comparaison de fonctions - Laurent Garcin

© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
C OMPARAISON
1
DE FONCTIONS
Notion de voisinage
Définition 1.1 Voisinage
Soit a ∈ R = R ∪ {±∞}. On appelle voisinage de a une partie de R contenant un intervalle de la forme :
]a − ε; a + ε[ avec ε > 0 si a ∈ R,
]A; +∞[ si a = +∞,
] − ∞; A[ si a = −∞,
Exemple 1.1
I x 7→
√
1 − x2 est définie au voisinage de 0 puisqu’elle est définie sur ] − 1, 1[.
I x 7→ x + x3 est positive au voisinage de 0 puisqu’elle l’est sur ] − 1, 1[.
2
I x 7→ ln x est positive au voisinage de +∞ puisqu’elle l’est sur ]1, +∞[.
2
Négligeabilité
2.1
Définition
Définition 2.1
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage V de a (éventuellement privé de a si f ou g n’est pas
définie en a). On dit que f est négligeable devant g s’il existe une fonction ε : V → R telle que
â f(x) = g(x)ε(x) pour tout x ∈ V,
â lim ε(x) = 0.
x→a
On note alors f = o(g) ou encore f(x) = o(g(x))
a
Méthode
x→a
Négligeabilité en pratique
En pratique, la définition précédente est difficile à manipuler. Quand g ne s’annule pas au voisinage de a,
f(x)
f(x) = o(g(x)) équivaut à lim
= 0.
x→a
x→a g(x)
Exemple 2.1
I x4 = o(x2 ).
x→0
I x2 = o(x4 ).
x→+∞
http://laurentb.garcin.free.fr
1
© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Attention ! f = o(0) signifie que f est nulle au voisinage de a, ce qui est très rarement le cas dans les
a
exercices et les problèmes. Dans 99% des cas, si vous aboutissez à une telle expression lors d’un calcul, c’est que
vous vous êtes trompés.
Notation 2.1
La relation de négligeabilité f − g = o(h) s’écrit également f = g + o(h).
a
2.2
a
Exemples fondamentaux
Proposition 2.1 Au voisinage de +∞
I Soit (α, β) ∈ R2 . Alors α < β ⇐⇒ xα = o(xβ ).
x→+∞
∗ 2
I Soit (a, b) ∈ R+ . Alors a < b ⇐⇒ ax = o(bx ).
x→+∞
∗
α
β
= o(x ).
I Soit (α, β) ∈ R+ . Alors (ln x)
x→+∞
I Soit (α, β) ∈ R∗+ . Alors xα = o(eβx ).
x→+∞
Proposition 2.2 Au voisinage de 0
I Soit α, β ∈ R. Alors α > β ⇐⇒ xα = o(xβ ).
x→0
Å ã
1
α
I Soit α, β ∈ R avec β > 0. Alors | ln x| = o
.
x→0
xβ
Proposition 2.3 Au voisinage de −∞
ã
1
Alors e
= o
.
I Soit α, β ∈
x→−∞
|x|β
I Soit a, b ∈ R∗+ . Alors a > b ⇐⇒ ax = o(bx ).
R∗+ .
Å
αx
x→−∞
2.3
Opérations sur les petits o
Proposition 2.4 Opérations sur les petits o
Transitivité
Si f = o(g) et g = o(h), alors f = o(h).
a
a
a
Multiplication par un réel non nul
Si f = o(g) et λ 6= 0, alors f = o(λg).
a
a
Combinaison linéaire de fonctions négligeables devant une même fonction
Si f1 = o(g) et f2 = o(g), alors pour tout (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , λ1 f1 + λ2 f2 = o(g).
a
a
a
Produit
Si f1 = o(g1 ) et f2 = o(g2 ), alors f1 f2 = o(g1 g2 ).
a
a
a
Si f = o(g), alors fh = o(gh).
