chap 9 : Application Loi de Keppler et Newton

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1 Promenons-nous dans les champs (p. 156-157)
A Étude expérimentale d’un mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
A
c
t
i
v
i
t
é
s
6
Chapitre
Application
des lois de Newton
et des lois de Kepler
1 a.
0
a (m.s–2)
–5
–10
0,3 0,5 0,7 0,9
ax
ay
Date (s)
Graphiquement, on obtient :
ax ≈ 0 m · s–2
et
ay= k1 ≈ –10 m · s–2.
b.
2
3
1
00,30,1 0,5 0,7 0,9
Date (s)
vx (m.s–1)
Graphiquement, on obtient :
vx = k2 ≈ 2,0 m · s–1.
0
–4
–2
2
4
0,2 0,4 0,6 0,8
Date (s)
vy (m.s–1)
On obtient :
vy = –9,8 t + 4,0 ;
k1 = –9,8 m · s–2
et k3 = 4,0 m · s–1.
c.
1,0
1,5
0,5
0,0 0,30,1 0,5 0,7 0,9
x (m)
Date (s)
On obtient : x (t) = 1,9 t.
Date (s)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,40,2 0,6 0,8
y (m)
2
x (m)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,5 1,5 1,5
y (m)
On obtient : y = –1,4 x2 + 2,2 x.
3 a. Comparaison : a = 0 i – 10 j .
Les coordonnées du vecteur accélération sont iden-
tiques, aux imprécisions de mesure près, à celles du
vecteur champ de pesanteur g :
ax ≈ 0 m · s–2 et ay ≈ –10 m · s–2 ;
gx = 0 m · s–2 et gy = –9,8 m · s–2.
b. Dans ce référentiel terrestre considéré galiléen, la
deuxième loi de Newton appliquée au centre de la
balle de masse m s’écrit :
ΣF = dp
dt
On obtient :
y (t) = –5,0 t
2 + 4,1 t ;
k4 = –5,0 = k1
2.

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On a : ΣF = P = m · g
La masse de la balle ne variant pas, on peut écrire :
dp
dt = d(m · v)
dt = m · dv
dt = m · a
d’où : m · a = m · g, soit a = g
On retrouve donc le résultat expérimental.
4 a. Le vecteur accélération est défi ni comme étant
la dérivée temporelle du vecteur vitesse :
a = d v
dt
soit : ax = dvx
dt et ay = dvy dt
ax = 0 m · s–2, la primitive de 0 par rapport au temps
est une constante, d’où vx = cte.
ay = –10 m · s–2, la primitive d’une constante A
par rapport au temps est de la forme A · t + B d’où :
vy = ay · t + v0y
Expérimentalement, on obtient :
vx = 2 m · s-1 et vy = –9,8 t + 4,0
b. Le vecteur vitesse est défi ni comme étant la déri-
vée temporelle du vecteur position OG : v = dOG
dt ,
soit : vx = dx
dt et vy = dy dt
vx = cte, la primitive par rapport au temps d’une
constante s’écrit x = vx · t + x0.
vy = ay · t + v0y, la primitive par rapport au temps
d’une fonction A · t + B est de la forme :
1
2
A · t
2 + B · t + C
donc : y = 1
2
ay · t
2 + v0y · t + y0
Expérimentalement, on obtient :
x (t) = 1,9 t et y (t) = –5,0 t
2 + 4,1 t.
5 a. Voir le cours.
y = – g
2 (v0 · cos α)2 · x
2 + tan α · x
Expérimentalement, on obtient :
y = –1,4 x2 + 2,2 x
b. Par identifi cation :
g
2 (v0 · cos α)2 = 1,4 et tan α = 2,2
6 Dans un référentiel terrestre considéré galiléen, la
deuxième loi de Newton appliquée à un point maté-
riel P de masse m s’écrit :
ΣF = dp
dt
On a : ΣF = P = m · g
La masse du point matériel ne variant pas, on peut
écrire : dp
dt = d(m · v)
dt = m ·
dv
dt = m · a
d’où m · a = m · g, soit a = g
Le mouvement du système ne dépend pas de sa
masse.
7 L’équation étant y = – g
2(v0 · cos α)2
·
x2 + tan α · x,
l’allure de la trajectoire dépend de la valeur v0 de
la vitesse initiale, de la valeur g du champ de pesan-
teur, ainsi que de l’angle α entre l’horizontale et le
vecteur v0 .
