3
(2) Supposons l’application n7→ annon nulle et multiplicative 1. Soit s∈Ctel que la
série f(s) =
+∞
P
n=1
an
nssoit absolument convergente. Montrer que pour tout ppremier, la
série Up(s) :=
+∞
P
k=1
apk
pks est absolument convergente, que le produit Q
p∈P
(1 + Up(s)) converge
absolument et vaut f(s)(où Pdésigne l’ensemble des nombres premiers).
(3) Montrer :
(i) si Re(s)>1, on a 1
ζ(s)=
+∞
P
n=1
µ(n)
ns;
(ii) si α∈Ret Re(s)>max(1,1 + α), on a ζ(s)ζ(s−α) =
+∞
P
n=1
σα(n)
ns, avec σα(n) = P
d|n
dα;
(iii) si Re(s)>2, on a ζ(s−1)
ζ(s)=
+∞
P
n=1
ϕ(n)
ns;
(iv) si Re(s)>1, on a ζ(s)4
ζ(2s)=
+∞
P
n=1
σ0(n)2
ns(on montrera que (∀z∈D(0,1)) 1+z
(1−z)3=
P+∞
m=0(m+ 1)2zm).
Exercice 7. On tire au hasard deux entiers a, b ∈N>0. Montrer que la probabilité qu’il
soient premiers entre eux vaut 6
π2.
Exercice 8. Soient d∈Z\{0,1}sans facteur carré, K=Q(√d)et dKson discriminant
absolu.
(1) Pour ppremier, décrire soigneusement la façon dont pse décompose dans OK(at-
tention au cas p= 2...), en fonction du symbole de Legendre dK
p.
(2) Pour simplifier, on suppose dimpair 2. Écrivons |d|=p1···pravec p1,...,prpremiers
(distincts par hypothèse). Pour n∈Zon pose n
|d|=n
p1···n
pr, ce qui définit un
caractère de Dirichelet modulo |d|(appelé symbole de Jacobi). Si d≡1 mod 4 Z, on
adK=d, et on pose χ(n) = n
|d|. Si d≡3 mod 4 Z, on a dK= 4d: on dispose donc
du composé
(Z/dKZ)×≃(Z/d Z)××(Z/4Z)×։(Z/4Z)×≃ {±1}
c’est un caractère de Dirichelet modulo dKqu’on note η, et on pose χ(n) = η(n)n
|d|.
Dans tous les cas, χ:Z→ {−1,0,1}est un caractère de Dirichelet modulo dK. Dans
chacun des cas considérés en (1), calculer χ(p)(pour p∤4d, on l’exprimera comme
un symbole de Legendre, en utilisant la formule de réciprocité quadratique : pour p, q
premiers impairs, on a p
qq
p= (−1)(p−1)(q−1)
4).
(3) En déduire que pour tout ppremier, on a Q
p|p
1
1−NK/ Q(p)−s=1
1−p−s
1
1−χ(p)p−s, puis que
ζK(s) = ζ(s)L(s, χ)(où L(s, χ)est la fonction Lde Dirichelet associée au caractère
χ).
1. Ie telle que pgcd(m, n) = 1 ⇒amn =anam.
2. Il faut se fatiguer un peu plus sinon.