a
a
Composition à droite
Si f = o(g) et lim ϕ = a alors f ◦ ϕ = o(g ◦ ϕ).
a
b
http://laurentb.garcin.free.fr
b
2
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Remarque. On en déduit aisément les résultats suivants :
I Si f = g + o(h) et λ 6= 0, alors f = g + o(λh).
a
a
I Si f1 = g1 + o(h) et f2 = g1 + o(h), alors pour tout (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , λ1 f1 + λ2 f2 = λ1 g1 + λ2 g2 + o(h).
a
a
a
I Si f = g + o(h), alors fk = gk + o(hk).
a

a
Attention ! Opérations interdites
I On n’additionne pas des relations de négligeabilité membre à membre :
f1 = o(g1 ) et f2 = o(g2 ) ⇐⇒
6
f1 + f2 = o(g1 + g2 )
a
a
a
Par exemple, x − 1 = o(x2 ) et 1 = o(1 − x2 ) mais x 6= o(1).
x→+∞
x→+∞
I On ne compose pas à gauche :
x→+∞
f = o(g) ⇐⇒
6
ϕ ◦ f = o(ϕ ◦ g)
a
a
1 1
Par exemple, x = o(x ) mais, si on compose à gauche par x 7→ ,
x→+∞
x x
2
Méthode
Å
6= o
x→+∞
ã
1
.
x2
Changement de variable
En pratique, la composition à droite s’interprète comme un changement de variables. Si f(u) = o(g(u)) et
u→a
u = ϕ(x) −→ a, alors f(ϕ(x)) = o(g(ϕ(x))).
x→b
x→b
Exemple 2.2
1
Pour comparer x 7→ e x et
3
1
1
1
en 0+ , on pose u = . On a u −→+ +∞ et u = o (eu ) donc
u→+∞
x→0
x
x
x
Ä 1ä
=+ o e x .
x→0
Équivalence
3.1
Définition
Définition 3.1
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage V de a (éventuellement privé de a si f ou g n’est pas
définie en a). On dit que f est équivalente à g s’il existe une fonction η : V → R telle que
â f(x) = g(x)η(x) pour tout x ∈ V,
â lim η(x) = 1.
x→a
On note alors f ∼ g ou encore f(x) ∼ g(x)
a
Méthode
x→a
Équivalence en pratique
En pratique, la définition précédente est difficile à manipuler. Quand g ne s’annule pas au voisinage de a,
f(x)
f(x) ∼ g(x) équivaut à lim
= 1.
x→a
x→a g(x)
http://laurentb.garcin.free.fr
3
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Exemple 3.1
I x2 + 5x + 4 ∼ x2 .
x→+∞

1
1
1
I + 2 ∼ 2.
x→0
x x
x
Attention ! f ∼ 0 signifie que f est nulle au voisinage de a, ce qui est très rarement le cas dans les exercices
a
et les problèmes. Dans 99% des cas, si vous aboutissez à une telle expression lors d’un calcul, c’est que vous vous
êtes trompés.
Proposition 3.1 Équivalence et négligeabilité
f ∼ g ⇐⇒ f = g + o(g)
a
a
f = o(g) ⇐⇒ g + f ∼ g
a
a
Exemple 3.2
ex + x2 + ln x ∼ ex car x2 = o(ex ) et ln x = o(ex ).
x→+∞

x→+∞
x→+∞
f
= 1 et lim f − g = 0 ne sont pas du tout équivalentes. On ne peut même
a
g
pas dire que l’une implique l’autre. En termes de petits o, la première proposition se traduit par f − g = o(g)
et la seconde par f − g = o(1).
Attention ! Les propositions lim
a
Proposition 3.2 Signe et équivalence
Si f ∼ g, alors f et g sont de même signe au voisinage de a.
a
3.2
Exemples fondamentaux
Proposition 3.3 Logarithme, exponentielle, puissance
Un polynôme est équivalent en 0 à son monôme non nul de plus bas degré.
