Séries de Fourier - MP Fénelon, mathématiques

S´eries
Quatri`eme partie
S´eries de Fourier
1 S´eries trigonom´etriques
D´efinition. On appelle s´erie trigonom´etrique toute s´erie d’applications Pfnpour
laquelle il existe deux suites de complexes (an)n∈Net (bn)n∈N∗telles que, pour n= 0,
f0est constante et ´egale `a a0
2, et pour n≥1, fn:R−→ C
t7−→ ancos(nt) + bnsin(nt).
Par abus de notations, une telle s´erie trigonom´etrique sera not´ee
(R)
a0
2+X
n≥1
(ancos(nt) + bnsin(nt)).
Propri´et´e. Une s´erie d’applications est une s´erie trigonom´etrique si et seulement si
elle est de la forme
(C)c0+X
n≥1
(cneint +c−ne−int),
ou (cn)n∈Zest une famille de complexes.
La formule (R) est appel´ee la notation r´eelle d’une s´erie trigonom´etrique et la formule
(C) est appel´ee la notation complexe. On passe d’une ´ecriture `a l’autre `a l’aide des
formules suivantes :
∀n∈Ncn=an−ibn
2, c−n=an+ibn 2,
∀n∈Nan=cn+c−n, bn=i(cn−c−n),
en convenant que b0= 0.
D´emonstration.
•Consid´erons la s´erie trigonom´etrique a0
2+X
n≥1
(ancos(nt) + bnsin(nt)).
Soient n≥1 et t∈R.ancos(nt) + bnsin(nt) = an−ibn
2eint +an+ibn 2e−int.
Ainsi, en posant cn=an−ibn
2et c−n=an+ibn 2,
1

S´eries 2 Coefficients de Fourier
on a ∀n∈N∗∀t∈Rancos(nt) + bnsin(nt) = cneint +c−ne−int.
De plus, pour n= 0, on posera c0=a0
2. Ainsi la s´erie trigonom´etrique s’´ecrit aussi
c0+X
n≥1
(cneint +c−ne−int).
•R´eciproquement, consid´erons une s´erie d’applications de la forme
c0+X
n≥1
(cneint +c−ne−int).
Soient n≥1 et t∈R.
cneint +c−ne−int = (cn+c−n) cos(nt) + i(cn−c−n) sin(nt).
On parvient donc `a conclure en posant a0= 2c0.
2 Coefficients de Fourier
Notation. C2πd´esigne l’ensemble des applications continues et 2π-p´eriodiques de R
dans C.
On notera Cpm
2πl’ensemble des applications continues par morceaux et 2π-p´eriodiques
de Rdans C.
Propri´et´e. Cpm
2πet C2πsont des C-espaces vectoriels .
Notation. Pour toute la suite du chapitre 2), on fixe une application f.
Sauf indication du contraire, on suppose que f∈ Cpm
2π.
D´efinition. Soit (cn)n∈Z∈CZ. On dit que la famille (cn) est sommable si et seulement
si les s´eries Xcnet Xc−nsont absolument convergentes.
Dans ce cas, on note X
n∈Z
cn=
+∞
X
n=0
cn+
+∞
X
n=1
c−n.
Remarque. Informellement, si f∈ Cpm
2πest une application d´eveloppable en s´erie
trigonom´etrique, c’est-`a-dire s’il existe une famille (cn)n∈Z∈CZtelle que, pour tout
t∈R,f(t) = X
n∈Z
cneint, alors, pour tout q∈Z, (sans chercher `a justifier l’interversion)
1
2πZ2π
0
f(t)e−iqtdt =X
n∈Z
cn
1
2πZ2π
0
ei(n−q)tdt =X
n∈Z
cnδn,q =cq, donc, toujours infor-
mellement), si l’on veut d´evelopper une application 2π-p´eriodique sous la forme d’une
somme de s´erie trigom´etrique t7−→ X
n∈Z
cneint, on doit prendre cn=1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt.
D´efinition. On appelle coefficients (exponentiels) de Fourier de fles
cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt,
o`u n∈Z, et coefficients (trigonom´etriques) de Fourier de fles
an(f) = 1
πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt et bn(f) = 1
πZ2π
0
f(t) sin(nt)dt,
c
Eric Merle 2MP F´enelon

