de T~ (M, ~n) sur la normale ~n :
σn = T~ (M, ~n) · ~n
On appelle contrainte tangentielle T~t la projection de T~ (M, ~n) sur le plan de la
facette ∆S :
T~t = T~ (M, ~n) − σn~n
1.3.3
Torseur des efforts de cohésion.
Les actions mécaniques que le tronçon (E2 ) exerce sur le tronçon (E1 ) à travers la
section droite fictive sont des actions intérieures à (E). Nous en ignorons, a priori, la
répartition, mais nous pouvons les modéliser par un torseur appelé torseur de cohésion :
~
R
[T ] = ~
avec G le centre de S.
MG
1.3. GÉNÉRALITÉS SUR LA RDM.
C
13
onvention
Une fois qu’un sens positif a été donné, le torseur des efforts de cohésion est associé
aux actions mécaniques que (E2 ) exerce sur (E1 ) (que la partie (x > x0 ) exerce sur
la partie (x < x0 )). ♠
Ecrivons l’équilibre de (E) :
La résultante générale des forces extérieures à (E) et le moment en G des forces
extérieures à (E) doivent être nuls :
~ (ext → E) = ~0
R
~ t (ext → E) = ~0
M
G
Écrivons l’équilibre de (E1 ) :
√
bilan des forces :
– Actions mécaniques extérieures à (E) :
– Actions de (E2 ) sur (E1 ) :
√
équilibre :
d’où
√
~ (ext → E1 )
R
~ t (ext → E1 )
M
G
~
R
~G
M
~ (ext → E1 ) + R
~ = ~0
R
~ t (ext → E1 ) + M
~ G = ~0
M
G
~ = −R
~ (ext → E1 )
R
~ G = −M
~ t (ext → E1 )
M
G
~ sur ~n. L’effort tranchant T~ est la
L’effort normal N est la projection de R
~
projection de R sur le plan tangent.
~ = N~n + T~
R
√
~ G sur ~n. Le moment de flexion
Le moment de torsion Mt est la projection de M
~ G sur le plan tangent.
~ f est la projection de M
M
~ G = Mt~n + M
~f
M
Si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion font apparaître
un seul de ces quatre éléments, on a une sollicitation simple :
14
CHAPITRE 1. RAPPELS ET INTRODUCTION
N 6= 0 traction - compression
T~ 6= ~0
cisaillement
Mt 6= 0
torsion
~
Mf 6= ~0
flexion