Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 5

Université Bordeaux I
Master de Mathématiques 1ère année Second semestre
Théorie algébrique des nombres
Feuille d’exercices n◦5
Exercice 1. La fonction z7→ z
ez−1est développable en série entière au voisinage de 0: il
existe (Bn)n∈N∈QNet R∈R>0tels que
z
ez−1=
+∞
X
n=0
Bnzn
n!
pour |z|< R. Le nombre Bns’appelle le n-ième nombre de Bernoulli.
(1) Montrer que B2n+1 = 0 pour tout n∈N>0.
(2) Montrer que pour tout n∈N, on a ζ(−n) = (−1)nBn+1
n+1 (on utilisera la formule du
cours (e2iπs −1)Γ(s)ζ(s) = I(s) := RHr,ε
zs−1
es−1dz, où Hr,ε est le contour habituel de la
demi-doite [0,+∞[).
(3) En utilisant l’équation fonctionnelle, montrer que pour tout n∈N>0, on a
ζ(2n) = −(2iπ)2n
2(2n)! B2n
Exercice 2. Une preuve élémentaire des formules d’Euler sur les valeurs de ζ(2n), d’après
Calabi et Zagier.
(1) Soit S=]0,1[2⊂R2. En développant la fonction (x, y)7→ 1
1−x2y2en série sur S,
montrer que I:= RS
dxdy
1−x2y2=3ζ(2) 4. Montrer que I=π2 8(on utilisera le changement
de variables (u, v)7→ (x, y) = sin(u)
cos(v),sin(v) cos(u), qui induit une bijection T:= u, v ∈
R>0, u +v < π
2→S). En déduire que ζ(2) = π2 6.
(2) Soit k≥4un entier pair. Pour m, n ∈N>0, on pose
f(m, n) = 1
mnk−1+1 2
k−2
X
r=2
1
mrnk−r+1 mk−1n
Montrer que
f(m, n)−f(m+n, n)−f(m, m +n) = X
0<j<k
2|j
1
mjnk−j
et en déduire que
X
0<j<k
2|j
ζ(j)ζ(k−j) = k+ 1
2ζ(k)
puis que ζ(2n)∈π2nQ×pour tout n∈N>0.
1

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Exercice 3. Montrer que la fonction f:x7→ ln |ln(x)|+ln(x)+ P
n≥2
(ln(x))n
nn!est une primitive
de x7→ 1
ln(x)sur ]0,+∞[. En déduire que Rx
2
dt
ln(t)=: Li(x)∼x ln(x).
Exercice 4. On note Pl’ensemble des nombres premiers. Si p∈Pet n∈N>0, on note
vp(n) = max{r∈N, pr|n}la valuation p-adique de n. Si x∈R, on note ⌊x⌋ ∈ Zla
partie entière de x,i.e. le plus grand entier ≤x, et
π(x) = X
p∈P
p≤x
1 = #{p∈P, p ≤x}et φ(x) = X
p∈P
p≤x
ln(p)
(1) Montrer que pour tout α∈]0,1[, et tout x > 1, on a φ(x)
ln(x)≤π(x)≤φ(x) αln(x)+xα
(pour la majoration, on séparera les ppremiers ≤xαet ceux appartenant à l’intervalle
]xα, x]).
(2) On veut montrer que (∀x∈[2,+∞[) Q
p∈P
p≤x
p≤4x−1. On peut bien sûr supposer xen-
tier. On procède par récurrence sur x, le cas x= 2 étant trivial. Expliquer pourquoi on
peut supposer x= 2n+1 premier impair. Conclure en écrivant Q
p∈P
p≤x
p=Q
p∈P
p≤n
pQ
p∈P
n+1<p≤x
p
et en comparant le deuxième facteur au coefficient binômial 2n+1
n.
(3) En déduire que lim sup
x→∞
π(x) ln(x)
x≤2 ln(2).
(4) Soient m∈N>0et ppremier. Montrer que vp(m!) =
+∞
P
k=1 m
pk.
(5) Montrer que (∀x∈R)θ(x) := ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋ ∈ {0,1}.
(6) Soit n∈N>0. Montrer que pr|2n
n⇒pr≤2n.
(7) En déduire que 2n
n≤(2n)π(2n).
(8) Montrer que n > 1⇒2n
n>4n
2√n(on procédera par récurrence).
(9) En déduire que ln(2) x
ln(x)−2< π(x)pour x≥3, puis que lim inf
x→∞
π(x) ln(x)
x≥ln(2).
Exercice 5. Pour n∈N>0, on note pnle n-ième nombre premier. Sachant que π(x)∼x
ln(x),
montrer que pn∼nln(n).
Exercice 6. (1) Soient (an)n∈N>0et (bn)n∈N>0deux suites à valeurs complexes. Pour
n∈N>0, on pose cn=P
d|n
adbn/d ∈C. On suppose que les séries de Dirichelet f(s) =
+∞
P
n=1
an
ns
et g(s) =
+∞
P
n=1
bn
nssont absolument convergentes pour Re(s)> r. Montrer qu’il en est de
même de la série de Dirchelet +∞
P
n=1
cn
ns, et qu’elle vaut f(s)g(s).

