Examen de Théorie algébrique des nombres – MAT552 – 14/12

Examen de Théorie algébrique des nombres – MAT552 – 14/12/2016
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polycopié, ainsi que les corrigés des examens antérieurs, ne sont pas autorisés. Il n’est pas nécessaire de
traiter toutes les questions pour avoir la note maximale.
Problème 1. (Formes de discriminant −95)On pose α=1+√−95
2et A=Z[α](= A−95).
(i) Déterminer des représentants de Cl(−95), ainsi que ses classes primitives.
(ii) Déterminer l’ensemble des éléments d’ordre 2du groupe P(−95).
(iii) Justifier que Aest un anneau de Dedekind et donner Πα,Q.
On considère les idéaux D= 2A+αA,D= 2A+ (α−1)Aet C= 5A+ (α+ 2)A.
(iv) Montrer que ces idéaux sont premiers et déterminer leur norme.
(v) Montrer que Cn’est pas principal, ainsi que les relations (5) = C2et (2) = DD.
(vi) En déduire la classe qC∈P(−95) associée à Cpar la bijection de Dedekind.
(vii) En déduire aussi l’égalité (7 + α) = D4C.
(viii) Montrer que Cl(A)est un groupe cyclique d’ordre 8, engendré par la classe de D.
(ix) Montrer que 2, α est une Z-base de D, puis déterminer la classe qD∈P(−95).
(x) Déterminer le carré et le cube de la classe de (2,1,12) dans P(−95).
(xi) En déduire la table de multiplication du groupe P(−95).
(xii) (Application) Supposons que l’entier nest représenté par la forme (2,1,12). Montrer que
n2, n3et n4sont respectivement représentés par les formes (4,1,6),(3,1,8) et (5,5,6).
Problème 2. Soient Kun corps de nombres et Aun ordre de K. On se propose d’abord de démontrer
l’équivalence des propriétés suivantes :
(a) A=OK,
(b) tout idéal maximal de Aest inversible,
(c) tout idéal non nul de Aest inversible.
Si x∈Ket E⊂K, on pose xE ={xe, e ∈E}et A[x] = {P(x), P ∈A[X]}.
(i) Soient a, b ∈Aavec b6= 0, et soit Iun idéal inversible de A, tels que aI ⊂bI. Montrer que b
divise adans A.
(ii) Montrer que tout élément de Ks’écrit sous la forme a/m avec a∈Aet m∈Znon nul. En
déduire que pour tout sous-ensemble fini Ede Kil existe m∈Znon nul tel que mE ⊂A.
(iii) Soit x∈OK. Montrer qu’il existe m∈Znon nul tel que mA[x]⊂A.
(iv) (suite) En déduire qu’il existe un idéal Inon nul de Avérifiant xI ⊂I.
(v) Montrer (c) ⇒(a).
1

2
(vi) Soient I, J des idéaux non nuls de Aavec IJ =I. Montrer J=A. (On pourra se contenter
de pointer l’endroit du cours où cet énoncé est démontré !)
(vii) Montrer (b) ⇒(c). Conclure.
On s’intéresse maintenant au cas A=Z[α]avec α∈Z. Soient Πα,Q∈Z[X]le polynôme minimal
de αsur Q,pun nombre premier fixé et P∈(Z/pZ)[X]la réduction modulo pde Πα,Q. On rappelle
que pour tout diviseur Qde Pdans (Z/pZ)[X], on dispose de l’idéal de Anoté I(Q)dans le cours.
(viii) Que vaut I(P)?
(ix) Soient Q, Q0∈(Z/pZ)[X]. On suppose que Qet Q0sont des diviseurs de Pdans (Z/pZ)[X],
et qu’ils sont premiers entre eux. Soient
e
Q,
f
Q0∈Z[X]vérifiant
e
Q≡Qmod pet
f
Q0≡Q0mod p.
Montrer qu’il existe U, U0∈Z[X]tels que U(α)
e
Q(α) + U0(α)
f
Q0(α)∈1 + pA.
(x) (suite) En déduire I(QQ0) = I(Q)I(Q0).
(xi) Montrer que si Pest sans facteur carré, tout idéal premier de Acontenant pest inversible.
Problème 3. Soit `un nombre premier impair, on considère l’anneau A=Z[ζ]avec ζ=e2iπ/`. On
se propose d’abord de redémontrer que Aest l’anneau des entiers du corps de nombres K=Q(ζ).
On pose Φ`(X) = X`−1
X−1= 1 + X+· · · +X`−1; on rappelle que Φ`(X)est irréductible dans Q[X].
(i) Donner les entiers [K:Q],r1et r2associés au corps de nombres K. Montrer que l’application
σ7→ σ(ζ)induit une bijection entre Σ(K)et {ζi, i = 1, . . . , ` −1}.
(ii) Montrer NK/Q(1 −ζ) = `.
(iii) En déduire que (1 −ζ)est un idéal maximal de Acontenant `.
(iv) En déduire également |disc Z[ζ]|=``−2.
(v) Montrer que (1 −ζ)est l’unique idéal premier de Acontenant `.
(vi) Montrer que si pest un nombre premier 6=`, alors la réduction modulo pde Φ`(X)est sans
facteur carré dans (Z/pZ) [X].
(vii) Conclure (on utilisera les résultats du problème 2).
On considère désormais le cas particulier `= 7. On se propose de démontrer que l’anneau A=
Z[e2iπ/7]est principal. On utilisera librement les données et informations situées plus bas.
(viii) Montrer que tout idéal non nul de Aest équivalent à un idéal de Acontenant un entier N
avec 1≤N≤4.
(ix) Montrer que le groupe Cl(A)est engendré par la classe de l’idéal (2, ζ3+ζ+ 1).
(x) Montrer NK/Q(ζ3+ζ+ 1) = 8, puis conclure.
Données : (a) on a √7
π3·24·3−4·5·72= 4.13 à10−2près, (b) la réduction modulo 3de Φ7(X)est irréductible
dans (Z/3Z)[X], (c) on a Φ7(X)≡(X3+X+ 1) (X3+X2+ 1) mod 2, (d) on a l’égalité
det
100−1 1 −1
110−1 0 0
011−1 0 −1
1 0 1 0 0 −1
0 1 0 0 1 −1
001−1 1 0
= 8.