Séries de Fourier d`une fonction périodique. Propriétés de la somme

Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme.
Exemples
Dans toute ce chapitre, nous allons nous intéresser aux fonctions 2π-périodiques. Notons que si une fonction
f est T -périodique
(avec
T > 0), on se ramène à une fonction 2π-périodique en définissant une fonction g
T
x .
par : g(x) = f
2π
1
L’espace préhilbertien D
Notation 1.1
On note D l’ensemble des applications f définies sur R, à valeurs dans C, 2π-périodiques, continues par
morceaux, vérifiant :
f (x+ ) + f (x− )
,
2
f (x+ ) désignant la limite à droite en x et f (x− ) désignant la limite à gauche en x.
∀x ∈ R, f (x) =
Proposition 1.2
(i) D est un C-espace vectoriel ;
(ii) L’application h. , .i définie sur D2 , à valeurs dans C par
∀f, g ∈ D, hf, gi =
1
2π
Z
2π
f (t)g(t)dt
0
est un produit scalaire sur D (on note k.k2 la norme associée).
Définition 1.3
Soit f ∈ D. On appelle coefficients
Fourier de f les nombres complexes définis par :
Z de
2π
1
(i) ∀n ∈ Z, cn (f ) = hen , f i =
f (t) e− i nt dt ;
2π 0
Z
1 2π
(ii) ∀n ∈ N, an (f ) = cn (f ) + c−n (f ) =
f (t) cos(nt)dt ;
π 0
Z 2π
1
(iii) ∀n ∈ N, bn (f ) = i(cn (f ) − c−n (f )) =
f (t) sin(nt)dt.
π 0
Remarque 1.4
Si f est paire, alors pour tout n ∈ N∗ , bn (f ) = 0. Si f est
Z πimpaire, alors pour tout n ∈ N, an (f ) = 0. En
1
effet, si f est paire, alors pour tout n ∈ N∗ , bn (f ) =
f (t) sin(nt)dt. t 7→ f (t) sin(nt) étant impaire,
π −π
on a bn (f ) = 0. Même raisonnement si f est impaire.
Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples
Définition 1.5
Si f ∈ D, on appelle série de Fourier associée à f la série de fonction définie pour x ∈ R par
c0 (f ) +
X
(cn (f ) ei nx +c−n (f ) e− i nx ) =
n∈N∗
X
a0 (f )
+
(an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)).
2
∗
n∈N
Notation 1.6
Pour tout k ∈ Z, on note ek l’élément de D défini pour tout t ∈ R par ek (t) = ei kt . Si n ∈ N, on note
Pn = Vect{ek , −n 6 k 6 n}.
Proposition 1.7
(i) (ek )k∈Z est une famille orthonormée ;
(ii) Pour tout n ∈ N, D = Pn ⊕ Pn⊥ et si pn désigne la projection orthogonale sur Pn , on a, pour tout
n
X
f ∈ D : pn (f ) =
ck (f )ek ;
k=−n
(iii) ∀f ∈ D, ∀n ∈ N, kf − pn (f )k2 = inf kf − gk2 ;
g∈Pn
X
X
2
(iv) Pour tout f ∈ D,
|cn (f )| et
|c−n (f )|2 convergent et
n>1
n>1
|c0 (f )|2 +
+∞
X
(|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ) 6
n=1
2
1
2π
Z
2π
|f (t)|2 dt.
0
Convergences
Définition 2.1
(i) On appelle noyau de Dirichlet la suite (Dn )n∈N définie par :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Dn (x) =
n
X
ei kx .
k=−n
(ii) On appelle noyau de Féjer la suite (Kn )n∈N∗ définie par :
∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R, Kn (x) =
n−1
1X
Dk (x).
n
k=0
S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr
2/4
Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples
Proposition 2.2
(i) Pour tout n ∈ N, Dn et Kn sont paires ;
(ii)
1
∀n ∈ N,
2π
Z
2π
1
Dn (x)dx = 1 et ∀n ∈ N ,
2π
∗
0
Z
2π
Kn (x)dx = 1;
0
(iii)
sin (2n + 1) x2
∀n ∈ N, ∀x ∈ R \ 2πZ, Dn (x) =
;
sin x2
(iv)
∗
∀n ∈ N , ∀x ∈ R \ 2πZ, Kn (x) =
sin2 n x2
n sin2
x
2
.
Théorème 2.3 (de Dirichlet)
Soit f ∈ D. Si f est de classe C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de f converge simplement
sur R et a pour somme f :
∀x ∈ R, c0 (f ) +
+∞
X
1
(f (x+ ) + f (x− ))
2
(cn (f ) ei nx +c−n (f ) e− i nx ) = f (x) =
n=1
+∞
∀x ∈ R,
1
a0 (f ) X
(an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)) = f (x) = (f (x+ ) + f (x− ))
+
2
2
n=1
Théorème 2.4 (de Parseval )
Pour tout f ∈ D, kf − pn (f )k2 −−−−−→ 0. Autrement dit :
n→+∞
+∞
X
Z
1
(|cn (f )| + |c−n (f )| ) =
∀f ∈ D, |c0 (f )| +
2π
n=1
2
∀f ∈ D,
2
2
2π
|f (t)|2 dt
0
Z 2π
+∞
1
a0 (f )2
1X
(an (f )2 + bn (f )2 ) =
+
|f (t)|2 dt.
4
2 n=1
2π 0
Théorème 2.5
Soit f ∈ D, continue et de classe C 1 par morceaux sur R. Alors la série de Fourier de f converge
normalement sur R et a pour somme f .
3
3.1
Exemples
Calcul de sommes
Exemple 3.1
+∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1
;
+∞
X
1
π2
=
2
(2n + 1)
8
n=0
S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr
;
+∞
X
1
π4
=
4
n
90
n=1
;
+∞
X
1
π4
=
4
(2n + 1)
96
n=0
3/4
Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples
3.2
Inégalité de Wirtinger
Théorème 3.2
Z
1
Soit f une application 2π-périodique, continue, de classe C par morceaux sur R telle que
2π
f (t)dt = 0.
0
Alors
Z
2π
0
|f (t)|2 dt 6
Z
2π
|f 0 (t)|2 dt.
0
Il y a égalité si et seulement si f : t 7→ α ei t +β e− i t , avec α, β ∈ C.
3.3
Inégalité isopérimétrique
Proposition 3.3
Soit Γ un arc paramétré fermé de classe C 1 dans le plan euclidien, paramétré par une abscisse curviligne
s, s décrivant [0 ; L], L désignant la longueur de la courbe. Pour tout s ∈ [0 ; L], x(s) et y(s) désignent
Z L
x(s)ds = 0. On
les coordonnées dans un repère orthonormal du point M (s) de paramètre s, tel que
0
Z L
rappelle que l’aire du plan délimité par Γ est donnée par A =
x(s)y 0 (s)ds. Alors 4πA 6 L2 et on a
égalité si et seulement si Γ est un cercle.
S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr
0
4/4