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Exercice
(LOIS DE CAUCHY). Soit X une variable aléatoire de Cauchy, de densité donnée
par f : R → R+ , x 7→
1
π(1+x2 )
1.1
Soir U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [0,1]. Déterminer une fonction
h : [0, 1] → R, telle que h(U) suive la loi de Cauchy.
On note FX la fonction de répartition de X ; FX : R → [0, 1], x 7→
∀x ∈ R,
Z
x
FX (x) =
−∞
Rx
−∞ f (t)dt
1
dt
π(1 + t2 )
1
= [arctan(t)]x−∞
π
arctan(x) 1
=
+
π
2
FX a pour dérivée f strictement positive. Ainsi, FX est de classe C 1 , strictement crois-
sante, et admet d'après le théorême de la bijection monotone une fonction inverse de
−1
1
FX (R) =]0, 1[ dans R, de classe
C strictement croissante. On note FX l'inverse de FX .
]0, 1[→ R
y 7→ tan(π(y − 1/2))
sur ]0,1[ ; comme U∈]0,1[ presque sûrement, on ne s'intéressera pas
On a explicitement : FX−1 :
On pose : h = FX−1
aux eets de bord en 0 et en 1 (h peut prendre une valeur quelconque en 0 & 1). Montrons
que h(U) suit la loi de Cauchy :
∀x ∈ R,
P (h(U ) ≤ x) = P (U ≤ FX (x)) (∗)
= FU (FX (x))
= FX (x) cf FU = Id sur [0, 1]
(*) L'égalité {h(U ) ≤ x} = {U ≤ FX (x)} peut se montrer par double inclusion, avec
pour argument la croissance de FX dans le sens direct et la croissance de h (sur ]0,1[)
dans le sens indirect.
D'où h(U) suit la loi de Cauchy.
1.2
Calculer la fonction de répartition de Y :=1/X . En déduire la loi de Y.
1
Tout d'abord, la dénition de Y est légitime car X est non nul presque sûrement.
∀x ∈ R,
P (Y ≤ x) = P (1/X ≤ x)
P (0 ≥ X ≥ 1/x)
si x ≤ 0
=
P (X ≤ 0) + P (X ≥ 1/x) sinon
FX (0) − FX (1/x)
si x ≤ 0
=
FX (0) + (1 − FX (1/x)) sinon
(
− arctan(1/x)
si x ≤ 0 (prolongement par continuité en 0)
π
=
arctan(1/x)
1−
sinon
π
=
arctan(x) 1
+
π
2
On manipule indiérement les inégalités
larges et strictes car FX est continue
arctan(x) − π/2 si x < 0
On manipule de plus : arctan(1/x) =
(fonction usuelle)
arctan(x) + π/2 si x > 0
Ainsi Y suit la loi de Cauchy.
1.3
Déterminer l'ensemble Λ ⊂ R tel que pour tout α ∈ Λ, la variable aléatoire |X|α est
R π/2
intégrable, i.e. E[|X|α ] < +∞ ? En déduire que pour tout α ∈ Λ, −π/2
|tan(t)|α dt < +∞.
Soit α un réel :
Z
α
|t|α f (t)dt
E[|X| ] =
R
Z
=
R
On note u la fonction t 7→
|t|α
π(1+t2 )
|t|α
dt
π(1 + t2 )
L'intégrale diverge grossièrement pour α > 2 cf
u(t) → +∞
±∞
Sinon v : t 7→ |t|2−α ∼ u(t) et u et v strictement de même signe, donc d'après le
±∞
theorême d'équivalence, l'intégrale de u converge en ±∞ si et seulement si l'intégrale de
v converge en ±∞. Or le critère de Riemann nous donne que l'intégrale de v converge en
±∞ pour α − 2 < −1 i.e. α < 1.
De même, w : t 7→ |t|α ∼ u(t) et u et w strictement de même signe, donc par le même
0
argument (theorême d'équivalence et critère de Riemann en 0), α > 1.
Ainsi : Λ =] − 1, 1[
2
Soit α ∈ Λ :
|t|α
dt < +∞
2
R π(1 + t )
Z 0
Z +∞
(−t)α
tα
=
dt
+
dt
2
π(1 + t2 )
−∞ π(1 + t )
0
Z π/2
Z 0
tan(u)du(∗)
(− tan(u))α du +
=
E[|X|α ] =
Z
−π/2
π/2
Z
0
| tan(u)|α du
=
−π/2
(*) Le changement de variable eectué est le suivant :
{tan(u) = x, u = arctan(x), du =
1
dx
1+x2
Ce changement de variable est légitime car la fonctions tan est C 1 et bijective de ] −
π/2, 0] et [0, π/2[ respectivement dans R− et R+ . La notation intégrale sur l'intervalle
] − π/2, π/2[ est cependant abusive pour α < 0, car en ce cas, la fonction intégrée n'est
pas dénie en 0.
D'où
on obtient le résultat :
R
π/2
α
−π/2 | tan(u)| du
< +∞
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