Analyse spectrale Série de Fourier

Analyse spectrale
S´erie de Fourier
Table des mati`eres
1 Repr´esentation d’un signal 2
1.1 Repr´esentation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Repr´esentation fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Calcul du d´eveloppement en s´erie de Fourier d’un signal p´eriodique simple 3
3 S´erie de Fourier 5
4 Formule de Parseval 7
5 Spectre du signal 7
1

Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN Acad´emie de Bordeaux
Avertissement : Le cours suivant est destin´e `a des ´el`eves de BTS SE dont le niveau en math´ematiques n’est pas
toujours suffisant. L’ensemble perd parfois de sa rigueur au profit de la compr´ehension du ph´enom`ene. Le lecteur
averti trouvera davantage de pr´ecision dans la derni`ere partie de ce cours.
1 Repr´esentation d’un signal
Les signaux rencontr´es peuvent ˆetre analogiques(continus) ou num´eriques(discrets). L’´echantillonnage permet
le passage de l’un `a l’autre et le th´eor`eme de Shanon assure la fid´elit´e du processus.
Les oscillogrammes comme les logiciels de traitement du son (Audacity) repr´esente par d´efaut l’amplitude d’un
signal en fonction du temps ; on parle alors de repr´esentation temporelle du signal. On peut aussi le repr´esenter
en fonction d’une fr´equence. On parle alors de repr´esentation fr´equentielle du signal
1.1 Repr´esentation temporelle
Une exemple simple d’un signal p´eriodique :
s(t) = 20sin(50t)
d’amplitude 20 et de pulsation ω= 50, dont la courbe repr´esentative est :
10
20
−10
−20
−30
0.5−0.5
Un exemple un peu plus complexe :
.
s(t) = 2cos(t)−5sint(2t) + 3cos(4t)
dont la repr´esentation graphique est :
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1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4−1−2−3−4−5
1.2 Repr´esentation fr´equentielle
Il s’agit de repr´esenter l’amplitude du signal en fonction de la pulsation du signal encore appel´e spectre du
signal. Rappelons que pulsation et fr´equence sont li´ees par la relation ω= 2πf , qui traduit la proportionnalit´e des
deux grandeurs.Le spectre obtenu est alors le mˆeme si on repr´esente l’amplitude en fonction de la pulsation ou de
la fr´equence.
Reprenons les exemples pr´ec´edents dont le spectre est facile `a r´ealiser :
20
10 20 30 40 50
ω
Amplitude
1
2
3
4
5
−1
1234−1
ω
Amplitude
2 Calcul du d´eveloppement en s´erie de Fourier d’un signal p´eriodique simple
La d´ecomposition en s´erie de Fourier d’un signal p´eriodique permet d’´etablir le spectre de fr´equence de ce
signal.
En effet, le principe ✍de la d´ecomposition de Fourier est le suivant :
Tout signal p´eriodique sse d´ecompose en une somme de sinuso¨ıdes de diff´erentes harmoniques.
✍. Il s’agit bien ici d’un principe et non d’une d´efinition rigoureuse !
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En d’autres termes, on peut ´ecrire :
s(t) = A0+A1sin(ωt +φ1) + A2sin(2ωt +φ2) + A3sin(3ωt +φ3) + ... +Ansin(nωt +φn) + ...
ou bien encore :
s(t) = a0+a1cos(ωt) + b1sin(ωt) + a2cos(2ωt) + b2sin(2ωt) + ... +ancos(nωt) + bnsin(nωt) + ...
o`u les (ai) et les (bi) sont appel´es les coefficients de Fourier du signal savec :
a0=1
TZT
s(t)dt
et pour tout n>1, an=2
TZT
s(t)cos(nωt)dt et bn=2
TZT
s(t)sin(nωt)dt
Le symbole ZT
signifie qu’on int`egre sur une p´eriode, ou plus pr´ecis´ement sur un intervalle de longueur ´egale `a la
p´eriode.
EXEMPLE
On consid`ere le signal 2π- p´eriodique repr´esent´e ci-dessous sur une p´eriode :
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1234567−1−2−3−4−5−6−7−8
On a donc :
s(t) = 
tsi t∈[0; π
2[
−t+πsi t∈[π
2;3π 2[
t−2πsi t∈[3π
2; 2π[
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Calculons les coefficients de Fourier de ce signal avec les formules ci-dessus :
– 2πa0=ZT
s(t)dt =Z2π
0
s(t)dt = 0 apr`es calculs.
– Pour n>1, on a :
πan=Z2π
0
s(t)cos(nt)dt =Z
π
2
0
tcos(nt)dt +Z
3π
2
π
2
(−t+π)cos(nt)dt +Z2π
3π
2
(t−2π)cos(nt)dt = 0 apr`es cal-
culs ✍.
– Pour n>1, on a :
πbn=Z2π
0
s(t)sin(nt)dt =Z
π
2
0
tsin(nt)dt +Z
3π
2
π
2
(−t+π)sin(nt)dt +Z2π
3π
2
(t−2π)sin(nt)dt,
soit πbn=4
n2sin(nπ 2) apr`es calculs.
Donc b1 = 4
π, b2=−0; b3=−4 9π;... et enfin :
s(t) = b1sin(t) + b2sin(2t) + b3sin(3t) + ... =4
πsin(t)−4 9πsin(3t) + ...
Repr´esentation graphique du signal obtenu jusqu’aux harmoniques de rang 5 :
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1234567−1−2−3−4−5−6−7−8
3 S´erie de Fourier
On consid`ere une fonction fcontinue par morceaux, T-p´eriodique, et v´erifiant
∀x∈R, f (x) = f(x+) + f(x−)
2
✍. On verra plus tard que ce r´esultat ´etait pr´evisible.
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