5. Transformation de Fourier de fonctions intégrables

Analyse II, partie 1 Année académique 2016-2017
2eBloc Mathématique et Physique
5. Transformation de Fourier de fonctions intégrables
Exercice 1. Soit a > 0. Calculer (si possible) la transformée de Fourier des fonctions suivantes :
(a) f1:x∈R7→ eixe−xχ[0,+∞[(x)
(b) f2:x∈R7→ xe−x2
(c) f3:x∈R7→ (1 −a|x|)χ[−1
a,1 a](x)
(d) f4:x∈R7→ e−|x−1|
(e) f5:x∈R7→ sin(2x)χ[−1,1](x).
Exercice 2. (a) Calculer (si possible) la transformée de Fourier de la fonction x7→ e−λ|x|
(x∈R) où λest une constante strictement positive.
(b) Pour tout λ > 0, on pose
Rλ(x) = λ
π(x2+λ2), x ∈R.
Montrer que, pour tous a, b > 0, on a Ra? Rb=Ra+b.
(c) En déduire que, pour tous a, b > 0, on a
Z+∞
0
dx
(x2+a2)(x2+b2)=π 2ab
1
a+b.
Exercice 3. Soit El’espace des fonctions intégrables sur Rnet Fl’espace des fonctions bornées
sur Rn. Montrer que l’opérateur
F±:E→F
est injectif mais pas surjectif.
Exercice 4. Montrer que la transformée de Fourier d’une fonction paire (resp. impaire) est paire
(resp. impaire). Qu’en est-il de la réciproque ?
Exercice 5. Soient a, b > 0. Si possible, calculer
(a) R+∞
0
sin(ax) sin(bx)
x2dx
(b) R→+∞
0
sin(ax) cos(bx)
xdx
(c) R→+∞
0
sin(ax) sin(bx)
xdx si a6=b.
(Rappel : Pour tout λ > 0, on a R→+∞
0
sin(λx)
x=π 2.)
Exercice 6. En utilisant le théorème du transfert, calculer
Z+∞
0
e−x
xsin(x)dx.
Exercice 7. Soit un signal f(on suppose que cette fonction est intégrable et de carré intégrable).
On définit l’autocorrélation du signal par
Ef(t) = ZR f(x)f(x−t)dx, t ∈R
et la densité spectrale de puissance de ce signal (PSD) par
Df(y) = 
F−
yf
2, y ∈R.
On pose fs(x) = f(−x)pour x∈R.
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(a) Montrer que l’autocorrélation s’écrit Ef=f ? fs.
(b) Montrer que l’autocorrélation d’une fonction à valeurs réelles est une fonction paire.
(c) Montrer que
sup
t∈R|Ef(t)|=Ef(0).
(d) Montrer que la densité spectrale et l’autocorrélation sont liées par la transformation de
Fourier (l’une est la transformée de l’autre).
— Autres exercices —
Exercice 8 (Equation de la chaleur). Soit une fonction u∈C2(R×[0,+∞[) telle que, pour
tout t≥0, les fonctions x7→ u(x, t),x7→ Dxu(x, t)et x7→ D2
xu(x, t)sont intégrables sur R.
On suppose qu’il existe U1, U2∈L1(R)tel que |u(x, t)| ≤ U1(x)et |Dtu(x, t)| ≤ U2(x)pour
tout (x, t)∈R×]0,+∞[. Soit vune constante strictement positive. On suppose que uvérifie
l’équation de la chaleur
Dtu(x, t) = v2D2
xu(x, t), x ∈R, t > 0.
On pose
f(x) = u(x, 0), x ∈R
et on définit la fonction Fde telle sorte que, pour tout t≥0,F(y, t)est la transformée de
Fourier (négative) en yde la fonction x7→ u(x, t).
(a) Montrer que pour tout y∈R, la fonction t7→ F(y, t)vérifie
DtF(y, t) + v2y2F(y, t) = 0.
(b) En déduire que, pour y∈Ret t≥0, on a
F(y, t) = e−v2y2tF−
yf.
(c) En déduire finalement que, pour x∈Ret t≥0, on a
u(x, t) = 1
√πZR
f(x+ 2v√ty)e−y2dy.
Exercice 9. Démontrer que 0est la seule fonction intégrable sur Rntelle que f ? f =f.
Exercice 10. On définit la fonction Ei par
Ei(x) = −Z+∞
−x
et
tdt, ∀x∈R.
Montrer que
F+
y(Ei) = −2 arctan |y|
|y|.
F. Bastin & C. Dubussy – 10 novembre 2016
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