Exercices

Bcpst 1 Fonctions dérivables 2/2017
Exercices d’applications
Ex. 1 — Soit f:R−→ R une fonction
dérivable sur R. Calculer
lim
x→0
f(2x)−f(x)
x
lim
h→0
ef(h)−ef(2h)
h
lim
h→0
(x+h)f(x)−x f (x+h)
h
Ex. 2 — Soit f une fonction dérivable sur
un intervalle I symétrique par rapport à 0 .
Montrer que si f est paire (resp. impaire),
alors la fonction dérivée f0 est impaire (resp.
paire). Étudier la réciproque.
Ex. 3 — Calculer les dérivées des fonctions
suivantes (on ne demande pas d’étudier le
domaine de dérivabilité)
1. x7→ x5/2;
2. x7→ x−5/2;
3. x7→ x+1
x−2;
4. x7→ exp(sin x);
5. x7→ sin(exp(1/x)) ;
6. x7→ sinsinsinsin x;
7. x7→ ln
1+x
1−x
;
8. x7→ 3
px2(1−x)sin xcos2x;
9. x7→ 1
8
3
Æ(1+x7)8−1
5
3
Æ(1+x7)5.
Ex. 4 — Étudier l’ensemble de dérivabilité
et calculer la dérivée des fonctions suivantes
xx; cos(px); ln1+sin(x)2
1+x41−2x;1
1+tan(x);Æ|1−x2|
3px; ln23x2−e; cos(sin(x))
Ex. 5 — Trouver le domaine de dérivabili-
tés et calculer la dérivée de x7→ ln(ln(x)).
Ex. 6 — Soit fla fonction définie par
f(x) = 2x+1
px2+x+1
Étudier l’existence de f−1 . Montrer que f−1
est dérivable et calculer (f−1)0(−1).
Étude de régularité
Ex. 7 — La fonction x7→ cospx est-elle dé-
rivable sur [0 ; 1]?
Ex. 8 — Étudier la dérivabilité de f , et cal-
culer sa fonction dérivée
1. f:R−→ R
x7−→ x
1+|x|
2. f:R−→ R
x7−→ xe−|x|
.
3. f:[0 ; 1]−→ R
x7−→ cospx
Ex. 9 — Déterminer la classe de la fonction
f:R−→ R
x7−→ xαsin 1
xx6=0
0sinon
pour α∈ {0,1,2,3}.
Ex. 10 — On définit une fonction f sur R
par
f(x) = 1+xx¾0
et f(x) = exx¶0
Montrer que f est bien définie et de classe C1
sur R. Est-elle de classe C2sur R?
Ex. 11 — Soit fdéfinie sur Rpar
f(x) = ex−1
x2x6=0et f(0) = 0
La fonction fest-elle de classe C1sur R?
Ex. 12 — La fonction x7→ sin(x)
x
admet-
elle un prolongement C1àR?

Ex. 13 — Soit fdéfinie sur R∗par
f(x) = xsin1
x2et f(0) = 0
Montrer que f est dérivable sur R et que f0
n’est pas continue en 0.
Application de la dérivée
Ex. 14 — Étudier les extrema de
ln1+x
(3+x)2.
Ex. 15 — 1. Étudier les variations de la
fonction x7→ px+1
ex.
2. Montrer l’inégalité
∀x∈[−1 ; +∞[,0¶px+1
ex¶se 2
3. Quel est l’ensemble de définition de
x7→ tanpx+1
ex?
Ex. 16 — Calculer sup§−x3+75
4x;
x∈Ret x4+36 ¶13x2.
Ex. 17 — Montrer les inégalités suivantes
1. ∀x∈R, ex¾1+x.
2. ∀x∈]−1 ; +∞[,ln(1+x)¶x.
3. ∀n∈N∗,∀x∈R+,xn+1−(n+1)x+
n¾0.
Ex. 18 — Montrer que
∀n∈N,∀x∈R, ex¾1+x+x2
2+···+xn n!
Ex. 19 — À l’aide du théorème des accrois-
sements finis, déterminer
lim
x→+∞(x+1)e1
x+1−xe1 x
Ex. 20 — Montrer que
∀x>0,1
x+1¶ln(1+x)−ln(x)¶1 x
En déduire lim
n→+∞
2n
X
k=n+1
1
k.
Ex. 21 — Soit a∈]0 ; 1[ . Démontrer l’in-
égalité pour tout n¾1
a
(n+1)1−a¶(n+1)a−na¶a n1−a
En déduire un équivalent, lorsque n tend vers
+∞de
n
X
k=1
1
k1−a.
Ex. 22 — Soit f la fonction définie sur R
par f(x) = ex−1
ex+1.
1. Justifier que f est de classe C1 sur R ,
calculer f0.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Sur quels intervalles f est-elle convexe ?
concave ? Quels sont ses points d’in-
flexions ?
4. Tracer le graphe de f.
Problèmes
Ex. 23 — Déterminer la dérivée n –ième des
fonctions x7→ 1/x ; x7→ ln(1+x)x7→
sin(x) ; x7→ sin(ax +b) ; x7→ (1+x)nx2 ;
Ex. 24 — On pose fn(x) = xn−1ln(1+x) ,
démontrer que pour tout x>−1,
f(n)
n(x) = (n−1)!
n
X
k=1
1
(1+x)k
Ex. 25 — Soit f:]−1 ; 1[−→ R dé-
rivable tel que lim
x→1−f(x) = lim
x→−1+f(x) =
+∞.
Montrer qu’il existe c∈]−1 ; 1[ tel que
f0(c) = 0.
Indication :Que peut-on-dire de la fonction
Arctan(f)?
Ex. 26 — Soit f une fonction continue sur
[a;b] , dérivable sur ]a;b[ telle que ∀x∈
[a;b],f(x)6=0.
2

