Séries de Fourier d`une fonction périodique. Propriétés de la somme

S´eries de Fourier d’une fonction p´eriodique. Propri´et´es de la somme.
Exemples
Dans toute ce chapitre, nous allons nous int´eresser aux fonctions 2π-p´eriodiques. Notons que si une fonction
fest T-p´eriodique (avec T > 0), on se ram`ene `a une fonction 2π-p´eriodique en d´efinissant une fonction g
par : g(x) = fT
2πx.
1 L’espace pr´ehilbertien D
Notation 1.1
On note Dl’ensemble des applications fd´efinies sur R, `a valeurs dans C,2π-p´eriodiques, continues par
morceaux, v´erifiant :
∀x∈R, f(x) = f(x+) + f(x−)
2,
f(x+)d´esignant la limite `a droite en xet f(x−)d´esignant la limite `a gauche en x.
Proposition 1.2
(i) Dest un C-espace vectoriel ;
(ii) L’application h. , .id´efinie sur D2, `a valeurs dans Cpar
∀f, g ∈ D,hf, gi=1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt
est un produit scalaire sur D(on note k.k2la norme associ´ee).
D´efinition 1.3
Soit f∈ D. On appelle coefficients de Fourier de fles nombres complexes d´efinis par :
(i) ∀n∈Z, cn(f) = hen, fi=1
2πZ2π
0
f(t) e−int dt;
(ii) ∀n∈N, an(f) = cn(f) + c−n(f) = 1
πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt;
(iii) ∀n∈N, bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)) = 1
πZ2π
0
f(t) sin(nt)dt.
Remarque 1.4
Si fest paire, alors pour tout n∈N∗,bn(f) = 0. Si fest impaire, alors pour tout n∈N,an(f) = 0. En
effet, si fest paire, alors pour tout n∈N∗,bn(f) = 1
πZπ
−π
f(t) sin(nt)dt.t7→ f(t) sin(nt)´etant impaire,
on a bn(f)=0. Mˆeme raisonnement si fest impaire.

S´eries de Fourier d’une fonction p´eriodique. Propri´et´es de la somme. Exemples
D´efinition 1.5
Si f∈ D, on appelle s´erie de Fourier associ´ee `a fla s´erie de fonction d´efinie pour x∈Rpar
c0(f) + X
n∈N∗
(cn(f) einx +c−n(f) e−inx) = a0(f)
2+X
n∈N∗
(an(f) cos(nx) + bn(f) sin(nx)).
Notation 1.6
Pour tout k∈Z, on note ekl’´el´ement de Dd´efini pour tout t∈Rpar ek(t) = eikt. Si n∈N, on note
Pn= Vect{ek,−n6k6n}.
Proposition 1.7
(i) (ek)k∈Zest une famille orthonorm´ee ;
(ii) Pour tout n∈N,D=Pn⊕ P⊥
net si pnd´esigne la projection orthogonale sur Pn, on a, pour tout
f∈ D :pn(f) =
n
X
k=−n
ck(f)ek;
(iii) ∀f∈ D,∀n∈N,kf−pn(f)k2= inf
g∈Pn
kf−gk2;
(iv) Pour tout f∈ D,X
n>1
|cn(f)|2et X
n>1
|c−n(f)|2convergent et
|c0(f)|2+
+∞
X
n=1
(|cn(f)|2+|c−n(f)|2)61
2πZ2π
0
|f(t)|2dt.
2 Convergences
D´efinition 2.1
(i) On appelle noyau de Dirichlet la suite (Dn)n∈Nd´efinie par :
∀n∈N,∀x∈R, Dn(x) =
n
X
k=−n
eikx .
(ii) On appelle noyau de F´ ejer la suite (Kn)n∈N∗d´efinie par :
∀n∈N∗,∀x∈R, Kn(x) = 1
n
n−1
X
k=0
Dk(x).
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S´eries de Fourier d’une fonction p´eriodique. Propri´et´es de la somme. Exemples
Proposition 2.2
(i) Pour tout n∈N,Dnet Knsont paires ;
(ii)
∀n∈N,1
2πZ2π
0
Dn(x)dx= 1 et ∀n∈N∗,1
2πZ2π
0
Kn(x)dx= 1;
(iii)
∀n∈N,∀x∈R\2πZ, Dn(x) = sin (2n+ 1)x
2
sin x
2;
(iv)
∀n∈N∗,∀x∈R\2πZ, Kn(x) = sin2nx
2
nsin2x
2.
Th´eor`eme 2.3 (de Dirichlet )
Soit f∈ D. Si fest de classe C1par morceaux sur R, alors la s´erie de Fourier de fconverge simplement
sur Ret a pour somme f:
∀x∈R, c0(f) +
+∞
X
n=1
(cn(f) einx +c−n(f) e−inx) = f(x) = 1
2(f(x+) + f(x−))
∀x∈R,a0(f)
2+
+∞
X
n=1
(an(f) cos(nx) + bn(f) sin(nx)) = f(x) = 1
2(f(x+) + f(x−))
Th´eor`eme 2.4 (de Parseval )
Pour tout f∈ D,kf−pn(f)k2−−−−−→
n→+∞0. Autrement dit :
∀f∈ D,|c0(f)|2+
+∞
X
n=1
(|cn(f)|2+|c−n(f)|2) = 1
2πZ2π
0
|f(t)|2dt
∀f∈ D,a0(f)2
4+1 2
+∞
X
n=1
(an(f)2+bn(f)2) = 1
2πZ2π
0
|f(t)|2dt.
Th´eor`eme 2.5
Soit f∈ D, continue et de classe C1par morceaux sur R. Alors la s´erie de Fourier de fconverge
normalement sur Ret a pour somme f.
3 Exemples
3.1 Calcul de sommes
Exemple 3.1
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6;
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)2=π2 8;
+∞
X
n=1
1
n4=π4 90 ;
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)4=π4 96
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S´eries de Fourier d’une fonction p´eriodique. Propri´et´es de la somme. Exemples
3.2 In´egalit´e de Wirtinger
Th´eor`eme 3.2
Soit fune application 2π-p´eriodique, continue, de classe C1par morceaux sur Rtelle que Z2π
0
f(t)dt= 0.
Alors
Z2π
0
|f(t)|2dt6Z2π
0
|f0(t)|2dt.
Il y a ´egalit´e si et seulement si f:t7→ αeit+βe−it, avec α, β ∈C.
3.3 In´egalit´e isop´erim´etrique
Proposition 3.3
Soit Γun arc param´etr´e ferm´e de classe C1dans le plan euclidien, param´etr´e par une abscisse curviligne
s,sd´ecrivant [0 ; L],Ld´esignant la longueur de la courbe. Pour tout s∈[0 ; L],x(s)et y(s)d´esignent
les coordonn´ees dans un rep`ere orthonormal du point M(s)de param`etre s, tel que ZL
0
x(s)ds= 0. On
rappelle que l’aire du plan d´elimit´e par Γest donn´ee par A=ZL
0
x(s)y0(s)ds. Alors 4πA6L2et on a
´egalit´e si et seulement si Γest un cercle.
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