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A.H FA .2016-2017.-
C PGE.RÉDA.SLAOUI .-
DL P ROBABILITÉ
MP1
Variables aléatoirs discrètes
Dans ce problème on considère un espace probabilisé (Ω, T , P) et X une variable aléatoire réelle discrète sur Ω
Inégalités de Markov et Chebtchev et applications
Soit X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale
B(n, p).
p
X
p (1 − p )
√
¬ Établir que : ∀ε > 0 , P − p ≥ ε ≤
n
ε. n
­ Montrer que :
∀(ε, λ) ∈]0, +∞[2 , P ( X − np > nε) ≤ E (exp (λ ( X − np − nε)))
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Notion de convergence et théorème limite
Dans cette partie on considère une suite de variables aléatoires réelles discrète sur
l’espace probabilisé (Ω, T , P)
On dit que la suite ( Xn )n converge en probabilité vers une variable aléatoire
réelle discrète X si, seulement si : ∀ε > 0 , lim P ([| X − Xn |] ≥ ε) = 0
n→+∞
¬ Vérifier que la suite ( Xn )n converge en probabilité vers X si, et seulement si
∀ε > 0 , lim P ([| X − Xn |] < ε) = 1
n→+∞
­ On considère n variables aléatoires
! ( Bn )n suivant le loi de Bernoulli de paran
1
Bk
mètre p , on pose Xn =
n k∑
=1
2.1) Montrer que Xn suit la loi binomiale de paramètre (n, p)
2.2) En utilisant l’inégalité de Chebetchev montrer que la suite ( Xn )n converge en
probabilité vers la variable constante égale à p
® Soit X et X 0 deux variables aléatoires discrètes définie sur (Ω, T , P) telles
que la suite ( Xn )n converge en probabilité vers X et X 0 .Montrer l’événement
( X = X 0 ) est presque sûr
¯ Soit ( Xn )n et (Yn )n deux suites de variables aléatoires réelles discrètes qui
converge en probabilité respectivement vers X et Y et λ ∈ R .Montrer que la
suite
-.(λ.Xn + Yn )n converge en probabilité vers λ.X + Y
-.La suite ( Xn Yn )n converge en probabilité vers XY
Xn
- Si l’événement (Y = 0) est négligeable alors la variable
converge en
Yn
X
probabilité vers
Y
° Montrer que si ( Xn )n est une suite de variable aléatoire positive telle que
lim E( Xn ) = 0 , alors ( Xn )n converge en probabilité vers 0
n→+∞
± Montrer que si lim E( Xn ) = 0 et
n→+∞
∑
n→+∞
V ( Xn ) = 0 , alors la suite ( Xn )n
converge en probabilité vers la variable nulle
² Soit ( Xn )n une suite de variables aléatoires discrètes et X une variable aléatoire
discrète .Montrer que
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Variables aléatoirs discrètes
Notion de convergence et théorème limite
-. lim E (| Xn − X |) = 0 , alors ( Xn )n converge en probabilité vers X
n→+∞
-.Si lim E( Xn − X ) = 0 et
n→+∞
lim V ( Xn − X ) = 0 , alors la suite ( Xn )n converge
n→+∞
en probabilité
X
vers la variable
- lim E ( Xn − X )2 = 0 alors la suite ( Xn )n converge en probabilité vers X
n→+∞
8 On dit qu’une suite de variables aléatoires ( Xn )n converge en loi vers une
variable aléatoire X si, et seulement si en tout point t ou FX est continue , on a
lim FXn (t)) = FX (t)
n→+∞
8.1) Montrer que si les variables Xn et X sont discrètes à valeurs dans N alors
( Xn )n converge en loi vers X si, et seulement si
∀k ∈ N , lim P ([ Xn = k]) = P ([ X = k])
n→+∞
8.2) Soit ( pn )n une suite de réels de ]0, 1[ telle que la suite (npn )n converge de
limite λ > 0 .Soit n ∈ N∗ , on note par Xn la variable aléatoire discrète suivant
la loi binomiale B(n, pn ) .Montrer que la suite ( Xn )n converge en loi vers la
variable de Poisson de paramètre λ
8.3) Soit ( Xn )n une suite de variables aléatoires telle que la variable Xn suit la loi
de Poisson paramètre n .Montrer que la suite ( Xn )n converge en loi vers la
variable de loi certaine égale à 0
9 Soit ( Xn )n une suite de variable aléatoires indépendantes
de même loi admet!
1 n
tant un moment d’orde 2 , alors la suite
Xk
converge en probabilité
n k∑
=1
n
vers la variable constante µ = E( X1 )
10 Soit ( Xn )n une suite de variables indépendantes de même loi admettant
un mo!
n
1
ment d’ordre 2 .Montrer que la suite des variable Yn = ∑ Xk
converge
n k =1
n
en probabilité vers la variable constante µ = E( X1 ).C’est la loi faible des grand
nombres
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