Exercices

Bcpst 1 Fonctions dérivables 2/2017
Exercices d’applications
Ex. 5 — Trouver le domaine de dérivabilités et calculer la dérivée de x 7→ ln (ln(x)).
Ex. 6 —
Ex. 1 — Soit f : R −→ R une fonction
dérivable sur R. Calculer
f (2x) − f (x)
lim
x→0
x
f (h)
e
− e f (2h)
lim
h→0
h
(x + h) f (x) − x f (x + h)
lim
h→0
h
Ex. 2 — Soit f une fonction dérivable sur
un intervalle I symétrique par rapport à 0.
Montrer que si f est paire (resp. impaire),
alors la fonction dérivée f 0 est impaire (resp.
paire). Étudier la réciproque.
Ex. 3 — Calculer les dérivées des fonctions
suivantes (on ne demande pas d’étudier le
domaine de dérivabilité)
1. x 7→ x 5/2 ;
2. x 7→ x −5/2 ;
x +1
3. x 7→
;
x −2
4. x 7→ exp (sin x) ;
5. x 7→ sin (exp (1/x)) ;
6. x 7→ sin sin sin sin x ;
1 + x ;
7. x 7→ ln 1− x
p
3
8. x 7→ x 2 (1 − x) sin x cos2 x ;
1Æ
1Æ
3
3
9. x 7→
(1 + x 7 )8 −
(1 + x 7 )5 .
8
5
Ex. 4 — Étudier l’ensemble de dérivabilité
et calculer la dérivée des fonctions suivantes
p
x x ; cos( x) ; ln 1 + sin(x)2
1+ x
3p
x
Æ
1
;
;
|1 − x 2 |
1 + tan(x)
ln2 3x 2 − e ; cos(sin(x))
4 1−2x
;
Soit f la fonction définie par
f (x) = p
2x + 1
x2 + x + 1
Étudier l’existence de f −1 . Montrer que f −1
est dérivable et calculer ( f −1 )0 (−1).
Étude de régularité
Ex. 7 — La fonction x 7→ cos
rivable sur [0 ; 1] ?
p
x est-elle dé-
Ex. 8 — Étudier la dérivabilité de f , et calculer sa fonction dérivée
1. f : R −→ R
x
1 + |x|
2. f : R −→ R
.
−|x|
x 7−→ xe
x 7−→
3. f : [0 ; 1] −→ R
p
x 7−→ cos x
Ex. 9 — Déterminer la classe de la fonction
f : R −→ R
1
x 7−→ x α sin x 6= 0
x
0
sinon
pour α ∈ {0, 1, 2, 3}.
Ex. 10 —
par
On définit une fonction f sur R
f (x) = 1 + xx ¾ 0
et
f (x) = e x x ¶ 0
Montrer que f est bien définie et de classe C 1
sur R. Est-elle de classe C 2 sur R ?
Ex. 11 —
Soit f définie sur R par
f (x) = e
x−1
x2
x 6= 0
et
f (0) = 0
La fonction f est-elle de classe C 1 sur R?
sin(x)
admetx
elle un prolongement C 1 à R?
Ex. 12 —
La fonction x 7→
2n
X
1
En déduire lim
.
n→+∞
k
k=n+1
Ex. 13 — Soit f définie sur R∗ par
•
 ‹˜2
1
f (x) = x sin
et
f (0) = 0
x
Montrer que f est dérivable sur R et que f
n’est pas continue en 0.
Ex. 21 — Soit a ∈ ]0 ; 1[. Démontrer l’inégalité pour tout n ¾ 1
0
a
a
¶ (n + 1)a − na ¶ 1−a
1−a
(n + 1)
n
En déduire un équivalent, lorsque n tend vers
n
X
1
.
+∞ de
1−a
k
k=1
Application de la dérivée
Ex.•14 — Étudier
˜
1+ x
.
ln
(3 + x)2
les
extrema
de
Ex. 22 —
Soit f la fonction définie sur R
ex − 1
par f (x) = x
.
e +1
1. Justifier que f est de classe C 1 sur R,
calculer f 0 .
Ex. 15 —
1. Étudier
p les variations de la
x +1
.
fonction x 7→
ex
2. Montrer l’inégalité
p
s
x +1
e
∀x ∈ [−1 ; + ∞[ , 0 ¶
¶
ex
2
2. Dresser le tableau de variations de f .
3. Sur quels intervalles f est-elle convexe ?
concave ? Quels sont ses points d’inflexions ?
3. Quel est l’ensemble
de définition de
p
x +1
?
x 7→ tan
ex
4. Tracer le graphe de f .
§
75
Ex. 16 — Calculer
sup −x 3 +
x;
4
x ∈ R et x 4 + 36 ¶ 13x 2 .
Ex. 17 —
Ex. 23 — Déterminer la dérivée n–ième des
fonctions x 7→ 1/x ; x 7→ ln(1 + x) x 7→
sin(x) ; x 7→ sin(a x + b) ; x 7→ (1 + x)n x 2 ;
Montrer les inégalités suivantes
1. ∀x ∈ R,
e x ¾ 1 + x.
2. ∀x ∈ ]−1 ; + ∞[ ,
ln(1 + x) ¶ x.
3. ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R+ ,
n ¾ 0.
x n+1 − (n + 1)x +
Ex. 18 —
Problèmes
Ex. 24 — On pose f n (x) = x n−1 ln(1 + x),
démontrer que pour tout x > −1,
f n(n) (x)
= (n − 1)!
Montrer que
∀n ∈ N, ∀x ∈ R,
e x ¾ 1+ x +
xn
x2
+· · ·+
2
n!
1
lim (x + 1)e x+1 − xe x
Indication : Que peut-on-dire de la fonction
Arctan( f ) ?
x→+∞
∀x > 0,
x→−1
+∞.