S´eries 2 Coefficients de Fourier
o`u n∈N.
Remarque. f´etant 2π-p´eriodique, on peut remplacer dans les formules pr´ec´edentes
les int´egrales entre 0 et 2πpar les int´egrales des mˆemes fonctions sur un intervalle
quelconque de longueur 2π.
Notation. Pour tout n∈Z, on notera parfois ˙ f(n) = cn(f).
On note ˙ f= ( ˙ f(n))n∈Z.
Propri´et´e. L’application F:Cpm
2π−→ CZ
g7−→ ˙gest une application lin´eaire.
Propri´et´e. La suite ˙ fest born´ee, et, en notant kfk1=1
2πZπ
−π|f(t)|dt ,
k˙ fk∞≤ kfk1.
D´emonstration.
Laiss´ee en exercice.
Remarque. Dans la propri´et´e pr´ec´edente, kfk1est une notation, mais k.k1n’est pas
une norme sur Cpm
2π.
Propri´et´e. Pour tout n∈Z,cn(f) = 1
2πZπ
−π
f(t)eintdt =c−n(f).
En particulier, si fest `a valeurs r´eelles, pour tout n∈Z,cn(f) = c−n(f).
Propri´et´e. Pour tout n∈Z,
cn(t7−→ f(−t)) = 1
2πZπ
−π
f(−t)e−intdt =1
2πZπ
−π
f(u)einudu =c−n(f).
En particulier, si fest paire, pour tout n∈Z,cn(f) = c−n(f),
et si fest impaire, pour tout n∈Z,cn(f) = −c−n(f).
Propri´et´e. Effet d’une translation. Soit a∈R. Pour tout n∈Z,
cn(t7−→ f(t+a)) = 1
2πZπ
−π
f(t+a)e−intdt =1
2πZπ+a
−π+a
f(u)e−in(u−a)du =einacn(f).
Propri´et´e. On dispose des relations suivantes :
∀n∈Ncn(f) = an(f)−ibn(f)
2, c−n(f) = an(f) + ibn(f) 2,
∀n∈Nan(f) = cn(f) + c−n(f), bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)),
Propri´et´e.
Si fest paire, pour tout n∈N,an(f) = 2
πZπ
0
f(t) cos(nt)dt et bn(f) = 0.
Si fest impaire, pour tout n∈N,bn(f) = 2
πZπ
0
f(t) sin(nt)dt et an(f) = 0.
Lemme de Riemann-Lebesgue. Soient (a, b)∈R2avec a < b et f: [a, b]−→ C
une application continue par morceaux. Alors
Zb
a
f(t)eintdt −→
n→+∞0.
c
Eric Merle 3MP F´enelon

S´eries 2 Coefficients de Fourier
D´emonstration.
Au tableau
Remarque. La d´emonstration pr´ec´edente montre ´egalement que
Zb
a
f(t)eiλtdt −→
λ→+∞
λ∈R
0.
Corollaire. Les suites (cn(f))n∈N, (c−n(f))n∈N, (an(f))n∈N, et (bn(f))n∈Nconvergent
vers 0.
D´emonstration.
Soit n∈N.
c−n(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)eint −→
n→+∞0 d’apr`es le lemme de Riemann-Lebesgue.
cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)eint −→
n→+∞0, donc cn(f)−→ n→+∞0.
an(f) = cn(f) + c−n(f)−→
n→+∞0 et bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)) −→ n→+∞0.
Propri´et´e. On suppose que fest continue sur R, et de classe C1par morceaux. Alors
∀n∈Zcn(f′) = incn(f).
En particulier, cn(f) = o(1
n) lorsque ntend vers ±∞.
D´emonstration.
Soit n∈Z.
cn(f′) = 1
2πR2π
0f′(t)e−intdt
=1
2π[f(t)e−int]2π
0+R2π
0f(t)ine−intdt
=incn(f).
Cette int´egration par parties est licite car les applications fet t7−→ e−int sont continues
sur [0,2π] et sont de classe C1par morceaux.
Corollaire. Soit k∈N∗. On suppose que
fest de classe Ck−1sur R, et de classe Ckpar morceaux. Alors
∀n∈Zcn(f(k)) = (in)kcn(f).
En particulier, cn(f) = o(1
nk).
D´emonstration.
Par r´ecurrence sur k.
Remarque. A la fin du calcul des coefficients de Fourier d’une application, il est bon
de v´erifier que le r´esultat obtenu a un ordre de grandeur qui est en accord avec ce
corollaire.
c
Eric Merle 4MP F´enelon

S´eries 3 Point de vue hermitien
Remarque. On peut ´etablir des formules analogues pour les coefficients de Fourier
trigonom´etriques.
D´efinition. On appelle s´erie de Fourier de fla s´erie trigonom´etrique suivante :
a0(f)
2+X
n≥1
(an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt)) = c0(f) + X
n≥1
(cn(f)eint +c−n(f)e−int).
Lorsque
∀t∈D f(t) = c0(f) +
+∞
X
n=1
(cn(f)eint +c−n(f)e−int),
o`u Dest un domaine inclus dans R, on dit que fest d´eveloppable en s´erie de Fourier
sur D.
Remarque. Le th´eor`eme de Dirichlet que l’on ´enoncera plus loin montre que si fest
suffisamment r´eguli`ere, elle est d´eveloppable en s´erie de Fourier sur R.
Notation. Pour p∈Net t∈R, on note Sp(f)(t) =
p
X
n=−p
cn(f)eint. On l’appelle la
p`eme somme partielle de la s´erie de Fourier de f.
La s´erie de Fourier de fconverge en tsi et seulement si, `a tfix´e, la suite (Sp(f)(t))p∈N
admet une limite, et dans ce cas, cette limite est ´egale `a la somme de la s´erie de Fourier
de fen t.
3 Point de vue hermitien
C2π, muni de
< ., . >:C2
2π−→ C
(f, g)7−→ < f, g >=1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt est un espace
pr´ehilbertien complexe. On notera k.kla norme hermitienne associ´ee.
Notation. Pour p∈Z, posons ep:R−→ C
t7−→ eipt .
Propri´et´e. (ep)p∈Zest une famille orthonormale de C2π.
D´emonstration.
Soit (p, q)∈Z2.< ep, eq>=1
2πZ2π
0
ei(q−p)tdt =δp,q.
Propri´et´e. Pour tout f∈ C2πet tout p∈Z,cp(f) =< ep, f >.
Notation. Pour p∈N, posons e′
p:R−→ R
t7−→ cos(pt)et e′′
p:R−→ R
t7−→ sin(pt).
Propri´et´e. La r´eunion des familles (e′
p)p∈Net (e′′ p)p∈N∗est une famille libre et ortho-
gonale de C2π.
c
Eric Merle 5MP F´enelon