Un polynôme est équivalent en ±∞ à son monôme non nul de plus haut degré.
ln(1 + x) ∼ x
i.e.
ex − 1 ∼ x
i.e.
ln(1 + x) = x + o(x)
x→0
x→0
ex = 1 + x + o(x)
x→0
(1 + x)α − 1 ∼ αx
x→0
(1 + x)α = 1 + αx + o(x)
i.e.
x→0
x→0
Proposition 3.4 Fonctions circulaires
sin x ∼ x
sin x = x + o(x)
i.e.
x→0
x→0
2
x
x→0 2
tan x ∼ x
1 − cos x ∼
x2
+ o(x2 )
x→0
2
tan x = x + o(x)
cos x = 1 −
i.e.
i.e.
x→0
http://laurentb.garcin.free.fr
x→0
4
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Proposition 3.5 Fonctions circulaires réciproques
arcsin x ∼ x
arcsin x = x + o(x)
i.e.
x→0
x→0
π
− arccos x ∼ x
x→0
2
arctan x ∼ x
π
− x + o(x)
x→0 2
arctan x = x + o(x)
arccos x =
i.e.
i.e.
x→0
x→0
Proposition 3.6 Fonctions hyperboliques
sh x ∼ x
sh x = x + o(x)
i.e.
x→0
x→0
x2
ch x − 1 ∼
x→0 2
th x ∼ x
x2
+ o(x2 )
x→0
2
th x = x + o(x)
ch x = 1 +
i.e.
i.e.
x→0

x→0
Attention ! Ne jamais mélanger petits o et équivalents. Par exemple, on n’écrira pas (1+x)α ∼ 1+αx+o(x).
x→0
On peut par contre écrire (1+x)α ∼ 1+αx mais cela revient en fait à écrire (1+x)α ∼ 1 puisque 1+αx ∼ 1.
x→0
Remarque. Pour α = −1 et α =
x→0
1
, on obtient :
2
√
1
= 1 − x + o(x)
1+x
3.3
1+x=1+
Opérations sur les équivalents
Proposition 3.7 Opérations sur les équivalents
Réflexivité
f ∼ f.
a
Symétrie
Si f ∼ g, alors g ∼ f.
a
a
Transitivité
Si f ∼ g et g ∼ h, alors f ∼ h.
a
a
a
Équivalence et petits o
Si f1 = o(g1 ) et si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors f2 = o(g2 ).
a
a
a
a
Produit
Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors f1 g1 ∼ f2 g2 .
a
a
a
Inverse
1
1
Si f ∼ g et si f ne s’annule pas au voisinage de a, alors ∼ .
a
f a g
Puissance
Si f ∼ g et si f > 0 au voisinage de 0, alors fα ∼ gα pour tout α ∈ R.
a
a
Composition à droite
Si f ∼ g et lim ϕ = a alors f ◦ ϕ ∼ g ◦ ϕ.
a
b
http://laurentb.garcin.free.fr
b
5
x
+ o(x)
2
x→0
© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Attention ! Opérations interdites
I On n’additionne pas les équivalents :
f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 6⇒ f1 + f2 ∼ g1 + g2
a
a
a
Par exemple, x + 1 ∼ x et −x + 3 ∼ −x + 1 mais 4 6∼ 1.
x→+∞
x→+∞
I On ne compose pas à gauche :
x→+∞
f ∼ g 6⇒ ϕ ◦ f ∼ ϕ ◦ g
a
a
Par exemple, x ∼ x + ln x mais, si on compose à gauche par x 7→ ex , ex 6∼ xex .
x→+∞
Méthode
x→+∞
Déterminer un équivalent d’une somme
Même si l’on n’a pas le droit d’additionner des équivalents, on peut tout de même déterminer un équivalent
d’une somme. L’idée est de passer par des relations de négligeabilité pour revenir ensuite à un équivalent.
