Correction des problèmes mécanique 2015-2016

Problème 1 : Balançoire (CCP PC 2013)
1.1.1. Système : enfant.
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Forces :
 poids
P mg
=
, conservative ;
 action de la tige
r r
F F u
= , qui ne travaille pas.
Principe fondamental de la dynamique :
ma P F
= +
.
On a
2
r r
r u v u a u u
θ θ
θ θ θ
= ⇒ = ⇒ = − +
ɺ ɺ ɺɺ
ℓ ℓ ℓ ℓ .
Selon
u
θ
:
sin sin 0
g
m mg θ θ θ θ
= − ⇒ + =
ɺɺ ɺɺ
ℓ
ℓ
.
1.1.2. On applique le théorème de l’énergie cinétique entre le point le plus bas et un
point quelconque de la trajectoire :
(
)
c
W P
∆ =E .
On note
b
v
la vitesse au point le plus bas :
2 2
c b
1 1
2 2
mv mv
∆ = − E avec
v
θ
=
ɺ
ℓ
.
D’autre part,
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
b
cos 1 2 cos 1 sin
W P mg v g g
θ θ θ θθ θ θ
= − ⇒ − = − ⇒ = −
ɺ ɺɺɺ ɺ
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ .
On retrouve donc l’équation
sin 0
g
θ θ
+ =
ɺɺ
ℓ
.
1.1.3. Théorème du moment cinétique en
O
, fixe dans le référentiel d’étude :
( ) ( )
OO O
d
d
L
P F
t
= +M M .
2 2
O
O
d
OM
d
z z
L
L m v m u m u
t
θ θ
= ∧ = ⇒ =
ɺ ɺɺ
ℓ ℓ .

(
)
O
OM sin
z
P P mg u
θ
= ∧ = −M ℓ.
Le support de
F
passe par
O
:
(
)
O
0
F
=
M .
On retrouve également l’équation
sin 0
g
θ θ
+ =
ɺɺ
ℓ
.
1.2. L’enfant constitue un oscillateur harmonique dans le cas de petites oscillations :
sin 0
g
θ θ θ θ
⇒ + =
ɺɺ
≃
ℓ
.
La pulsation propre est alors
0
g
ω=
ℓ
.
La période correspondante est
0 0 0
0
2
2 3,1 s
T T T
g
ω
π
= ⇒ = π ⇒ =
ℓ.
Ce résultat est cohérent avec la courbe présentée plus loin.
Le théorème de l’énergie cinétique nous fournit
( )
2 2
max
1 1
cos 1
2 2
mv mv mg θ
− = −
ℓ.
En appliquant cette relation à l’état initial, on obtient
(
)
1
max 0 max
2 1 cos 2,6 m s
v g vθ
−
= − ⇒ = ℓ .
2.1. En reprenant le théorème de l’énergie cinétique, on a
( )
2 2
max
1 1
cos 1
2 2
mv mv mg θ
− = −
ℓ .
Avec
v
θ
=
ɺ
ℓ
et
(
)
max 0
2 1 cosv g
θ
= −ℓ , on obtient
( )
2
0
2
cos cos
g
θ θ θ
= −
ɺ
ℓ
.
On a donc
( )
( )
0
0
2
cos cos si 0
d
d2
cos cos si 0
g
tg
θ θ θ
θ
θ θ θ
− >
=
− − <
ɺ
ℓ
ɺ
ℓ
.
2.2. Au début du mouvement, le temps que
θ
passe de
0
θ
à
0
correspond au quart de la période du
mouvement. Durant cette phase,
0
θ
<
ɺ
.

