DM 9 (MP*) : Une initiation `a la topologie de R

D.M. 9 (MP*) : Une initiation `a la topologie de R
Pour le lundi 24 f´evrier
1) Ouverts et ferm´es, d´efinitions
a) Un sous ensemble Ade Rest dit ouvert si, et seulement si, ∀x∈A, ∃ε > 0,]x−ε, x+ε[⊂A.
Autrement dit Aest ouvert si, et seulement si, pour chaque point xde A, il existe un voisinage
de xinclus dans A.
(i) V´erifier que les intervalles ouverts ]a, b[ ou ]a, +∞[ ou ] − ∞, a[ sont ouverts, et que par
exemple I= [a, b] n’est pas ouvert.
(ii) V´erifier qu’une r´eunion (mˆeme infinie) d’intervalles ouverts est encore ouverte.
Remarque – En fait un ouvert de Rest toujours une r´eunion (´eventuellement infinie) d’inter-
valles ouverts. En effet pour tout x∈Asi on note εx>0 un εtel que ]x−εx, x +εx[⊂A, on a
A=[
x∈A
]x−εx, x +εx[.
b) Un sous-ensemble Fde Rest dit ferm´e si, et seulement si, son compl´ementaire R\Fest
ouvert.
(i) V´erifier que les intervalles de la forme [a, b] mais aussi [a, +∞[ sont ferm´es.
(ii) V´erifier que l’ensemble Zest ferm´e dans R.
2) Caract´erisation s´equentielle des ferm´es
a) D´emontrer l’´equivalence suivante : A⊂Rest ferm´e si, et seulement si, si (an)∈ANest une
suite convergente dans Ralors sa limite est aussi dans A.
(Bien sˆur les intervalles ferm´es v´erifient cette propri´et´e).
b) Retrouver, `a l’aide de la prop. du a), le fait que Zest ferm´e dans R, en consid´erant ce qu’est
une suite d’entiers qui converge.
c) Soit (un) une suite convergente, soit lsa limite et A={un, n ∈N} ∪ {l}. D´emontrer que cet
ensemble est ferm´e.
3) L’application “distance `a une sous-ensemble”
Pour A⊂Ret x∈R, on d´efinit la distance de x`a A,d(x, A)def = inf{|x−a|, a ∈A}.
a) Montrer que d(x, A)=0⇔ ∃ (an)∈AN, an−→
n→+∞x.
b) On appelle adh´erence de Aet note ¯ A={x∈R, d(x, A) = 0}.
Justifier que Aest ferm´e dans Rsi, et seulement si, ¯ A=A.
c) Que dire de l’adh´erence de Adans Rsi Aest dense dans R?
Retenir de cela que les deux propri´et´es “ferm´es” et ”denses” sont diam´etralement oppos´ees
d) Montrer que si Aest un ensemble ferm´e, pour tout x∈R,∃ax∈A, d(x, A) = |x−ax|.
(Autrement dit l’inf. est atteint).
e) Pour deux sous-ensembles Aet Bde R, on note d(A, B) = inf{|a−b|,(a, b)∈A×B}.
Donner un exemple de deux sous-ensembles ferm´es Aet Bdisjoints tels que pourtant d(A, B) = 0 !
(Ce n’est pas si facile... il est n´ecessaire que Aet Bsoient non born´es, cf. fin du 4) )
4) Ensembles compacts
a) Par d´ef. un sous-ensemble Kde Rest dit compact si, et seulement si, il a la propri´et´e suivante,
dite de Bolzano-Weierstrass :
Pour toute suite (xn)∈KN, cette suite admet une suite extraite convergente dont la limite x
est aussi dans K.
(i) En d´eduire que si Kest compact, alors Kest n´ecessairement ferm´e (avec la caract. du 2).
(ii) Montrer aussi que Kest born´e (On pourra raisonner par l’absurde).
Remarque – Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dit que le r´ecip. du a) est vraie : si on a un
ensemble Kqui est ferm´e et born´e alors pour toute suite (xn)∈KNelle est born´ee, donc par B.W.
elle admet une suite extraite convergente, et comme Kest ferm´ee, la limite est dans K.
Conclusion : les ensembles compacts de Rsont simplement les ensembles ferm´es et born´es dans
R.
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Les segments de Rsont les intervalles compacts.
b) Montrer que si {1
n, n ∈N∗}∪{0}est compact.
c) Montrer que si Aest un ensemble ferm´e et Kest un ensemble compact de Ravec Aet K
disjoints alors d(A, K)>0 i.e. que le ph´enom`ene du 3) f) ne se produit pas.
5) Retours sur les sous-groupes de R: le groupe des p´eriodes d’une fonction
Soit f:R→Rune fonction quelconque.
On note Πf={T∈R,∀x∈R, f(x+T) = f(x)}.
a) A quelle condition sur l’ensemble Πfla fonction fest-elle p´eriodique ?
b) Justifier que Πfest un sous-groupe de (R,+).
c) On a vu en exercice la forme des sous-groupes de (R,+). Avec le langage de ce probl`eme, ils
sont soit de la forme αZet en particulier ferm´es, soit denses.
(i) Montrer que si f=χQalors Πfest dense.
(ii) Montrer que si fest continue alors Πfest ferm´e (avec la caract. du 2.) En d´eduire que
si fest une fonction p´eriodique continue non constante, fadmet bien une plus petite p´eriode
strictement positive.
d) Soit T1et T2dans R+∗tels que T1/T26∈ Q. Que dire d’une fonction fcontinue sur R
admettant les nombres T1et T2comme p´eriodes ?
e) Soit fet gdeux fonctions continues p´eriodiques de p´eriodes respectives T1et T2.
On suppose ici T1/T2∈Q. Montrer que h=f+gest aussi p´eriodique
f) On a les mˆemes hyp. qu’au e) sauf qu’on suppose que T1/T26∈ Q.
On veut montrer que h=f+gn’est pas p´eriodique (c’est plus difficile).
Indication – Supposer que hest Tp´eriodique et consid´erer ϕ(x) = f(x+T)−f(x) = g(x)−g(x+T).
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