Exercices Corrigés Chapitre 1-Torseurs

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Exercices Corrigés_Chapitre 1- Torseurs Prof. Jaouad KHARBACH
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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Faculté des Sciences Dhar EL Mahraz-FES
A.U. 2024-2025
CHAPITRE 1_Torseurs
EXERCICES CORRIGÉS
Filière: PC/MIP-Physique--Semestre 3
EXERCICE 1
Soit ! une application de l’espace vectoriel "# dans lui-même. L’espace "#$est associé à l’espace
affine "% à trois dimensions. L’application ! est définie par :
! & ' (
)* + , - ./
* - ), - 0/
+12* + , - )/
où & ' (
*
,
/
et ' un point quelconque de "%.
1.!Pour quelles valeurs des paramètres 13 )3 0 l’application ! est antisymétrique ?
2.!Montrer qu’il existe un vecteur 4 tel que ! & ' ( 4 5 & ' .
EXERCICE 2
On considère le point 6783 93 :; dans un repère orthonormé , et le champ de vecteurs < 6 donné
par:
< 6 (
+1 , + ,=>?@ A - / @BC A
1 * + *=>?@ A
1 * + *=@BC A - )
>?@ A
où *=, ,=, 1, ) et A sont des constantes.
1.!Montrer que le champ de vecteurs < 6 est équiprojectif.
2.!Déterminer les coordonnées vectorielles du torseur au point D7*=3 ,=3 E;.
EXERCICE 3
On considère dans l’espace tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct F G3 H3 I3 J$ le
champ vectoriel K défini par :
& ' (
L + M, - ./
M - M* + /
N + .* - , $O3P3Q$
1.!Montrer que ce champ vectoriel est un champ de moments.
2.!Déterminer au point R N3N3N les éléments de réduction du torseur associé à ce champ
vectoriel.
3.!Déterminer les invariants scalaire et vectoriel de ce torseur.

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4.!Déterminer l’axe central du torseur associé au champ & .
EXERCICE 4
Soient deux champs équiprojectifs <S6 et <26 de résultantes respectives TS et T2.
1.!On considère la quantité scalaire définie par :
U ( TSV <26 - T2V <S6
Montrer que U ne dépend pas du point 6.
2.!On définit le champ de vecteurs W par sa valeur en M:
W ( TS5 <26 + T25 <S6
a.!Montrer que le champ de vecteurs W est équiprojectif.
b.!Montrer que le champ de vecteurs W peut être représenté par un torseur dont on
déterminera sa résultante TV
3.!On considère les trois toreurs X
S( TS3 <S, X2( T23 <2 et XY( T3 W
a.!Montrer que le comoment de XY et X
S est nul.
b.!Montrer que le comoment de XY et X2 est nul.
c.!Dans quel cas XY est un couple.
d.!A quelle condition XY est un glisseur.
EXERCICE 5
Dans un repère orthonormé direct F G3 *3 ,3 /$ , on définit les vecteurs suivants:
GZ ( .* + , + L/
[ ( +L* - , - L/
\]( ^ + M * - ^, - L^/
&]( ^ + _ , - M^ + N /
où ^ ` a.
On considère les deux torseurs suivants:
1.!Le glisseur b dont l’axe passe par Z et dont le vecteur est [.
2.!Le torseur X
] dont le vecteur est \] et dont le moment en G$est &].
a.!Déterminer les coordonnées vectorielles en G du glisseur b.
b.!Montrer qu’il existe une valeur ^= de ^ pour laquelle des torseurs X
] et b sont
égaux.
c.!Montrer qu’il existe une valeur ^S de ^ distincte de ^= pour laquelle le torseur X
]S soit
un glisseur.
d.!Effectuer la décomposition centrale de X
] pour ^ ( L.
Soit ! une application de l’espace vectoriel "# dans lui-même. L’espace "# est associé à
l’espace affine$"% à trois dimensions. L’application ! est définie par:
! & ' (
)* + , - ./
* - ), - 0/
+12* + , - )/

