12 / 13 PROGRAMME 1 PSI Le programme de PSI est construit à partir de celui de PCSI. Semaine du 16 au 21 septembre 1) Généralités sur les structures classiques : groupes , anneaux, corps (Révisions) 2) Nombres complexes et formules de trigonométrie (Révisions) 3) Fonctions à valeurs réelles ou complexes : (Révisions) Limites, continuité, dérivabilité (th de Rolle et des accroissements finis), formules de Taylor, Développements limités. Fonctions circulaires réciproques, hyperboliques et hyperboliques réciproques. Exemples de calculs d’intégrales, sommes de Riemann. Questions de cours : Exponentielle complexe L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la multiplication. Calcul de cos(arcsin x), sin(arccos x), cos(arctan x) et sin(arctan x) , arctan x + arctan(1/x), formules logarithmiques de argch, argsh et argth. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral pour montrer que : ∀ z ∈ C, exp(z) = lim n→+∞ n X zk k=0 k! Semaine du 23 au 28 septembre 1) Généralités sur les structures classiques (cf ci-dessus) 2) Nombres complexes et formules de trigonométrie (cf ci-dessus) 3) Fonctions à valeurs réelles ou complexes : (cf ci-dessus) Questions de cours : Exponentielle complexe L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la multiplication. Calcul de cos(arcsin x), sin(arccos x), cos(arctan x) et sin(arctan x) , arctan x + arctan(1/x), formules logarithmiques de argch, argsh et argth. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral pour montrer que : 4) ∀ z ∈ C, exp(z) = lim n→+∞ Espaces vectoriels : Révisions : Généralités, cas de la dimension finie. Théorème du rang (∗) Somme de p sous espaces vectoriels (et non 2 seulement) , décomposition en somme directe (∗). Dualité : hyperplans en dimension quelconque et en dimension fini (∗), base duale (∗). Définition d’une algèbre, d’une sous algèbre, d’un morphisme d’algèbres. Attention : Les étoiles correspondent à des questions de cours ( démonstrations) Bien sûr, toutes les définitions et tous les théorèmes sont à connaitre. Prévisions : Polynômes, suites, séries. 1 n X zk k=0 k! 12 / 13 PROGRAMME 1 PSI Le programme de PSI est construit à partir de celui de PCSI. Semaine du 16 au 21 septembre 1) Généralités sur les structures classiques : groupes , anneaux, corps (Révisions) 2) Nombres complexes et formules de trigonométrie (Révisions) 3) Fonctions à valeurs réelles ou complexes : (Révisions) Limites, continuité, dérivabilité (th de Rolle et des accroissements finis), formules de Taylor, Développements limités. Fonctions circulaires réciproques, hyperboliques et hyperboliques réciproques. Exemples de calculs d’intégrales, sommes de Riemann. Questions de cours : Exponentielle complexe L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la multiplication. Calcul de cos(arcsin x), sin(arccos x), cos(arctan x) et sin(arctan x) , arctan x + arctan(1/x), formules logarithmiques de argch, argsh et argth. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral pour montrer que : ∀ z ∈ C, exp(z) = lim n→+∞ n X zk k=0 k! Semaine du 23 au 28 septembre 1) Généralités sur les structures classiques (cf ci-dessus) 2) Nombres complexes et formules de trigonométrie (cf ci-dessus) 3) Fonctions à valeurs réelles ou complexes : (cf ci-dessus) Questions de cours : Exponentielle complexe L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la multiplication. Calcul de cos(arcsin x), sin(arccos x), cos(arctan x) et sin(arctan x) , arctan x + arctan(1/x), formules logarithmiques de argch, argsh et argth. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral pour montrer que : 4) ∀ z ∈ C, exp(z) = lim n→+∞ Espaces vectoriels : Révisions : Généralités, cas de la dimension finie. Théorème du rang (∗) Somme de p sous espaces vectoriels (et non 2 seulement) , décomposition en somme directe (∗). Dualité : hyperplans en dimension quelconque et en dimension fini (∗), base duale (∗). Définition d’une algèbre, d’une sous algèbre, d’un morphisme d’algèbres. Attention : Les étoiles correspondent à des questions de cours ( démonstrations) Bien sûr, toutes les définitions et tous les théorèmes sont à connaitre. Prévisions : Polynômes, suites, séries. 2 n X zk k=0 k!