BTS Groupement A

BTS Groupement A
Formulaire de math´ematiques autoris´e.
Exercice 1 6 points
Soit les nombres complexes a=√3−j;b= 2 −2jet z=a4
b3.
1. Donner le module et un argument de a,b,a4et b3.
2. Calculer le module et un argument de z.
Exercice 2 BTS, Groupement A1, Nouvelle Cal´eadonie, 2006 14 points
On consid`ere la fonction ϕd´efinie sur IR,2π-p´eriodique, et telle que :
(ϕ(t) = tsi 0 6t < π
ϕ(t) = 0 si π6t < 2π
On note S(t) d´eveloppement de Fourier associ´e `a la fonction ϕ; les coefficients de Fourier associ´es
`a la fonction ϕsont not´es a0, an, bno`u nest un nombre entier naturel non nul.
1. Repr´esenter graphiquement la fonction ϕsur l’intervalle [−2π; 4π].
2. a. Calculer a0, la valeur moyenne de la fonction ϕsur une p´eriode.
b. On rappelle que pour une fonction f, p´eriodique de p´eriode Tle carr´e de la valeur efficace
sur une p´eriode est donn´e par : µ2
eff =1
TZT
0
[f(t)]2dt.
Montrer que µ2
eff, le carr´e de la valeur efficace de la fonction sur une p´eriode, est ´egal `a π2
6.
3. Montrer que. pour tout nombre entier n>1, on a : an=1
πn2[cos(nπ)−1].
On admet que, pour tout nombre entier n>1, on a : bn=−
cos(nπ)
n.
4. Recopier et compl´eter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demand´es.
a0a1b1a2b2a3b3
−
2
9π
1
3
5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carr´e de la valeur efficace µ2
3de
la fonction S3.
µ2
3=a2 0+1
2a2
1+b2 1+a2 2+b2 2+a2 3+b2 3
Calculer la valeur approch´ee de µ2
3
µ2
eff
arrondie `a 10−2.
BTS Groupement A 1/1