Exercice de Mécanique : Ralentissement d'un Solide

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MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE
-EXERCICE 10.1-
•
••
• ENONCE : « Ralentissement d’un solide »
• On considère un solide, assimilé à un point matériel de masse m, en translation sur un plan
horizontal, que l’on suppose être galiléen.
• En notant et ab
deux constantes, ce solide est soumis à deux forces de frottement :
♦ l’une solide (modélisant l’interaction solide-plan), de module am×
♦ l’autre fluide (modélisant la résistance de l’air), de module 2
bmv×, où v est le module
de la vitesse du solide.
• A l’instant initial, le solide est lancé avec une vitesse 0
v.
1) Déterminer le temps T au bout duquel le solide s’arrête.
2) Quelle est alors la distance L parcourue par le solide ?
3) Que deviennent les résultats en l’absence de frottement solide ?

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MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE
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• CORRIGE : « Ralentissement d’un solide »
1) Le solide est soumis à son poids, à la réaction normale du plan et aux forces de frottement ;
en projetant le PFD appliqué au solide sur un axe horizontal Ox lié au plan, il vient :
2
dv
mmambv
dt =− − ⇒ en séparant les variables, on obtient : 2
dv dt
abv=− + (1)
• On sait qu’une primitive de 2
1
1X+ est Arctan X ⇒ on « arrange » la relation (1) :
22
1
b
dv
a
dv a dt
abv b b
av
a
×
=× =−
+
+×
⇒
0
0
01
[] Arctan
T
v
b
tv
a
ab
−= × ×
⇒
0
1Arctan b
Tv
a
ab
=× ×
2) On reprend la relation (1) en écrivant que dx v dt=× , ce qui conduit à :
222
12
2
dv dx v dv bv dv dx
abv v abv b abv
××
=− ⇒ = × =−
+++
⇒
0
0
22
011
[] ( ) ( )
22
L
v
x Ln a bv Lna Ln a bv
bb
−= × + =× − +
 ⇒ 2
0
11
2b
LLn v
ba
=× +×
3) En l’absence de frottement solide, 0a→ ⇒ et TL→∞
(un navire qui se contenterait de couper le moteur, mettrait très longtemps pour s’arrêter)