Montrer qu’il existe c ∈ ]−1 ; 1[ tel que
f 0 (c) = 0.
Ex. 19 — À l’aide du théorème des accroissements finis, déterminer
Ex. 20 —
1
(1 + x)k
k=1
Ex. 25 — Soit f : ]−1 ; 1[ −→ R dérivable tel que lim− f (x) = lim + f (x) =
x→1
1
n
X
Ex. 26 — Soit f une fonction continue sur
[a ; b], dérivable sur ]a ; b[ telle que ∀x ∈
[a ; b], f (x) 6= 0.
Montrer que
1
1
¶ ln(1 + x) − ln(x) ¶
x +1
x
2
Montrer qu’il existe c ∈ ]a ; b[ tel que
f 0 (c)
f (a)
(a−b) f (c)
.
=e
f (b)
Ex. 32 —
f (x) =
Ex. 27 — Soit f une fonction de classe C 1
sur R telle que lim f 0 (x) = +∞. Démonx→+∞
x→+∞
Montrer que la réciproque est fausse.
2. Montrer que ∀x ∈ R, f 0 (x) = 1 −
( f (x))2 . Montrer que g est dérivable sur
I et déterminer g 0 à l’aide du résultat
précédent.
Ex. 28 — Soit f : R −→ R dérivable. On
suppose que f 0 est minorée par λ > 0 sur I.
Démontrer que f 0 (x) −−−−→ +∞.
3. Retrouver la valeur de g 0 en explicitant
g.
x→+∞
Étudier la réciproque.
Ex. 29 — Soit P une fonction polynôme sur
R, de degré n. On suppose que P admet r
racines distinctes a1 < a2 < · · · < a r .
Ex. 33 — Trouver toutes les fonctions f dérivables sur R telles que pour tout x ∈ R,
f (2x) = 2 f (x).
1. Démontrer que P 0 admet au moins r − 1
racines distinctes. Que dire du nombre
de racines de P 00 , P (3) , etc. ?
Ex. 34 — Soit I un segment de R et f :
I −→ R une fonction de classe C 1 . On suppose que I est stable par f et qu’il existe un
réel k ∈ [0 ; 1[ tel que
∀x ∈ I, f 0 (x) < k
2. Si r > n, montrer que P (n) admet au
moins une racine sur R. En déduire
qu’un polynôme réel de degré au plus n
n’admet pas plus de n racines distinctes.
On considère une suite (un )n∈N telle que
Ex. 30 — Soit f une fonction n fois dérivables sur [a ; b] ayant n + 1 racines sur ce
segment. Montrer qu’il existe un réel c dans
]a ; b[ tel que f (n) (c) = 0.
u0 ∈ I
et
2. On suppose que f a un unique point fixe
α.
a) Montrer que
1
1
h(x) = p
−p
1 − x2
2(1 − x)
∀n ∈ N,
h(1) = 0
2. h est-elle dérivable sur ]0 ; 1[ ? sur
[0 ; 1] ?
∀n ∈ N,
3. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels
que
c) Conclure.
∀x ∈ [0 ; 1]
|un+1 − α| ¶ k |un − α|
b) En déduire que
1. h est-elle continue en 1 ?
∀x ∈ [0 ; 1]
un+1 = f (un )
1. Si f n’a pas de point fixe dans I, que
peut-on dire de la convergence de u ?
Ex. 31 — Soit h la fonction définie sur
[0 ; 1] par
et
e x − e−x
e x + e−x
1. Montrer que f admet une bijection réciproque g définie sur un intervalle I à
préciser.
trer que lim f (x) = +∞.
x 6= 1
Si x ∈ R, on pose
|un+1 − α| ¶ k n |u0 − α|
3. Application Étudier la convergence de
la suite
|h(x)| < a
(1)
h0 (x) < p b
1− x
(2)
u0 =
3
1
2
et
∀n ∈ N,
un+1 =
3
un (1−un )
2
Ex. 39 — Soit n ∈ N∗ . Déterminer la classe
de la fonction f n définie sur R par
4. On suppose désormais que
∀x ∈ I, f 0 (x) > k
f n (x) =
avec k > 1 et on suppose toujours que f
possède un unique point fixe α.
a) Démontrer que
∃k ∈ ]1 ; + ∞[ ,
|un+1 − α| ¾ k |un − α|
b) En déduire que
∀n ∈ N,
|un+1 − α| ¾ k n |u0 − α|
c) Conclure.
Ex. 35 — Soit Pn une fonction polynôme
de degré au plus n. Montrer que l’équation
Pn (x) = e x ne peut pas avoir un nombre de
solutions supérieur ou égal à n + 2.
Dérivée d’ordre supérieur
Ex. 36 — Calculer la dérivée n–ième des
fonctions
1. f1 (x) = 1/x ;
1
(déterminer
(x − 1)2 (x − 2)
tout d’abord 3 réels a, b et c tels que
a
b
c
f2 (x) =
+
+
);
2
(x − 1)
x −1 x −2
3. f3 (x) = x 2 e3x ;
2. f2 (x) =
4. f4 (x) = x n−1 ln x.
Ex. 37 — Soit n ∈ N∗ et
f n : ]−1 ; + ∞[ −→ R
.
n−1
x 7−→ x
ln(1 + x)
Montrer que f n est n fois dérivable sur
]−1 ; + ∞[ et que
∀x ∈ ]−1 ; + ∞[ ,
f n(n) (x)
= (n−1)!
n
X
1
.
(1 + x)k
k=1
Ex.
p 38 — Calculer la dérivée d’ordre n de
e 3x sin(x)
4
(1 − x 2 )n si |x| < 1
0 sinon