Montrer qu’il existe c∈]a;b[ tel que
f(a)
f(b)=e(a−b)f0(c)
f(c).
Ex. 27 — Soit f une fonction de classe C1
sur R telle que lim
x→+∞f0(x) = +∞
. Démon-
trer que lim
x→+∞f(x) = +∞.
Montrer que la réciproque est fausse.
Ex. 28 — Soit f:R−→ R dérivable. On
suppose que f0 est minorée par λ>0 sur I .
Démontrer que f0(x)−−−−→
x→+∞+∞.
Étudier la réciproque.
Ex. 29 — Soit P une fonction polynôme sur
R , de degré n . On suppose que P admet r
racines distinctes a1<a2<··· <ar.
1. Démontrer que P0 admet au moins r−1
racines distinctes. Que dire du nombre
de racines de P00,P(3), etc. ?
2. Si r>n , montrer que P(n) admet au
moins une racine sur R . En déduire
qu’un polynôme réel de degré au plus n
n’admet pas plus de n racines distinctes.
Ex. 30 — Soit f une fonction n fois déri-
vables sur [a;b] ayant n+1 racines sur ce
segment. Montrer qu’il existe un réel c dans
]a;b[tel que f(n)(c) = 0.
Ex. 31 — Soit h la fonction définie sur
[0 ; 1]par
x6=1h(x) = 1
p1−x2−1 p2(1−x)
et h(1) = 0
1. hest-elle continue en 1 ?
2. h est-elle dérivable sur ]0 ; 1[ ? sur
[0 ; 1]?
3. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels
que
∀x∈[0 ; 1]|h(x)|<a(1)
∀x∈[0 ; 1]
h0(x) <b
p1−x
(2)
Ex. 32 — Si x∈R, on pose
f(x) = ex−e−x
ex+e−x
1. Montrer que f admet une bijection ré-
ciproque g définie sur un intervalle I à
préciser.
2. Montrer que ∀x∈R , f0(x) = 1−
(f(x))2 . Montrer que g est dérivable sur
I et déterminer g0 à l’aide du résultat
précédent.
3. Retrouver la valeur de g0 en explicitant
g.
Ex. 33 — Trouver toutes les fonctions f dé-
rivables sur R telles que pour tout x∈R ,
f(2x) = 2f(x).
Ex. 34 — Soit I un segment de R et f:
I−→ R une fonction de classe C1 . On sup-
pose que I est stable par f et qu’il existe un
réel k∈[0 ; 1[tel que
∀x∈I,
f0(x) <k
On considère une suite (un)n∈Ntelle que
u0∈Iet un+1=f(un)
1. Si f n’a pas de point fixe dans I , que
peut-on dire de la convergence de u?
2. On suppose que f a un unique point fixe
α.
a) Montrer que
∀n∈N,|un+1−α|¶k|un−α|
b) En déduire que
∀n∈N,|un+1−α|¶kn|u0−α|
c) Conclure.
3. Application Étudier la convergence de
la suite
u0=1
2et ∀n∈N,un+1=3 2un(1−un)
3

4. On suppose désormais que
∀x∈I,
f0(x) >k
avec k>1 et on suppose toujours que f
possède un unique point fixe α.
a) Démontrer que
∃k∈]1 ; +∞[,|un+1−α|¾k|un−α|
b) En déduire que
∀n∈N,|un+1−α|¾kn|u0−α|
c) Conclure.
Ex. 35 — Soit Pn une fonction polynôme
de degré au plus n . Montrer que l’équation
Pn(x) = ex ne peut pas avoir un nombre de
solutions supérieur ou égal à n+2.
Dérivée d’ordre supérieur
Ex. 36 — Calculer la dérivée n –ième des
fonctions
1. f1(x) = 1/x;
2. f2(x) = 1
(x−1)2(x−2)
(déterminer
tout d’abord 3 réels a , b et c tels que
f2(x) = a
(x−1)2+b x−1+c x−2) ;
3. f3(x) = x2e3x;
4. f4(x) = xn−1ln x.
Ex. 37 — Soit n∈N∗et
fn:]−1 ; +∞[−→ R
x7−→ xn−1ln(1+x)
.
Montrer que fn est n fois dérivable sur
]−1 ; +∞[et que
∀x∈]−1 ; +∞[,f(n)
n(x) = (n−1)!
n
X
k=1
1
(1+x)k.
Ex. 38 — Calculer la dérivée d’ordre n de
ep3xsin(x)
Ex. 39 — Soit n∈N∗ . Déterminer la classe
de la fonction fndéfinie sur Rpar
fn(x) = (1−x2)nsi |x|<1
0sinon
4