Feuille 4 : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

UPMC
1M001 Analyse et algèbre pour les sciences
2013-2014
Feuille 4 : Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Les exercices sans (∗) sont des applications directes du cours. Les exercices marqués (∗) sont un peu plus difficiles,
mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les évaluations. Enfin, quelques exercices marqués (∗∗)
peuvent être considérés comme des « compléments de cours » mais certains peuvent aussi être traités comme apportant
un autre éclairage sur des notions vues en cours ou des exercices précédents. Toutefois, les évaluations ne comporteront
pas d’exercices du type (∗∗).
Les feuilles d’exercices sont aussi disponibles sur ma page web http ://cermics.enpc.fr/∼pradeath/Enseignement.html
Exercice 1. Soit f : R → R dérivable telle que f 0 ne s’annule pas. Montrer que f ne peut être périodique.
Exercice 2. Soit (a, b, c) ∈ R3 , montrer qu’il existe x ∈]0, 1[ tel que 4ax3 + 3bx2 + 2cx = a + b + c.
Exercice 3 (Théorème de Rolle et polynômes). On dit qu’un polynôme Q(x) est de degré d ∈ N s’il s’écrit
Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bd xd avec bd 6= 0. Soit n ∈ N. On considère une fonction polynomiale P de degré n,
disons P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn .
1. Citer des résultats qui assurent que P est dérivable sur R et calculer sa dérivée P 0 (x).
2. En utilisant le théorème de Rolle, montrer par récurrence sur n que l’équation P (x) = 0 a au plus n
solutions dans R.
Exercice 4. Pour α > 0, on définit la suite
Sn (α) =
n
X
1
.
kα
k=1
1. Montrer que pour tout α > 0, Sn (α) admet une limite en +∞ (éventuellement infinie).
1
2. Soit n ∈ N∗ , montrer qu’il existe cn ∈ [n, n + 1] tel que ln(n + 1) − ln n = . En déduire lim Sn (1).
n→+∞
cn
+
1−α
3. Soit α ∈]0, 1[. En considérant la fonction ϕ : R → R, x 7→ x
, déterminer lim Sn (α).
n→+∞
4. Lorsque α > 1, montrer que lim Sn (α) est finie et en donner un encadrement.
n→+∞
Exercice 5. Soit f de classe C n sur un intervalle [a, b], et qui s’annule en n + 1 points. Montrer qu’il existe
c ∈]a, b[ tel que f (n) (c) = 0.
Exercice 6. Soit f : [a, b] → R dérivable telle que f 0 (a) > 0 et f 0 (b) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0.
Exercice 7. Soit f : [a, b] → R de classe C 2 telle que f (a) = f 0 (a) et f (b) = f 0 (b). Montrer qu’il existe c ∈]a, b[
tel que f (c) = f 00 (c).
Indication : Considérer la fonction ϕ : [a, b] → R, x 7→ (f (x) − f 0 (x))ex .
Exercice 8. Soit f : R → R une fonction dérivable. Montrer que pour tout x > 0, il existe c > 0 tel que
f (x) − f (−x) = x(f 0 (c) + f 0 (−c)).
Exercice 9. Soit (a, b) ∈ R2 et n ∈ N, on considère le polynôme P (x) = xn + ax + b. Montrer que P admet au
plus trois racines réelles.
Exercice 10. Déterminer à l’aide du théorème des accroissements finis
1
1
lim (x + 1)e x+1 − xe x .
x→+∞
Exercice 11. Soit f : I → R, on dit que f est lipschitzienne si il existe k > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ I 2 ,
|f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|.
1. Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue.
2. On suppose f dérivable sur I. Montrer que f est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.
1
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3. Soit f :]0, 1] → R, x 7→
√
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x. Montrer que f n’est pas lipschitzienne.
Exercice 12. Soit f : R → R dérivable telle que lim f (x) = lim f (x) = +∞.
x→−∞
x→+∞
1. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu’il existe a < 0 et b > 0 tels que f (a) = f (b).
2. En déduire qu’il existe c ∈ R tel que f 0 (c) = 0.
Exercice 13 (Règle de L’Hôpital et applications). Soit I un intervalle ouvert non vide et f, g : I → R deux
applications dérivables sur I. On suppose de plus que g 0 (x) 6= 0 pour tout x ∈ I.
1. Montrer que pour tout a < b dans I, on a g(b) 6= g(a).
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Indication : considérer l’application ϕ : [a, b] → R, x 7→ (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x).
f 0 (x)
3. (∗) Fixons a ∈ I. Déduire de la question précédente que si lim 0
existe et vaut ` ∈ R, alors
x→a g (x)
2. Fixons a < b dans I. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
6=
f (b) − f (a)
lim
= `.
b→a g(b) − g(a)
6=
sin(x)
= 1 et que la fonction sin (resp. cos) est dérivable sur R, de dérivée cos (resp. − sin).
x
sin(x) − x
cos(x) − 1
, puis a3 = lim
, puis
4. En utilisant la question 3, déterminer a2 = lim
x→0
x→0
x2
x3
On rappelle que lim
x→0
cos(x) − 1 − a2 x2
x→0
x4
a4 = lim
et
sin(x) − x − a3 x3
.
x→0
x5
a5 = lim
5. (∗∗) Pouvez-vous définir et deviner la valeur de a6 , a7 , etc. ?
Compléments sur la dérivation
Exercice 14. Soit n ≥ 2, on considère la fonction f définie sur R+ par f (x) =
1 + xn
.
(1 + x)n
1. Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer sa dérivée.
2. Montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera.
3. En déduire que pour tout x ≥ 0 on a (1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ).
4. Montrer que pour tous x, y ≥ 0 on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + y n ).
Exercice 15. On considère la fonction f définie sur R par
1
et
si t < 0
f (x) =
0
si t ≥ 0
1. Montrer que f est dérivable sur R.
2. Etudier l’existence de f 00 (0).
On montrer que pour tout n ∈ N il existe un polynôme Pn tel que pour tout t < 0, f (n) (t) =
Pn (t) 1
et .
t2n
3. Trouver P1 et P2 , puis une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn0 .
4. Montrer que f est de classe C ∞ .
Exercice 16. Déterminer toutes les applications f : R → R dérivables telles que pour tout (x, y) ∈ R2 ,
f (x + y) = f (x) + f (y).
Exercice 17 (**). Déterminer les fonctions f ∈ C 1 (R) telles que f ◦ f = f .
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