1 Variable aléatoire

Probabilités : Rappels de première
1 Variable aléatoire
Définition 1 : Variable aléatoire
Soit Ωl’univers d’une expérience aléatoire.
On appelle variable aléatoire toute fonction Xde Ωdans Rqui, à tout élément de Ω,
fait correspondre un nombre réel x.
Exemple 1 : Par exemple le gain obtenu à l’occasion d’un jeu de hasard ou encore le
temps d’attente d’un bus.
Définition 2 : Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit Ω = {ω1;ω2;...;ωn}un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a
été définie une loi de probabilité et Ω′={x1;x2;...;xn}l’ensemble des valeurs prises
par une variable aléatoire X.
La loi de probabilité de Xest la fonction définie sur Ω′, qui à chaque xifait correspondre
le nombre pi=p(X=xi). On la représente en général dans un tableau :
xix1x2. . . xn
p(X=xi)p1=p(X=x1)p2=p(X=x2). . . pn=p(X=xn)
Exemple 2 : On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. Si l’on tire un coeur, on gagne 8e,
sinon, on perd 4e.Ωest l’ensemble des 32 cartes et on peut définir la variable aléatoire
Xsur Ωqui, à chaque carte associe le gain. La loi de Xest xi−4 8
p(X=xi)3
4
1
4
Définition 3 Espérance, variance, écart-type
L’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire Xsont
respectivement les nombres :
E(X) = p1x1+p2x2+···+pnxn=Pn
i=1 pixi
V(X) = Pn
i=1 pi)(xi−E(X))2=Pn i=1 pi)x2
i−E(X)2
σ(X) = pV(X)
Exemple 3 Dans l’exemple 2, l’espérance de Xest E(X) = 3
4×(−4) + 1 4×8 = 1. Cela
veut dire que le gain moyen à ce jeu stupide est de 1e. C’est un jeu favorable au joueur
Le signe de E(X)permet donc de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que
de perdre. Si E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable. L’écart-type de Xpermet, lui,
d’évaluer le "risque" du jeu : plus l’écart-type est grand plus le risque de perdre ou de
gagner est important.
1

2 Loi binomiale
2.1 Loi de Bernoulli
Définition 4 On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre ptoute épreuve aléatoire
admettant exactement deux issues :
– l’une appelée succès dont la probabilité d’apparaître est p;
– l’autre appelée échec dont la probabilité d’apparaître est 1−p.
La loi de Bernoulli est donc résumée dans le tableau suivant (on note 0l’échec et 1le
succès) :
xi0 1
p(X=xi) 1 −p p
On dit que la variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre pet on note
X∼B(p).
Exemple 4 :
– Lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires PILE (pro-
babilité p=1
2) et FACE (probabilité q= 1 −p=1 2).
– Tirage d’une boule contenant 70 boules blanches et 30 boules rouges, avec pour
issues contraires :
–S: tirer une boule blanche (p= 0,7)
–E=S: tirer une boule rouge (q= 0,3)
2.2 Loi binomiale
Définition 5 On appelle schéma de népreuves de Bernoulli de paramètre ptoute
expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante une épreuve
de Bernoulli de paramètre p.
Un résultat d’une telle expérience est une liste de nissues (SE. . .SSE). La variable
aléatoire Xà valeurs dans {0,1,2. . . n}associant à chaque issue le nombre de succès
suit la loi binomiale de paramètres net pnotée B(n, p)
Propriété 1 Si Xsuit une loi binomiale de paramètres net pon a :
p(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k, k ∈ {0; 1; 2; ...;n}
Remarque 1 Les n
kappelés coefficients binomiaux se calculent à l’aide de la calcula-
trice. Par exemple, pour calculer 4
2sur Casio, on tape OPTN puis PROB puis 4 puis
nCr puis 2. On trouve 4
2= 6
Exercice : Un Q.C.M comporte 4 questions offrant chacune 3 réponses possibles (une
seule étant juste). On répond complètement au hasard. Quelles sont les probabilités :
1. d’obtenir 2 réponses exactes ?
2. d’obtenir la moyenne ?
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