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CPGE.RÉDA.SLAOUI
A.HFA.2016-2017.-
.-DL PROBABILITÉ MP1
Variables aléatoirs discrètes
Dans ce problème on considère un espace probabilisé (Ω , T , P) et X une variable aléatoire réelle discrète sur Ω
Soit Xest une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p).
¬Établir que : ∀ε>0 , P
X
n−p≥ε≤pp(1−p)
ε.√n
Montrer que :
∀(ε,λ)∈]0, +∞[2,P(X−np >nε)≤E(exp (λ(X−np −nε)))
Inégalités de Markov et Chebtchev et applications
♣
Dans cette partie on considère une suite de variables aléatoires réelles discrète sur
l’espace probabilisé (Ω,T,P)
On dit que la suite (Xn)nconverge en probabilité vers une variable aléatoire
réelle discrète Xsi, seulement si : ∀ε>0 , lim
n→+∞P([|X−Xn|]≥ε)=0
¬ Vérifier que la suite (Xn)n converge en probabilité vers X si, et seulement si
∀ε>0 , lim
n→+∞P([|X−Xn|]<ε)=1
On considère n variables aléatoires (Bn)n suivant le loi de Bernoulli de para-
mètre p, on pose Xn=1
n n
∑
k=1
Bk!
2.1) Montrer que Xnsuit la loi binomiale de paramètre (n,p)
2.2) En utilisant l’inégalité de Chebetchev montrer que la suite (Xn)n converge en
probabilité vers la variable constante égale à p
® Soit X et X0 deux variables aléatoires discrètes définie sur (Ω , T , P) telles
que la suite (Xn)n converge en probabilité vers X et X0 .Montrer l’événement
(X=X0)est presque sûr
¯ Soit (Xn)n et (Yn)n deux suites de variables aléatoires réelles discrètes qui
converge en probabilité respectivement vers X et Y et λ∈R .Montrer que la
suite
-.(λ.Xn+Yn)nconverge en probabilité vers λ.X+Y
-.La suite (XnYn)nconverge en probabilité vers XY
- Si l’événement (Y= 0 ) est négligeable alors la variable
Xn
Yn
converge en
probabilité vers X
Y
° Montrer que si (Xn)n est une suite de variable aléatoire positive telle que
lim
n→+∞E(Xn) = 0 , alors (Xn)nconverge en probabilité vers 0
± Montrer que si lim
n→+∞E(Xn) =
0 et
∑
n→+∞
V(Xn) = 0 , alors la suite (Xn)n
converge en probabilité vers la variable nulle
² Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires discrètes et X une variable aléatoire
discrète .Montrer que
Notion de convergence et théorème limite
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Variables aléatoirs discrètes
-. lim
n→+∞E(|Xn−X|)=0 , alors (Xn)nconverge en probabilité vers X
- .Si lim
n→+∞E(Xn−X) =
0 et lim
n→+∞V(Xn−X) =
0 , alors la suite (Xn)n converge
en probabilité vers la variable X
-lim
n→+∞E(Xn−X)2=0 alors la suite (Xn)nconverge en probabilité vers X
8 On dit qu’une suite de variables aléatoires (Xn)n converge en loi vers une
variable aléatoire X si, et seulement si en tout point t ou FX est continue , on a
lim
n→+∞FXn(t)) = FX(t)
8.1) Montrer que si les variables Xnet X sont discrètes à valeurs dans N alors
(Xn)nconverge en loi vers Xsi, et seulement si
∀k∈N, lim
n→+∞P([Xn=k])=P([X=k])
8.2) Soit (pn)n une suite de réels de ] 0, 1 [ telle que la suite (npn)n converge de
limite λ> 0 .Soit n∈N∗ , on note par Xn la variable aléatoire discrète suivant
la loi binomiale B(n , pn) .Montrer que la suite (Xn)n converge en loi vers la
variable de Poisson de paramètre λ
8.3) Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires telle que la variable Xn suit la loi
de Poisson paramètre n .Montrer que la suite (Xn)n converge en loi vers la
variable de loi certaine égale à 0
9 Soit (Xn)n une suite de variable aléatoires indépendantes de même loi admet-
tant un moment d’orde 2 , alors la suite
1
n
n
∑
k=1
Xk!n converge en probabilité
vers la variable constante µ=E(X1)
10 Soit (Xn)n une suite de variables indépendantes de même loi admettant un mo-
ment d’ordre 2 .Montrer que la suite des variable
Yn=1
n
n
∑
k=1
Xk!n converge
en probabilité vers la variable constante µ=E(X1) .C’est la loi faible des grand
nombres
Notion de convergence et théorème limite
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