Exemple 3.3
On souhaite déterminer un équivalent de x 7→ sin x + tan x en 0. On sait que sin x ∼ x et tan x ∼ x. Ces
x→0
x→0
deux relations peuvent également s’écrire sin x = x + o(x) et tan x = x + o(x). On peut alors additionner
x→0
x→0
ces deux relations de négligeabilité. On obtient sin x + tan x = 2x + o(x) ce qui équivaut à sin x + tan x ∼ 2x.
x→0
Méthode
Changement de variable
En pratique, la composition à droite s’interprète comme un changement de variables. Si f(u) ∼ g(u) et
u→a
u = ϕ(x) −→ a, alors f(ϕ(x)) ∼ g(ϕ(x)).
x→b
x→b
Exemple 3.4
Pour déterminer un équivalent de x 7→ sin x2 en 0, on pose u = x2 . Alors u −→ 0 et sin u ∼ u donc
x→0
u→0
sin x2 ∼ x2 .
x→0
Remarque. La plupart des équivalents usuels sont donnés en 0. On essaiera donc presque toujours de se
ramener en 0 par changement de variable.
Exemple 3.5
π
π
π
Pour déterminer un équivalent de x 7→ tan x −
en , on pose u = x − . Alors u −→ 0 et tan u ∼ u
u→0
π
4
4
4
x→
4
π
π
donc tan x −
∼ x− .
π
4
4
x→
4
http://laurentb.garcin.free.fr
6
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Exemple 3.6
1
Pour déterminer un équivalent de x 7→ e x − 1 en +∞, on pose u =
1
ex − 1 ∼
x→+∞
4
1
.
x
1
. Alors u −→ 0 et eu − 1 ∼ u donc
x→+∞
u→0
x
Lien avec les limites
4.1
Limites et petits o
Proposition 4.1 Lien avec les limites
Soit f une fonction définie au voisinage de a (éventuellement non définie en a). Alors
lim f = l ⇐⇒ f = l + o(1)
a
a
Remarque. En particulier, lim f = 0 ⇐⇒ f = o(1).
a
a
Exemple 4.1
e2x − ex
en 0. On sait que e2x = 1 + 2x + o(x) et que
x→0
x
2x
x
e2x − ex
e
−
e
= 1 + o(1). On en déduit que lim
= 1.
ex = 1 + x + o(x). Ainsi e2x − ex = x + o(x) donc
x→0
x→0
x→0
x→0
x
x
On souhaite déterminer la limite éventuelle de x 7→
4.2
Limites et équivalents
Proposition 4.2 Limites et équivalents
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a (éventuellement non définies en a).
Si f ∼ g, alors soit f et g ont toutes deux une limite en a et lim f = lim g, soit f et g n’ont pas de limite
a
a
a
en a.
Soit l un réel non nul. Alors lim f = l si et seulement si f ∼ l.
a
a
Exemple 4.2
2
ln(1 + x3 )(ex − 1)
en 0. On sait que
On souhaite déterminer la limite éventuelle de x 7→
sin3 x(1 − cos x)
I ln(1 + x3 ) ∼ x3 (via le changement de variable u = x3 ) ;
x→0
x2
I e
− 1 ∼ x2 (via le changement de variable u = x2 ) ;
x→0
I sin3 x ∼ x3 ;
x→0
x2
.
x→0 2
2
2
ln(1 + x3 )(ex − 1)
ln(1 + x3 )(ex − 1)
∼ 2 et donc lim
= 2.
On en déduit que
x→0 sin3 x(1 − cos x)
sin3 x(1 − cos x) x→0
I 1 − cos x ∼
http://laurentb.garcin.free.fr
7
© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Attention ! On peut avoir lim f = lim g sans avoir f ∼ g. Par exemple,
a
a
a
lim ex = lim x = +∞
x→+∞
mais
x→+∞
x→+∞
2
lim x = lim x = 0
x→0
ex 6∼ x,
mais
x→0
x
2
6∼ x.
x→0
Remarque. L’utilisation des équivalents permet de déterminer élégamment des limites de fractions rationnelles
en l’infini ou en 0.
