Université Bordeaux I Master de Mathématiques 1ère année Second semestre Théorie algébrique des nombres Feuille d’exercices n◦ 5 Exercice 1. La fonction z 7→ ezz−1 est développable en série entière au voisinage de 0 : il existe (Bn )n∈N ∈ QN et R ∈ R>0 tels que z ez −1 = +∞ X Bn z n n! n=0 pour |z| < R. Le nombre Bn s’appelle le n-ième nombre de Bernoulli. (1) Montrer que B2n+1 = 0 pour tout n ∈ N>0 . n+1 (2) Montrer que pour tout n ∈ N, on a ζ(−n) = (−1)n Bn+1 (on utilisera la formule du R s−1 z 2iπs cours (e − 1)Γ(s)ζ(s) = I(s) := Hr,ε es −1 dz, où Hr,ε est le contour habituel de la demi-doite [0, +∞[). (3) En utilisant l’équation fonctionnelle, montrer que pour tout n ∈ N>0 , on a 2n ζ(2n) = − (2iπ) B2n 2(2n)! Exercice 2. Une preuve élémentaire des formules d’Euler sur les valeurs de ζ(2n), d’après Calabi et Zagier. (1) Soit S =]0, 1[2 ⊂ R2 . En développant la fonction (x, y) 7→ 1−x12 y2 en série sur S, R dx dy 2 3ζ(2) montrer que I := S 1−x . Montrer que I = π8 (on utilisera le changement 2 y2 = 4 sin(u) sin(v) , cos(u) , qui induit une bijection T := u, v ∈ de variables (u, v) 7→ (x, y) = cos(v) 2 R>0 , u + v < π2 → S). En déduire que ζ(2) = π6 . (2) Soit k ≥ 4 un entier pair. Pour m, n ∈ N>0 , on pose k−2 f (m, n) = 1X 1 1 1 + + mnk−1 2 r=2 mr nk−r mk−1 n Montrer que f (m, n) − f (m + n, n) − f (m, m + n) = X 0<j<k 2|j et en déduire que X 0<j<k 2|j ζ(j)ζ(k − j) = puis que ζ(2n) ∈ π 2n Q× pour tout n ∈ N>0 . 1 k+1 ζ(k) 2 1 mj nk−j 2 P (ln(x))n est une primitive Exercice 3. Montrer que la fonction f : x 7→ ln |ln(x)|+ ln(x) + nn! n≥2 R x dt 1 x de x 7→ ln(x) sur ]0, +∞[. En déduire que 2 ln(t) =: Li(x) ∼ ln(x) . Exercice 4. On note P l’ensemble des nombres premiers. Si p ∈ P et n ∈ N>0 , on note vp (n) = max{r ∈ N, pr | n} la valuation p-adique de n. Si x ∈ R, on note ⌊x⌋ ∈ Z la partie entière de x, i.e. le plus grand entier ≤ x, et X X ln(p) 1 = #{p ∈ P, p ≤ x} et φ(x) = π(x) = p∈P p≤x p∈P p≤x φ(x) (1) Montrer que pour tout α ∈]0, 1[, et tout x > 1, on a ln(x) ≤ π(x) ≤ αφ(x) + xα ln(x) (pour la majoration, on séparera les p premiers ≤ xα et ceux appartenant à l’intervalle ]xα , x]). Q (2) On veut montrer que (∀x ∈ [2, +∞[) p ≤ 4x−1 . On peut bien sûr supposer x enp∈P p≤x tier. On procède par récurrence sur x, le cas x = 2 étant trivial. Expliquer Q Qpourquoi Q on peut supposer x = 2n + 1 premier impair. Conclure en écrivant p= p p et en comparant le deuxième facteur au coefficient binômial (3) En déduire que lim sup π(x)xln(x) ≤ 2 ln(2). p∈P p≤x 2n+1 . n p∈P p≤n p∈P n+1<p≤x π(x) ln(x) x ≥ ln(2). x→∞ (4) Soient m ∈ N>0 et p premier. Montrer que vp (m!) = (5) (6) (7) (8) +∞ P k=1 m pk . Montrer que (∀x ∈ R) θ(x) := ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋ ∈ {0, 1}. Soit n ∈ N>0 . Montrer que pr | 2n ⇒ pr ≤ 2n. n En déduire que 2n ≤ (2n)π(2n) . n n Montrer que n > 1 ⇒ 2n > 24√n (on procédera par récurrence). n x (9) En déduire que ln(2) ln(x) − 2 < π(x) pour x ≥ 3, puis que lim inf x→∞ Exercice 5. Pour n ∈ N>0 , on note pn le n-ième nombre premier. Sachant que π(x) ∼ montrer que pn ∼ n ln(n). x , ln(x) (1) Soient (an )n∈N>0 et (bn )n∈N>0 deux suites à valeurs complexes. Pour +∞ P P an n ∈ N>0 , on pose cn = ad bn/d ∈ C. On suppose que les séries de Dirichelet f (s) = ns Exercice 6. n=1 d|n et g(s) = +∞ P n=1 bn ns sont absolument convergentes pour Re(s) > r. Montrer qu’il en est de même de la série de Dirchelet +∞ P n=1 cn , ns et qu’elle vaut f (s)g(s). 