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10.1 - Ralentissement d’un solide

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Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE
-EXERCICE 10.1• ENONCE :
« Ralentissement d’un solide »
• On considère un solide, assimilé à un point matériel de masse m, en translation sur un plan
horizontal, que l’on suppose être galiléen.
• En notant a et b deux constantes, ce solide est soumis à deux forces de frottement :
♦ l’une solide (modélisant l’interaction solide-plan), de module
♦ l’autre fluide (modélisant la résistance de l’air), de module
de la vitesse du solide.
• A l’instant initial, le solide est lancé avec une vitesse
a×m
b × mv 2 , où v est le module
v0 .
T au bout duquel le solide s’arrête.
2) Quelle est alors la distance L parcourue par le solide ?
1) Déterminer le temps
3) Que deviennent les résultats en l’absence de frottement solide ?
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Christian MAIRE
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Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE
• CORRIGE :
« Ralentissement d’un solide »
1) Le solide est soumis à son poids, à la réaction normale du plan et aux forces de frottement ;
en projetant le PFD appliqué au solide sur un axe horizontal Ox lié au plan, il vient :
dv
dv
= − ma − mbv 2 ⇒ en séparant les variables, on obtient :
= −dt (1)
dt
a + bv 2
1
• On sait qu’une primitive de
est Arc tan X ⇒ on « arrange » la relation (1) :
1+ X 2
m
 b

d
×v
 a

0
 1
 b

dv
a
=
×
= −dt ⇒ [−t ]T0 = 
× Arctan 
× v   ⇒
2
2
a + bv
b
  b
 ab
 
 a
  v0
a 1 + 
×v 
  a
 
T=
 b

1
× Arctan 
× v0 
ab
 a

2) On reprend la relation (1) en écrivant que dx = v × dt , ce qui conduit à :
dv
dx
v × dv
1 2bv × dv
=−
⇒
= ×
= −dx ⇒
2
2
a + bv
v
a + bv
2b a + bv 2
0
1
1

[− x]0L =  × Ln( a + bv 2 )  = ×  Lna − Ln(a + bv 2 ) 
 2b
 v0 2b
⇒
L=
1
 b

× Ln 1 + × v02 
2b
 a

3) En l’absence de frottement solide, a → 0 ⇒ T et L → ∞
(un navire qui se contenterait de couper le moteur, mettrait très longtemps pour s’arrêter)
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