8 Dans un référentiel terrestre considéré galiléen, la
deuxième loi de Newton appliquée à un point maté-
riel P de masse m s’écrit :
ΣF = dp
dt
On a : ΣF = F = q · E
La masse du point matériel ne variant pas, on peut
écrire : dp
dt = d(m · v)
dt = m ·
dv
dt = m · a
d’où : m · a = q · E , soit a = q · E
m
L’accélération et donc le mouvement du système
dépendent de sa masse.
9 L’équation étant y = – q · E
2m (v0 · cos α)2
·
x2 + tan α · x,
l’allure de la trajectoire dépend de la valeur v0 de la
vitesse initiale, de l’angle α entre l’horizontale et le
vecteur v0 , de la masse m du point matériel, de la
valeur E du champ électrostatique ainsi que de sa
charge électrique q.
10 Dans un référentiel donné, les paramètres pou-
vant avoir une infl uence sur le mouvement du sys-
tème sont :
Paramètres
relatifs
au système
Paramètres
relatifs
aux conditions
initiales
Paramètres
relatifs
au milieu
extérieur
Masse Vecteur vitesse
initial
Champ
de pesanteur g
Charge
électrique
Position
initiale
Champ
électrostatique E
B Simulation de mouvements dans des champs uniformes

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Première loi de Kepler
Méthode de recherche du deuxième foyer S’ de l’ellipse :
– Tracer deux segments [AB] et [DE] parallèles et de même longueur, avec
A, B, D et E quatre points de l’ellipse.
– Tracer les diagonales [AE] et [BD]. Elles se coupent en C, le centre de l’ellipse.
– Le deuxième foyer S’ est le symétrique de S par rapport à C.
1 Pour mettre en évidence la première loi de Kepler, choisir différents points M sur la trajectoire de Mercure et
mesurer les distances MS et MS’. Vérifi er que leur somme est constante.
Exemples de mesures :
MS (pixels) MS’ (pixels) MS + MS’ (pixels)
270 313 583
316 262 578
348 237 575
267 310 577
346 234 580
352 230 582
La première loi de Kepler est bien vérifi ée.
Deuxième loi de Kepler
2 Le mouvement de Mercure n’est pas uniforme, la valeur de la vitesse de la planète augmente lors de son pas-
sage à proximité du Soleil.
3 Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 Moyenne sn – 1
En pixels 34 589 32 969 32 900 33 417 35 042 35 934 35 900 34 798 34 444 1 222
En % 3,73 % 3,56 % 3,55 % 3,61 % 3,78 % 3,88 % 3,87 % 3,75 % 3,72 % 0,13 %
La collecte des mesures des différents groupes évite un trop grand nombre de mesures à chacun (éliminer les
valeurs manifestement fausses, liées à des erreurs de zonage).
L’incertitude de répétabilité associée à un niveau de
confi ance de 95 % s’exprime par :
U (S) = k · σn – 1
d n
où k = 2,37 et n = 8 (voir fi che no 3, p. 584 du manuel) :
U (S) = 2,37 × 1 222
d8 = 1 023 pixels.
L’incertitude relative vaut 3 %.
La deuxième loi de Kepler est vérifi ée.
Troisième loi de Kepler
4
Planète Mercure Vénus Terre Mars
T (j) 87,93 224,72 365,25 686,73
2
a (pixels) 294 546 756 1142
2
a (ua) 0,78 1,4 2,0 3,0
T
2
a
3
en j2 · ua–3 1,30 × 1051,47 × 1051,33 × 1051,40 × 105
Valeur moyenne : 1,38 × 105 j2 · ua–3.
Écart-type : σn – 1 = 7,47 × 103 j2 · ua–3.
L’incertitude de répétabilité associée à un niveau de
confi ance de 95 % s’exprime par :
U (S) = k · σn – 1
d n
où k = 3,18 et n = 4 (voir fi che no 3, p. 584 du manuel) :
U
(
T
2
a3
)
= 3,18 × 7,47 × 103
d 4 = 1,19 × 104 j2 · ua–3.
L’incertitude relative vaut 8,6 %.
La troisième loi de Kepler est vérifi ée pour ces
quatre planètes.