On a donc
0
0
0 0
d d
d2 4 2
cos cos cos cos
T
tg g
θ
θ θ
θ θ θ θ
= − ⇒ = −
− −
⌠
⌡
ℓ ℓ
.
0
0
0
2 d
2
cos cos
Tg
θ
θ
θ θ
=−
⌠
⌡
ℓ
.
2.3. Pour
θ
petit, on a
0
2
2 2
0
0
d
cos 1 4
2Tg
θ
θ θ
θ
θ θ
− ⇒ =
−
⌠
⌡
ℓ
≃
.
On effectue le changement de variable
1
1
0
2
0
0
d
4 4 arcsin
1
X
X T X
g g
X
θ
θ
= ⇒ = =
−
⌠
⌡
ℓ ℓ
.
On retrouve 2T
g
= π
ℓ
.
2.4. La valeur de
T
obtenue pour les petites oscillations est cohérente avec celle obtenue
précédemment.
La période augmente lorsque l’amplitude des oscillations augmente. Elle diverge quand
0
θ
→ π
, qui
correspond à une position d’équilibre (instable).
3.1.
d
d
C
t
θ
est un moment :
2 2
d
ML T
d
C
t
θ
−
  =
avec
1 2 1
d
T ML T
d
C
t
θ
− −
  = ⇒ =
.
3.2. Forces :
Forces :
 poids
P
, de moment
(
)
O
OM sin
z
P P mg u
θ
= ∧ = −M ℓ ;
 action de la tige
F
, de moment nul ;
 frottements, de moment
d
d
z
C u
t
θ
− .
Théorème du moment cinétique projeté selon
z
u
:
2
sin
m mg C
θ θ θ
= − −
ɺɺ ɺ
ℓ ℓ
.
On obtient donc 2
sin 0
C g
m
θ θ θ
+ + =
ɺɺ ɺ
ℓ
ℓ
.

3.3. Pour de petites oscillations, on a
2
0
C g
m
θ θ θ
+ + =
ɺɺ ɺ
ℓ
ℓ
.
Équation caractéristique :
2
2
0
C g
m
λ λ
+ + =
ℓ
ℓ
.
Discriminant :
2
2 4
4
C g
m
∆ = −
ℓ
ℓ
.
Le mouvement est pseudopériodique si
3
0 2
C m g
∆ < ⇒ <
ℓ
.
On a dans ce cas
2
j
2
2
C
m
λ
−∆
= − ±
ℓ
.
On pose
2
2
m
C
τ=
ℓ
et
( ) ( )
/
1 1 m 1
1j e cos
2
t
t t
τ
ω λ ω θ θ ω ϕ
τ
−
−∆
= ⇒ = − ± ⇒ = + .
L’amplitude du mouvement est réduite de moitié après
20
oscillations :
1
2
20 /
0
1 ln 2
e2 10
T
m
C
T
τ−
= ⇒ =
ℓ
.
3 2 1
0
ln 2
2 2,8 kg m s
20
T C m g C
g
−
= π ⇒ = ⇒ =
π
ℓℓ
Problème 2 : Impact d'un bolide (Centrale PSI 2012)
I. C OLLISION ENTRE UN BOLIDE ET LA T ERRE
I.A Vitesse orbitale de la Terre
I.A.l Un référentiel est galiléen si le mouvement de tout point matériel isolé y est
rectiligne et uniforme (d’après le principe d’inertie, ou première loi de Newton).
Il s’agit d’une définition difficile à vérifier concrètement. En effet, tous les référentiels
auxquels nous sommes confrontés au quotidien ne sont pas rigoureusement galiléens.
Ainsi la Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil, et le système solaire lui-même

tourne autour du centre de notre galaxie, donc les référentiels terrestre, géocentrique
ou de Kepler ne sont pas galiléens dans l’absolu. Cependant, on peut tout de même les
qualifier de galiléens avec une bonne approximation en fonction de la durée du
phénomène observé : si le principe d’inertie est vérifié dans un référentiel donné
durant l’observation, alors il peut être assimilé à un référentiel galiléen.
I.A.2 L’hypothèse de symétrie sphérique permet d’assimiler la Terre et le Soleil à des
masses ponctuelles. Leurs champs gravitationnels ont donc les mêmes expressions que
ceux créés par des points portant chacun la masse totale de l’astre, situés en leur
centre. Si la masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil, on peut le
supposer immobile dans le référentiel de Kepler, confondu avec le référentiel
barycentrique.
I.A.3 On se place en coordonnées polaires dans la base associée au référentiel de
Kepler (0,
r
e
,
e
θ
). On note
0
r
SO R e
= , la position de la Terre dans ce référentiel. La
vitesse se déduit en dérivant ce vecteur par rapport au temps
0 0 0
( ) r
T r r
dedSO d
v R e R R e
dt dt dt
θ
= = = =
ɺ
En dérivant à nouveau, on obtient l’accélération
2
0 0 0 0r
de d
a R R e R e R e
dt dt
θ
θ θ
θ
θ θ θ
= + = − +
ɺ
ɺ ɺ ɺɺ
Or la Terre est soumise uniquement à l’attraction gravitationnelle du Soleil, donc en
se plaçant dans le référentiel de Kepler considéré comme galiléen et en appliquant le
principe fondamental de la dynamique à la planète de masse constante M
T
, on a
2
0
T S
T r
GM M
M a e
R
= −