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Modélisation des Actions Mécaniques Lionel GRILLET Lycée B FRANKLIN Définition Action Mécanique = toute cause susceptible de Modifier le mouvement d’un corps Maintenir un corps au repos Déformer un corps 2 familles d’actions mécaniques Actions à distance (pesanteur, magnétisme,…) Actions de contact Notion de force Principe des actions mutuelles force = A.M qui s’exerce entre 2 particules. Une force se caractérise par : son point d’application sa direction son sens Modélisation par un Vecteur sa norme Unité de mesure de la norme : le NEWTON – symbole N Principe des Actions Mutuelles Toute force implique l’existence d’une autre force qui lui est directement opposée = principe d’Action/Réaction Exemples p,m Action de pesanteur Action exercée par la terre sur toute particule p possédant une masse Point d’application : la particule P Direction : droite passant par le centre de la terre et la particule Sens : vers le centre de la terre Norme : m.g m : masse de la particule (kg) g : accélération de pesanteur (ms-2) u Action engendrée par un contact ponctuel Action exercée par le solide 1 sur le solide 2 en contact ponctuel (1) R21 M en M de normale u Point d’application : point de contact M Direction : Normale au contact (2) Sens : de (1) vers (2) R12 Norme : en Newton PAM : R21 R12 u Notion de moment B d (S) A F Modèle Mathématique Définition Définition M B ( F ) BA F Vecteur caractérisé par direction sens M B ( F ) AB AB, F , M Interprétation Physique B M B (F ) F ( F ) base directe M B (F ) Vecteur caractérisé par direction sens « axe de rotation » « sens de rotation » Norme Norme M B ( F ) AB F sin M B ( F ) F " bras de levier " d Propriétés du moment Cas particulier important Une force ne génère aucun moment en son point d’application M A ( F ) AA F 0 Une force ne génère aucun moment en tout point de son support car le bras de levier est alors nul M B ( F ) F " bras de levier " d Expression du moment en C en fonction du moment en B Définition : M B ( F ) BA F M C ( F ) CA F BC CA F CB F BA F M C ( F ) M B ( F ) CB F 1er Intérêt du Torseur Définir une force s’appliquant sur un solide, c’est donner : Le vecteur force Son point d’application F en A Pas très pratique Notation équivalente, on donne : Le vecteur force Moment en un point quelconque F, M B (F ) « Déjà mieux » Mathématiquement, pour écrire ce couple, on utilise le Torseur … Notation Torseur Action mécanique écrite sous forme vectorielle Action mécanique écrite sous forme de composantes Notation générale de l’action mécanique X e1 R e1 Te /1 Ye1 M B (e /1) Z B e1 B Point d’écriture du torseur Le1 M e1 N e1 ( x , y , z ) Composantes de la résultante Composantes du moment Base d’écriture des vecteurs Notation torseur Propriétés Torseurs particuliers Torseur force (ou glisseur) R12 T 1/ 2 0 A Torseur couple 0 T1/ 2 C12 A Torseur nul 0 T1/ 2 0 A Changement de point d’écriture R12 T1/ 2 M A (1/ 2) A R12 M B (1/ 2) M A (1/ 2) BA R12 B Petite pause … B (S) d A F En utilisant le torseur la force s’écrit F Te / S 0 A Si on écrit ce torseur au point B F Te / S M B (e / S ) M A (e / S ) AB F 0 B F M B (e / S ) AB F B On retrouve bien la définition du moment 2nd Intérêt du Torseur F2 2 forces s’appliquent sur (S) B (S) F1 A Globalement (S) subit F1 T1/ S 0 A F2 T2 / S 0 B Te / S T1/ S T2/ S R T Posons e / S M C (e / S ) C R F1 F2 M C (e / S ) M C (1/ S ) M C (2 / S ) On ne peut additionner des couples que si ils sont écrits au même point. F1 F2 Donc Te / S CA F1 CB F2 C Un seul torseur nous permet donc de représenter l’action mécanique globale réalisée par plusieurs forces. Premières applications F2 Application n°1 F1 F2 B Soit O intersection de (OB) et (OA) (S) F1 F2 Te / S 0 O F1 A O Application n°2 F d D O A B C F F Te / S 2d F z O 0 2 d F z O F Torseur couple Pesanteur sur un Solide Solide (S), de masse M, de volume V, homogène. A2 f A1 f1 Ai f 2 A3 A4 f Action de pesanteur sur la particule Ai f 4 3 (S) i Démonstration fi gz Ti / S 0 Ai M masse volumique V On cherche l’action mécanique globale de la pesanteur P fi V T pes / S OAi fi O V Si on prend O=G barycentre des poids ou centre de gravité, on obtient P mgz T pes / S 0 G Liaison linéaire Rectiligne y fi (1/ 2) Les solides (1) et (2) sont en contact linéaire rectiligne (2) A Mi (1) d’axe ( A, x ) B x de normale y En tous point Mi, l’action de (1) sur (2) se modélise par T i ,1/ 2 Démonstration Mi fi fi y 0 L’action mécanique globale de (1) sur (2) s’écrit alors 0 R12 T 1/ 2 Y12 M O (1/ 2) 0 O O 0 0 N12 ( x , y , z ) Torseur des Actions Transmissibles par les Liaisons Torseur des actions transmissibles par la liaison linéaire rectiligne 0 R12 T1/ 2 Y12 0 M O (1/ 2) O O 0 0 N12 ( x , y , z ) Tableau des mobilités de la liaison Au même point Sur les mêmes axes T R 1 1 0 1 1 0 Le torseur des actions transmissibles se déduit du tableau des mobilités Cas des Ressorts F ΔLt ΔLc F L0 L1 Ressort comprimé Ressort à vide L2 Ressort tendu L’effort développé par un ressort est porté par l’axe du ressort Sa norme est proportionnelle à l’allongement du ressort F k L k L L0 Caractéristiques d’un ressort : L0 : longueur à vide (m) k : raideur (Nm-1) La pression u La pression est une action de contact F Point d’application : tous points de la surface Direction : Perpendiculaire à la surface C Unité : PASCAL symbole Pa 1 Pa = 1 Nm-2 1 ba = 105 Pa = 1 daN cm-2 Surface S Force par unité de surface Chambre à la Pression p Modélisation F p S u Tp / vérin 0 C Centre de la surface Normale à la surface