5 La valeur moyenne du rapport T
2
a3 a pour valeur :
1,38 × 105 j2 · ua–3 = 1,38 × 105 × (24 × 3 600)2
(1,50 × 1011)3
= 3,05 × 10–19 s2 · m–3
4π
2
G · Msoleil
= 4π
2
6,67 × 10–11 × 2,0 × 1030
= 2,96 × 10–19 s2 · m–3.
L’écart relatif est d’environ 3 %. On peut considérer
que les valeurs sont égales.
2 Lois de Kepler (p. 158-159)
B Vérifi cation des trois lois de Kepler
pour la planète Mercure
A
D
C
S
S’
E
B

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(p. 169-181)
E
x
e
r
c
i
c
e
s
3 Satellisation (p. 160-161)
1 a. Les satellites géostationnaires permettent de toujours observer la même zone de la surface de la Terre et
d’avoir des informations en temps réel.
b. Il faut également utiliser des satellites à orbite polaire pour pouvoir obtenir convenablement la situation météo
des pôles. En effet, les satellites géostationnaires situés dans le plan équatorial ne peuvent pas avoir une observa-
tion précise des pôles.
2
Nom Masse (kg) Altitude (km) Période Année
de lancement Utilisation
Demeter 125 710 1 h 39 min 2004 Observations géophysiques
Giove A 700 23 258 14 h 05 min 2005 Système de positionnement
Galileo
Hot Bird 7A 4 100 35 786 23 h 54 min 2006 Télécommunications (TV)
Jason-2 500 1 332 112 min 2008 Observations des océans
D’après la troisième loi de Kepler : cte = T
2
a3
Cette constante peut être calculée grâce aux infor-
mations que l’on donne sur le satellite Giove A :
cte =
(14 × 3 600 + 5 × 60)2
(23 258 × 103 + 6 400 × 103)3
= 9,85 × 10–14 s
2 · m–3.
Pour calculer l’altitude z :
z =
(
T
2
cste
)
1/3 – RT
Ainsi z (Jason-2) = 1 332 km
et z (Meteosat-9) = 35 835 km.
Pour calculer la période T :
T = (cte × (RT + z)3)1/2
Ainsi, T (Demeter) = 5 951 s, soit 1 h et 39 min et
T (Hot Bird 7A) = 86 000 s, soit 23 h et 54 min.
3 a. Les valeurs de v1 et v2 sont :
• v1 =
d
G · MT
RT
v1 =
d
6,67 × 10–11 × 5,97 × 1024
6,37 × 106 = 7,91 × 103 m · s–1.
• v2 = 7,91 × 103 × d 2 = 1,12 × 104 m · s–1.
b. Pour qu’un objet soit satellisé, il faut qu’il reste en
orbite autour de la Terre, donc que la valeur v de sa
vitesse soit comprise entre les valeurs des deux
vitesses cosmiques.
4 Les déchets qui restent en orbite, circulaire ou
elliptique, autour de la Terre sont des satellites. En
entrant en collision avec des satellites/astronautes à
grande vitesse, ces déchets constituent un danger,
d’autant que les plus petits d’entre eux sont diffi cile-
ment repérables et que toute collision augmente le
nombre de débris.
QCM
1 1. C ; 2. B ; 3. B ; 4. A ; 5. A ; 6. A ; 7. C ;
2 1. B ; 2. B ; 3. A ; 4. B et C.
Application immédiate
3 Déterminer la trajectoire d’une particule
dans un champ uniforme
1. Le système est le proton ; on choisit un référen-
tiel terrestre supposé galiléen pour étudier son mou-
vement.
D’après la deuxième loi de Newton :
F = mp · a avec F = e · E et E
(
0
–E
)
d’où : a
(
ax = 0
ay = –
e · E
mp
)
v0
(
vx
0 = v0 · cos α
vy
0 = v0 · sin α
)
v
(
vx = v0 · cos α
vy = –
e · E
mp
· t + v0 · sin α
)
OG
(
x = v0 · cos α · t
y = – 1
2
e · E
mp
· t
2+ v0 · sin α · t
)
2. Équation de la trajectoire :
y = – 1
2
e · E
mp
· x2
v02 · cos2 α + x · tan α
La trajectoire est une portion de parabole.
