Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 5

Université Bordeaux I
Master de Mathématiques 1ère année Second semestre
Théorie algébrique des nombres
Feuille d’exercices n5
Exercice 1. La fonction z7→ z
ez1est développable en série entière au voisinage de 0: il
existe (Bn)nNQNet RR>0tels que
z
ez1=
+
X
n=0
Bnzn
n!
pour |z|< R. Le nombre Bns’appelle le n-ième nombre de Bernoulli.
(1) Montrer que B2n+1 = 0 pour tout nN>0.
(2) Montrer que pour tout nN, on a ζ(n) = (1)nBn+1
n+1 (on utilisera la formule du
cours (e2iπs 1)Γ(s)ζ(s) = I(s) := RHr,ε
zs1
es1dz, où Hr,ε est le contour habituel de la
demi-doite [0,+[).
(3) En utilisant l’équation fonctionnelle, montrer que pour tout nN>0, on a
ζ(2n) = (2)2n
2(2n)! B2n
Exercice 2. Une preuve élémentaire des formules d’Euler sur les valeurs de ζ(2n), d’après
Calabi et Zagier.
(1) Soit S=]0,1[2R2. En développant la fonction (x, y)7→ 1
1x2y2en série sur S,
montrer que I:= RS
dxdy
1x2y2=3ζ(2)
4. Montrer que I=π2
8(on utilisera le changement
de variables (u, v)7→ (x, y) = sin(u)
cos(v),sin(v)
cos(u), qui induit une bijection T:= u, v
R>0, u +v < π
2S). En déduire que ζ(2) = π2
6.
(2) Soit k4un entier pair. Pour m, n N>0, on pose
f(m, n) = 1
mnk1+1
2
k2
X
r=2
1
mrnkr+1
mk1n
Montrer que
f(m, n)f(m+n, n)f(m, m +n) = X
0<j<k
2|j
1
mjnkj
et en déduire que
X
0<j<k
2|j
ζ(j)ζ(kj) = k+ 1
2ζ(k)
puis que ζ(2n)π2nQ×pour tout nN>0.
1
2
Exercice 3. Montrer que la fonction f:x7→ ln |ln(x)|+ln(x)+ P
n2
(ln(x))n
nn!est une primitive
de x7→ 1
ln(x)sur ]0,+[. En déduire que Rx
2
dt
ln(t)=: Li(x)x
ln(x).
Exercice 4. On note Pl’ensemble des nombres premiers. Si pPet nN>0, on note
vp(n) = max{rN, pr|n}la valuation p-adique de n. Si xR, on note x⌋ ∈ Zla
partie entière de x,i.e. le plus grand entier x, et
π(x) = X
pP
px
1 = #{pP, p x}et φ(x) = X
pP
px
ln(p)
(1) Montrer que pour tout α]0,1[, et tout x > 1, on a φ(x)
ln(x)π(x)φ(x)
αln(x)+xα
(pour la majoration, on séparera les ppremiers xαet ceux appartenant à l’intervalle
]xα, x]).
(2) On veut montrer que (x[2,+[) Q
pP
px
p4x1. On peut bien sûr supposer xen-
tier. On procède par récurrence sur x, le cas x= 2 étant trivial. Expliquer pourquoi on
peut supposer x= 2n+1 premier impair. Conclure en écrivant Q
pP
px
p=Q
pP
pn
pQ
pP
n+1<px
p
et en comparant le deuxième facteur au coefficient binômial 2n+1
n.
(3) En déduire que lim sup
x→∞
π(x) ln(x)
x2 ln(2).
(4) Soient mN>0et ppremier. Montrer que vp(m!) =
+
P
k=1 m
pk.
(5) Montrer que (xR)θ(x) := 2x⌋ − 2x⌋ ∈ {0,1}.
(6) Soit nN>0. Montrer que pr|2n
npr2n.
(7) En déduire que 2n
n(2n)π(2n).
(8) Montrer que n > 12n
n>4n
2n(on procédera par récurrence).
(9) En déduire que ln(2) x
ln(x)2< π(x)pour x3, puis que lim inf
x→∞
π(x) ln(x)
xln(2).