Exemple 4.3
2x3 − 5x2 + 1
3x2 − 2x − 4
∼
x→+∞
2
2x3
= x
2
3x
3
2
2x3 − 5x2 + 1
x = +∞ donc lim
= +∞. De même
x→+∞ 3
x→+∞ 3x2 − 2x − 4
Or lim
2x3 − 5x2 + 1
3x2 − 2x − 4
∼
x→−∞
2
x
3
2
2x3 − 5x2 + 1
x = −∞ donc lim
= −∞.
x→−∞ 3
x→−∞ 3x2 − 2x − 4
et lim
Exemple 4.4
2x5 + x4 − x3
−x3
1
∼
=
5
4
3
− x + x − 3x x→0 −3x3
3
2x6
1
2x5 + x4 − x3
= .
x→0 2x6 − x5 + x4 − 3x3
3
donc lim
5
Domination
5.1
Définition
Définition 5.1
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage V de a (éventuellement privé de a si f ou g n’est pas
définie en a). On dit que f est dominée par g s’il existe une constante K telle que |f(x)| 6 K|g(x)| pour tout
x ∈ V. On note alors f = O (g) ou encore f(x) = O (g(x))
a
Méthode
x→a
Domination en pratique
En pratique, la définition précédente est difficile à manipuler. Quand g ne s’annule pas au voisinage de a,
f
f(x) = o(g(x)) équivaut à bornée au voisinage de a.
x→a
g
http://laurentb.garcin.free.fr
8
© Laurent Garcin

MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Attention ! f = O (0) signifie que f est nulle au voisinage de a, ce qui est très rarement le cas dans les
a
exercices et les problèmes. Dans 99% des cas, si vous aboutissez à une telle expression lors d’un calcul, c’est que
vous vous êtes trompés.
Remarque. En particulier dire que f = O (1) signifie que f est bornée au voisinage de a.
a
5.2
Opérations sur les grands O
Proposition 5.1 Opérations sur les grands O
Multiplication par un réel non nul
Si f = O (g) et λ 6= 0, alors f = O (λg).
a
a
Combinaison linéaire de fonctions négligeables devant une même fonction
Si f1 = O (g) et f2 = O (g), alors pour tous λ1 , λ2 ∈ R, λ1 f1 + λ2 f2 = O (g).
a
a
a
Transitivité
Si f = O (g) et g = O (h), alors f = O (h).
a
a
a
Produit
Si f1 = O (g1 ) et f2 = O (g2 ), alors f1 f2 = O (g1 g2 ).
a
a
a
Si f = O (g), alors fh = O (gh).
a
a
Composition à droite
Si f = O (g) et lim ϕ = a alors f ◦ ϕ = O (g ◦ ϕ).
b
a
b
Équivalence et grands O
Si f1 = O (g1 ) et si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors f2 = O (g2 ).
a
a
a
a
Petits o et grands O
Si f = O (g) et g = o(h), alors f = o(h).
a
a
a
Si f = o(g) et g = O (h), alors f = o(h).
a

a
a
Attention ! Opérations interdites
I On n’additionne pas des relations de domination membre à membre :
f1 = O (g1 ) et f2 = O (g2 ) 6⇒ f1 + f2 = O (g1 + g2 )
a
I On ne compose pas à gauche :
a
a
f = O (g) 6⇒ ϕ ◦ f = O (ϕ ◦ g)
a
5.3
a
Relation entre domination, négligeabilité et équivalence
Proposition 5.2
La négligeabilité et l’équivalence impliquent la domination. Si f = o(g) ou f ∼ g, alors f = O (g)
a

Attention ! La réciproque est fausse.
http://laurentb.garcin.free.fr
9
a
a