Les fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses
Obtenir les angles d’un triangle
Si f(x)est une fonction définie pour a<x<bet qui est telle que quel
que soit yentre cet d, l’équation
f(x) = y
admet une solution xunique, on dit que fadmet une fonction inverse f−1
et on écrit
x=f−1(y).
L’arcsinus
Comme la fonction sin xcroît strictement de -1 à 1 lorsque xcroît de
−π/2àπ/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arcsinus, qui donne
l’angle (en radians) si l’on connaît le sinus :
x= arcsin y⇔y= sin x , −1≤y≤1⇔ −π/2≤x≤π/2.(1)
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
sin x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
y
arcsin y
L’arccosinus
Comme la fonction cos xdécroît strictement de 1 à -1 lorsque xcroît
de 0 à π, elle admet une fonction inverse, la fonction arccosinus, qui donne
l’angle (en radians) si l’on connaît le cosinus :
x= arccos y⇔y= cos x , −1≤y≤1⇔0≤x≤π. (2)
1

0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
cos x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
y
arccos y
L’arctangente
Comme la fonction tan xcroît strictement de −∞ à+∞lorsque xcroît
de −π/2àπ/2, elle admet une fonction inverse, la fonction arctangente, qui
donne l’angle (en radians) si l’on connaît la tangente :
x= arctan y⇔y= tan x , −∞ < y < +∞ ⇔ −π/2< x < π/2.(3)
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
-6
-4
-2
2
4
6
y
tan x
-10
-5
5
10
x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
y
arctan y
Exemple
4
3
5
Θ
Dans le triangle précédent, on peut obtenir l’angle au moyen de n’importe
laquelle des fonctions trigonométriques inverses :
θ= arcsin 3
5= arccos 4 5= arctan 3 4= 0,6435 = 36 ◦52011”.
2

Exercice
Obtenir l’angle θdu triangle suivant :
12
5
13
Θ
Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. θ= 0,3948 = 22 ◦37013”
3