3
(2) Supposons l’application n7→ annon nulle et multiplicative 1. Soit s∈Ctel que la
série f(s) =
+∞
P
n=1
an
nssoit absolument convergente. Montrer que pour tout ppremier, la
série Up(s) :=
+∞
P
k=1
apk
pks est absolument convergente, que le produit Q
p∈P
(1 + Up(s)) converge
absolument et vaut f(s)(où Pdésigne l’ensemble des nombres premiers).
(3) Montrer :
(i) si Re(s)>1, on a 1
ζ(s)=
+∞
P
n=1
µ(n)
ns;
(ii) si α∈Ret Re(s)>max(1,1 + α), on a ζ(s)ζ(s−α) =
+∞
P
n=1
σα(n)
ns, avec σα(n) = P
d|n
dα;
(iii) si Re(s)>2, on a ζ(s−1)
ζ(s)=
+∞
P
n=1
ϕ(n)
ns;
(iv) si Re(s)>1, on a ζ(s)4
ζ(2s)=
+∞
P
n=1
σ0(n)2
ns(on montrera que (∀z∈D(0,1)) 1+z (1−z)3=
P+∞
m=0(m+ 1)2zm).
Exercice 7. On tire au hasard deux entiers a, b ∈N>0. Montrer que la probabilité qu’il
soient premiers entre eux vaut 6
π2.
Exercice 8. Soient d∈Z\{0,1}sans facteur carré, K=Q(√d)et dKson discriminant
absolu.
(1) Pour ppremier, décrire soigneusement la façon dont pse décompose dans OK(at-
tention au cas p= 2...), en fonction du symbole de Legendre dK
p.
(2) Pour simplifier, on suppose dimpair 2. Écrivons |d|=p1···pravec p1,...,prpremiers
(distincts par hypothèse). Pour n∈Zon pose n
|d|=n p1···n pr, ce qui définit un
caractère de Dirichelet modulo |d|(appelé symbole de Jacobi). Si d≡1 mod 4 Z, on
adK=d, et on pose χ(n) = n
|d|. Si d≡3 mod 4 Z, on a dK= 4d: on dispose donc
du composé
(Z/dKZ)×≃(Z/d Z)××(Z/4Z)×։(Z/4Z)×≃ {±1}
c’est un caractère de Dirichelet modulo dKqu’on note η, et on pose χ(n) = η(n)n
|d|.
Dans tous les cas, χ:Z→ {−1,0,1}est un caractère de Dirichelet modulo dK. Dans
chacun des cas considérés en (1), calculer χ(p)(pour p∤4d, on l’exprimera comme
un symbole de Legendre, en utilisant la formule de réciprocité quadratique : pour p, q
premiers impairs, on a p
qq p= (−1)(p−1)(q−1)
4).
(3) En déduire que pour tout ppremier, on a Q
p|p
1
1−NK/ Q(p)−s=1 1−p−s
1
1−χ(p)p−s, puis que
ζK(s) = ζ(s)L(s, χ)(où L(s, χ)est la fonction Lde Dirichelet associée au caractère
χ).
1. Ie telle que pgcd(m, n) = 1 ⇒amn =anam.
2. Il faut se fatiguer un peu plus sinon.

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Exercice 9. Soit a∈N>0. On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers
de la forme an + 1 avec n∈N>0.
(1) Soit pun nombre premier ne divisant pas a. Montrer que p≡1 mod aZ⇔Φa(X)
a une racine dans Fp.
(2) Procéder par l’absurde en supposant qu’il n’y a qu’un nombre fini p1,...,prd’entiers
premiers congrus à 1modulo a, et en considérant Φa(ap1···pr).