3 (2) Supposons l’application n 7→ an non nulle et multiplicative 1. Soit s ∈ C tel que la +∞ P an soit absolument convergente. Montrer que pour tout p premier, la série f (s) = ns série Up (s) := n=1 +∞ P apk k=1 pks est absolument convergente, que le produit Q (1 + Up (s)) converge p∈P absolument et vaut f (s) (où P désigne l’ensemble des nombres premiers). (3) Montrer : +∞ P µ(n) 1 = ; (i) si Re(s) > 1, on a ζ(s) ns n=1 (ii) si α ∈ R et Re(s) > max(1, 1 + α), on a ζ(s)ζ(s − α) = (iii) si Re(s) > 2, on a ζ(s−1) ζ(s) (iv) si Re(s) > 1, on a P+∞ 2 m m=0 (m + 1) z ). = ζ(s)4 ζ(2s) +∞ P ϕ(n) ns = +∞ P n=1 n=1 +∞ P n=1 σα (n) , ns avec σα (n) = P dα ; 1+z (1−z)3 = d|n ; σ0 (n)2 ns (on montrera que (∀z ∈ D(0, 1)) Exercice 7. On tire au hasard deux entiers a, b ∈ N>0 . Montrer que la probabilité qu’il soient premiers entre eux vaut π62 . √ Exercice 8. Soient d ∈ Z \{0, 1} sans facteur carré, K = Q( d) et dK son discriminant absolu. (1) Pour p premier, décrire soigneusement la façon dont p se décompose dans OK (at dK tention au cas p = 2...), en fonction du symbole de Legendre p . (2) Pour simplifier, on suppose d impair 2. Écrivons |d|= p1 · · · pr avecp1 , . . . , pr premiers n (distincts par hypothèse). Pour n ∈ Z on pose |d| = pn1 · · · pnr , ce qui définit un caractère de Dirichelet modulo |d| (appelé symbole de Jacobi ). Si d ≡ 1 mod 4 Z, on n a dK = d, et on pose χ(n) = |d| . Si d ≡ 3 mod 4 Z, on a dK = 4d : on dispose donc du composé (Z /dK Z)× ≃ (Z /d Z)× × (Z /4 Z)× ։ (Z /4 Z)× ≃ {±1} n c’est un caractère de Dirichelet modulo dK qu’on note η, et on pose χ(n) = η(n) |d| . Dans tous les cas, χ : Z → {−1, 0, 1} est un caractère de Dirichelet modulo dK . Dans chacun des cas considérés en (1), calculer χ(p) (pour p ∤ 4d, on l’exprimera comme un symbole de Legendre, en utilisant la formule de réciprocité quadratique : pour p, q (p−1)(q−1) 4 ). premiers impairs, on a pq pq = (−1) Q 1 1 (3) En déduire que pour tout p premier, on a = 1−p1 −s 1−χ(p)p −s , puis que 1−NK/ Q (p)−s p|p ζK (s) = ζ(s)L(s, χ) (où L(s, χ) est la fonction L de Dirichelet associée au caractère χ). 1. Ie telle que pgcd(m, n) = 1 ⇒ amn = an am . 2. Il faut se fatiguer un peu plus sinon. 4 Exercice 9. Soit a ∈ N>0 . On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + 1 avec n ∈ N>0 . (1) Soit p un nombre premier ne divisant pas a. Montrer que p ≡ 1 mod a Z ⇔ Φa (X) a une racine dans Fp . (2) Procéder par l’absurde en supposant qu’il n’y a qu’un nombre fini p1 , . . . , pr d’entiers premiers congrus à 1 modulo a, et en considérant Φa (ap1 · · · pr ).