Feuille 4 : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

UPMC 1M001 Analyse et algèbre pour les sciences 2013-2014
Feuille 4 : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Les exercices sans (∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqués (∗)sont un peu plus difficiles,
mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les évaluations. Enfin, quelques exercices marqués (∗∗)
peuvent être considérés comme des « compléments de cours » mais certains peuvent aussi être traités comme apportant
un autre éclairage sur des notions vues en cours ou des exercices précédents. Toutefois, les évaluations ne comporteront
pas d’exercices du type (∗∗).
Les feuilles d’exercices sont aussi disponibles sur ma page web http ://cermics.enpc.fr/∼pradeath/Enseignement.html
Exercice 1. Soit f:R→Rdérivable telle que f0ne s’annule pas. Montrer que fne peut être périodique.
Exercice 2. Soit (a, b, c)∈R3, montrer qu’il existe x∈]0,1[ tel que 4ax3+ 3bx2+ 2cx =a+b+c.
Exercice 3 (Théorème de Rolle et polynômes).On dit qu’un polynôme Q(x)est de degré d∈Ns’il s’écrit
Q(x) = b0+b1x+··· +bdxdavec bd6= 0. Soit n∈N. On considère une fonction polynomiale Pde degré n,
disons P(x) = a0+a1x+··· +anxn.
1. Citer des résultats qui assurent que Pest dérivable sur Ret calculer sa dérivée P0(x).
2. En utilisant le théorème de Rolle, montrer par récurrence sur nque l’équation P(x)=0a au plus n
solutions dans R.
Exercice 4. Pour α > 0, on définit la suite
Sn(α) =
n
X
k=1
1
kα.
1. Montrer que pour tout α > 0,Sn(α)admet une limite en +∞(éventuellement infinie).
2. Soit n∈N∗, montrer qu’il existe cn∈[n, n + 1] tel que ln(n+ 1) −ln n=1
cn
.En déduire lim
n→+∞Sn(1).
3. Soit α∈]0,1[. En considérant la fonction ϕ:R+→R, x 7→ x1−α, déterminer lim
n→+∞Sn(α).
4. Lorsque α > 1, montrer que lim
n→+∞Sn(α)est finie et en donner un encadrement.
Exercice 5. Soit fde classe Cnsur un intervalle [a, b], et qui s’annule en n+ 1 points. Montrer qu’il existe
c∈]a, b[tel que f(n)(c)=0.
Exercice 6. Soit f: [a, b]→Rdérivable telle que f0(a)>0et f0(b)<0. Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que
f0(c)=0.
Exercice 7. Soit f: [a, b]→Rde classe C2telle que f(a) = f0(a)et f(b) = f0(b). Montrer qu’il existe c∈]a, b[
tel que f(c) = f00 (c).
Indication : Considérer la fonction ϕ: [a, b]→R, x 7→ (f(x)−f0(x))ex.
Exercice 8. Soit f:R→Rune fonction dérivable. Montrer que pour tout x > 0, il existe c > 0tel que
f(x)−f(−x) = x(f0(c) + f0(−c)).
Exercice 9. Soit (a, b)∈R2et n∈N, on considère le polynôme P(x) = xn+ax +b. Montrer que Padmet au
plus trois racines réelles.
Exercice 10. Déterminer à l’aide du théorème des accroissements finis
lim
x→+∞(x+ 1)e1
x+1 −xe 1
x.
Exercice 11. Soit f:I→R, on dit que fest lipschitzienne si il existe k > 0tel que pour tout (x, y)∈I2,
|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|.
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue.
2. On suppose fdérivable sur I. Montrer que fest lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.
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3. Soit f:]0,1] →R, x 7→ √x. Montrer que fn’est pas lipschitzienne.
Exercice 12. Soit f:R→Rdérivable telle que lim
x→−∞ f(x) = lim x→+∞f(x)=+∞.
1. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu’il existe a < 0et b > 0tels que f(a) = f(b).
2. En déduire qu’il existe c∈Rtel que f0(c)=0.
Exercice 13 (Règle de L’Hôpital et applications).Soit Iun intervalle ouvert non vide et f, g :I→Rdeux
applications dérivables sur I. On suppose de plus que g0(x)6= 0 pour tout x∈I.
1. Montrer que pour tout a<bdans I, on a g(b)6=g(a).
2. Fixons a<bdans I. Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f0(c) g0(c).
Indication : considérer l’application ϕ: [a, b]→R,x7→ (f(b)−f(a))g(x)−(g(b)−g(a))f(x).
3. (∗)Fixons a∈I. Déduire de la question précédente que si lim
x→
6=
a
f0(x)
g0(x)existe et vaut `∈R, alors
lim
b→
6=
a
f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=`.
On rappelle que lim
x→0
sin(x)
x= 1 et que la fonction sin (resp. cos) est dérivable sur R, de dérivée cos (resp. −sin).
4. En utilisant la question 3, déterminer a2= lim
x→0
cos(x)−1
x2, puis a3= lim
x→0
sin(x)−x
x3, puis
a4= lim
x→0
cos(x)−1−a2x2
x4et a5= lim
x→0
sin(x)−x−a3x3
x5.
5. (∗∗)Pouvez-vous définir et deviner la valeur de a6,a7, etc. ?
Compléments sur la dérivation
Exercice 14. Soit n≥2, on considère la fonction fdéfinie sur R+par f(x) = 1 + xn
(1 + x)n.
1. Montrer que fest dérivable sur R+et calculer sa dérivée.
2. Montrer que fatteint un minimum sur R+que l’on déterminera.
3. En déduire que pour tout x≥0on a (1 + x)n≤2n−1(1 + xn).
4. Montrer que pour tous x, y ≥0on a (x+y)n≤2n−1(xn+yn).
Exercice 15. On considère la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = e1
tsi t < 0
0si t≥0
1. Montrer que fest dérivable sur R.
2. Etudier l’existence de f00(0).
On montrer que pour tout n∈Nil existe un polynôme Pntel que pour tout t < 0,f(n)(t) = Pn(t)
t2ne1
t.
3. Trouver P1et P2, puis une relation de récurrence entre Pn+1, Pnet P0
n.
4. Montrer que fest de classe C∞.
Exercice 16. Déterminer toutes les applications f:R→Rdérivables telles que pour tout (x, y)∈R2,
f(x+y) = f(x) + f(y).
Exercice 17 (**).Déterminer les fonctions f∈C1(R)telles que f◦f=f.
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