Exercice 5. Pour nN>0, on note pnle n-ième nombre premier. Sachant que π(x)x
ln(x),
montrer que pnnln(n).
Exercice 6. (1) Soient (an)nN>0et (bn)nN>0deux suites à valeurs complexes. Pour
nN>0, on pose cn=P
d|n
adbn/d C. On suppose que les séries de Dirichelet f(s) =
+
P
n=1
an
ns
et g(s) =
+
P
n=1
bn
nssont absolument convergentes pour Re(s)> r. Montrer qu’il en est de
même de la série de Dirchelet +
P
n=1
cn
ns, et qu’elle vaut f(s)g(s).
3
(2) Supposons l’application n7→ annon nulle et multiplicative 1. Soit sCtel que la
série f(s) =
+
P
n=1
an
nssoit absolument convergente. Montrer que pour tout ppremier, la
série Up(s) :=
+
P
k=1
apk
pks est absolument convergente, que le produit Q
pP
(1 + Up(s)) converge
absolument et vaut f(s)(où Pdésigne l’ensemble des nombres premiers).
(3) Montrer :
(i) si Re(s)>1, on a 1
ζ(s)=
+
P
n=1
µ(n)
ns;
(ii) si αRet Re(s)>max(1,1 + α), on a ζ(s)ζ(sα) =
+
P
n=1
σα(n)
ns, avec σα(n) = P
d|n
dα;
(iii) si Re(s)>2, on a ζ(s1)
ζ(s)=
+
P
n=1
ϕ(n)
ns;
(iv) si Re(s)>1, on a ζ(s)4
ζ(2s)=
+
P
n=1
σ0(n)2
ns(on montrera que (zD(0,1)) 1+z
(1z)3=
P+
m=0(m+ 1)2zm).
Exercice 7. On tire au hasard deux entiers a, b N>0. Montrer que la probabilité qu’il
soient premiers entre eux vaut 6
π2.
Exercice 8. Soient dZ\{0,1}sans facteur carré, K=Q(d)et dKson discriminant
absolu.
(1) Pour ppremier, décrire soigneusement la façon dont pse décompose dans OK(at-
tention au cas p= 2...), en fonction du symbole de Legendre dK
p.
(2) Pour simplifier, on suppose dimpair 2. Écrivons |d|=p1···pravec p1,...,prpremiers
(distincts par hypothèse). Pour nZon pose n
|d|=n
p1···n
pr, ce qui définit un
caractère de Dirichelet modulo |d|(appelé symbole de Jacobi). Si d1 mod 4 Z, on
adK=d, et on pose χ(n) = n
|d|. Si d3 mod 4 Z, on a dK= 4d: on dispose donc
du composé
(Z/dKZ)×(Z/d Z)××(Z/4Z)×։(Z/4Z)×≃ {±1}
c’est un caractère de Dirichelet modulo dKqu’on note η, et on pose χ(n) = η(n)n
|d|.
Dans tous les cas, χ:Z→ {−1,0,1}est un caractère de Dirichelet modulo dK. Dans
chacun des cas considérés en (1), calculer χ(p)(pour p4d, on l’exprimera comme
un symbole de Legendre, en utilisant la formule de réciprocité quadratique : pour p, q
premiers impairs, on a p
qq
p= (1)(p1)(q1)
4).
(3) En déduire que pour tout ppremier, on a Q
p|p
1
1NK/ Q(p)s=1
1ps
1
1χ(p)ps, puis que
ζK(s) = ζ(s)L(s, χ)(où L(s, χ)est la fonction Lde Dirichelet associée au caractère
χ).
1. Ie telle que pgcd(m, n) = 1 amn =anam.
2. Il faut se fatiguer un peu plus sinon.
4
Exercice 9. Soit aN>0. On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers
de la forme an + 1 avec nN>0.
(1) Soit pun nombre premier ne divisant pas a. Montrer que p1 mod aZΦa(X)
a une racine dans Fp.
(2) Procéder par l’absurde en supposant qu’il n’y a qu’un nombre fini p1,...,prd’entiers
premiers congrus à 1modulo a, et en considérant Φa(ap1···pr).
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