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où & ' (
*
,
/
et ' un point quelconque de "%.
3.!Pour quelles valeurs des paramètres 13 )3 0 l’application ! est antisymétrique ?
4.!Montrer qu’il existe un vecteur 4 tel que ! & ' ( 4 5 & ' .
Correction_EXERCICE 1
1.!! est antisymétrique c d$e3 f $ ` $ "#$; e$V ! f ( $ +f$V ! e
La matrice associée à l’application ! dans la base H3 I3 J de "%$:
! ( )
N
+12$$$+N
)
+N
$$$$.
0
)
D’où 12( .3 ) ( E3 0 ( N
La matrice s’écrit alors :
! ( E
N
+.$$$+N
E
+N
$$$$.
N
E
Rappel :
Une matrice carrée Z est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-
dire si elle satisfait à l'équation:
Zg( +Z
ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme Z ( 1hi , si pour tout j et k, 1i3h$ (
$+1h3i.
2.!lm vecteur 4 tel que ! & ' ( 4 5 & '
Soit 4 (
n
^
o
et & ' (
*
,
/
p 4 5 & ' (
^/ + o,
o* + n/
n, + ^*
Ce qui donne :
! & ' (
+, - ./
* - /
+.* + ,
Ainsi : 4 (
n ( +N
^ ( .
o ( N

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Correction_EXERCICE 2
1.!Dans un espace affine euclidien q%, un champ de vecteurs < 6 est équiprojectif s’il
vérifie la propriété suivante:
d$R3 r ` q%3 RrV < R ( RrV < r
RrV < r + < R ( E
Avec R ( *S3 ,S3 /S, r ( *23 ,23 /2 et Rr (
*2+ *S
,2+ ,S
/2+ /S
< r + < R (
+1 ,2+ ,S>?@ A - /2+ /S@BC A
1 *2+ *S>?@ A
1 *2+ *S@BC A
d’où
RrV < r + < R
( +1 ,2+ ,S*2+ *S>?@ A
+ 1 /2+ /S*2+ *S@BC A - 1 ,2+ ,S*2+ *S>?@ A
- 1 /2+ /S*2+ *S@BC A ( E
RrV < r + < R ( E c RrV < R ( RrV < r
donc le champ de vecteurs < 6 est équiprojectif et par équivalence il est antisymétrique, par
conséquent c’est un champ de moments, ainsi on peut définir un torseur à partir de < 6 .
3.!Les coordonnées vectorielles du torseur au point de reduction R7*=3 ,=3 E;.
< 6 est équiprojectif p s T t d$R3 r ` q%3 < r ( < R - T 5 Rr
< r + < R ( T 5 Rr
avec T ( TS3 T23 TY
T 5 Rr (
T2/2+ /S+ TY,2+ ,S
TY*2+ *S+ TS/2+ /S
TS,2+ ,S+ T2*2+ *S
et on a
< r + < R (
+1 ,2+ ,S>?@ A - /2+ /S@BC A
1 *2+ *S>?@ A
1 *2+ *S@BC A
donc
T2/2+ /S+ TY,2+ ,S( +1 ,2+ ,S>?@ A - /2+ /S@BC A
TY*2+ *S+ TS/2+ /S( 1 *2+ *S>?@ A
TS,2+ ,S+ T2*2+ *S( 1 *2+ *S@BC A

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p $$$$$$ T (
TS( E
T2( +1 @BC A
TY( +1 >?@ A
Ainsi les coordonnées vectorielles du torseur uv au point de reduction D7*=3 ,=3 E;.
uw(
T (
TS( E
T2( +1 @BC A
TY( +1 >?@ A
x r ( < D (
E
E
)
>?@ A
v
$
Correction_EXERCICE 3
1.!Un champ vectoriel est un champ de moments si le moment en y z3 {3 | s’écrit :
& ' ( & G - } G' ou & ' ( & G - \ 5 G'
Avec & G ~ 2
Y
S$O3P3Q$
, } la matrice associé à & ' et \ ( •€
••
•‚$O3P3Q$
L + M, - ./
M - M* + /
N + .* - ,
(L
M
N
-
\S
\2
\Y
5*
,
/
L + M, - ./
M - M* + /
N + .* - ,
(
L - \2/ + \Y,
M - \Y* + \S/
N - \S, + \2*
D’où $\ (
\S( N
\2( .
\Y( M $O3P3Q$
Ou bien, en notation matricielle, & ' s’écrit:
& ' ( L
M
N
-
E +M .
M E +N
+. N E
*
,
/
avec } (
E +M .
M E +N
+. N E
est antisymétrique.
On a
ƒ2Y ( +N 2„Y\S
ƒSY ( +N S„Y\2
ƒS2 ( +N S„2\Y
p
\S( +ƒ2Y
\2( -ƒSY
\Y( +ƒS2
d’où \ (
N
.
M$O3P3Q$
2.!Les éléments de réduction du torseur associé à ce champ vectoriel au point … †3 †3 †
‡ Z ( \3 & Z