3. Lorsque la particule sort au point S : xS = <.
ys = – 1
2
e · E
mp
· <2
v02 · cos2 α + < · tan α
Le proton sort au point S de coordonnées :
OS
(
xS = 10,0 × 10–2
yS = 1,47 × 10–2
)

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4 Calculer une période de révolution
Système : {satellite} noté S de masse m ; référentiel
sélénocentrique.
Bilan des forces : force gravitationnelle FL/S exercée
par la Lune sur le satellite.
L’application de la deuxième loi de Newton conduit à :
a = FL/S
m
L’expression de la force d’attraction gravitationnelle
exercée par la Lune est :
FL/S = G · m · ML
(r + z)2 · n
Il vient : a =
G · m · ML
(r + z)2
m · n
soit : a = G · ML
(r + z)2 · n
Il n’y a pas d’accélération tangentielle, donc la valeur
de la vitesse v est constante. Ce mouvement circu-
laire est donc uniforme.
En identifi ant l’expression ci-dessus à :
a = dv
dt · t + v
2
(r + z) · n
on en déduit : v
2
r + z = G · ML
(r + z)2
d’où : v =
d
G · ML
r + z , soit v = 1,68 × 103 m · s–1.
T est la durée pour effectuer un tour. Elle est égale au
périmètre de la trajectoire circulaire divisé par la
valeur de la vitesse du satellite :
T = 2π · (r + z)
v soit T = 6,50 × 103 s.
Pour commencer
5 Faire un inventaire de forces
– Système : {cycliste}
Bilan des forces extérieures appliquées au centre de
gravité du système : poids, réaction de la route,
forces de frottement de l’air, poussée d’Archimède.
– Système : {satellite}
Bilan des forces extérieures appliquées au centre de
gravité du système : force d’attraction gravitation-
nelle exercée par la Terre FT/S .
– Système : {Terre}
Bilan des forces extérieures appliquées au centre de
gravité du système : force d’attraction gravitation-
nelle exercée par le Soleil FT/S .
6 Exprimer le vecteur accélération
1. Système : {bille} de masse m.
Référentiel terrestre considéré galiléen.
2. Bilan des forces extérieures : poids.
D’après la deuxième loi de Newton :
ΣF = P = m · g
De plus, la masse de la balle ne variant pas, on peut
écrire : dp
dt = d(m · v)
dt = m · d v
dt = m · a
d’où : mg = ma, soit a = g
Dans le repère (O ; i, j ) choisi, a = 0i – g · j .
3. Les coordonnées du vecteur a sont :
a
(
0
–g
)
7 Exprimer le vecteur vitesse
1. À t = 0, la vitesse est :
v0
(
vx
0 = v0 · cos α
vy
0 = –v0 · sin α
)
2. a. a = d v
dt
b. On cherche la primitive temporelle de chaque
coordonnée du vecteur accélération :
v
(
vx = v0 · cos α
vy = e · E
m · t – v0 · sin α
)
8 Exprimer le vecteur position
1. On a choisi un référentiel terrestre adapté au
mouvement de la boule.
2. Voir le cours, document 4a, p. 164 du manuel.
3. À t = 0, OG0
(
0
0
)
.
i
j
Ov0.cos Ơ
v0.sin Ơ
v0
Ơ
g
4. v = dOG
dt
Une intégration permet de déterminer les coordon-
nées du vecteur position à partir de celles du vecteur
vitesse :
OG
(
x = v0 · cos α · t
y = – 1
2
g · t
2+ v0 · sin α · t
)
9 Étudier un lancer de poids
1. a. La trajectoire d’un point est l’ensemble des
positions successives occupées par ce point au cours
de son mouvement. Son équation est du type y = f (x).
b. La relation (C) doit être éliminée, car elle est du
type y = f (t).
2. a. À t = 0, le poids P est à une hauteur y = h :
OP0
(
0
h
)
b. On élimine l’équation (A) où l’ordonnée de P à
t = 0 est nulle.
(B) est l’équation de la trajectoire :
y = –
1
2
g ·
(
x
v0 · cos α
)
2+ v0 · tan α + h
10 Faire une analyse dimensionnelle
T représente la période de révolution de la planète
exprimée en seconde.
r représente le rayon de la trajectoire circulaire
exprimé en mètre.