Devoir maison n˚3

Devoir maison n˚3
MP Lyc´ee Clemenceau
Pour le vendredi 6 novembre
Th´eor`eme du point fixe
Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e.
D´efinition 1 Une application de Edans est une contraction stricte de rapport ksi elle est k-
lipschitzienne et que k∈]0,1[.
On notera, pour n∈IN et f:E→E,fn=f◦f◦... ◦f
| {z }
nfois
, avec la convention f0=IdE.
I) D´emonstration
On suppose que Eest de dimension finie.
Soit fune application de Edans lui mˆeme, kcontractante. Pour a∈E, on d´efinie la suite (xn)n∈IN
par x0=aet, ∀n∈IN, xn+1 =f(xn).
1) Pour tout entier naturel non pose un=xn+1 −xn.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a kun+1k ≤ kkunk, puis que
kunk ≤ knkf(a)−ak.
En d´eduire que la s´erie Xunconverge.
(b) Montrer que la suite (xn)n∈IN converge vers `∈E.
(c) Montrer que `est un point fixe de f, c’est `a dire f(`) = `.
(d) Montrer que fadmet un unique point fixe.
On vient de montrer le th´eor`eme du point fixe de Picard dans le cas particulier o`u Eest de
dimension finie.
Th´eor`eme du point fixe de Picard : dans un espace de Banach (E, k k), une application
f:E→Equi est une contraction stricte admet un unique point fixe et pour tout a∈Ela suite
des it´er´es (fn(a))∈∈IN converge ce point fixe.
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II) Exemples et contre exemples
2) Sur la n´ecessit´e d’avoir une contraction stricte.
On consid`ere la fonction g: IR →IR d´efinie par :
g(t) = t+π
2−arctan(t)
(a) D´emontrer que, pour tout t∈IR, on a |g0(t)|<1.
En d´eduire que l’on a, pour tout xet yr´eels :
|g(x)−g(y)|<|x−y|
(b) La fonction gadmet-elle un point fixe ?
Est-elle une contraction stricte ?
3) Un exemple
Soit f: IR →IR une fonction continue telle que, pour tout xIR, on ait :
f(x) = f◦g(x) o`u g(x) = 1
5x+ 1
(a) On consid`ere la suite (un)n∈IN d´efinie par u0∈IR et un+1 =1
5un+ 1 pour tout entier n.
A l’aide de la premi`ere question, montrer que la suite (un)n∈IN converge vers un r´eel `que
l’on pr´ecisera.
(b) Montrer que, pour tout n∈IN et pour tout x∈IR, on a f(gn(x)) = f(x).
(c) En d´eduire que fest une fonction constante.
4) Un syst`eme non lin´eaire dans IR2
On s’int´eresse dans cette question au syst`eme :
(S)4x= sin(x+y)
3y= 3 + 2 arctan(x−y)
On munit IR2de la norme k k1, c’est `a dire d´efinie par k(x, y)k1=|x|+|y|et on consid`ere
l’application ψ: IR2→IR2d´efinie par :
ψ(x, y) = 1
4sin(x+y),1 + 2 3arctan(x−y)
a) D´emontrer que pour tout aet br´eels, on a :
|sin(b)−sin(a)|6|b−a|et |arctan(b)−arctan(a)|6|b−a|
b) Montrer que ψest une contraction stricte de (IR,k k1) dans lui mˆeme.
c) En d´eduire que le syst`eme (S) admet une unique solution dans IR2.
d) On munit pour cette question, IR2de la norme k k∞d´efinie par k(x, y)k∞= max(|x|,|y|).
D´eterminer 
ψ1
2,−1 2−ψ(0,0)
∞.
L’application ψest-elle encore une contraction stricte pour la norme k k∞?
Quel commentaire peut-on faire ?
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