Mines Maths 2 PC 2011 — Corrigé

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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/17
Mines Maths 2 PC 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Louet (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume
Dujardin (chercheur à l’INRIA) et Gilbert Monna (professeur en CPGE).
L’épreuve se compose de trois parties.
•Dans la première, les thèmes abordés sont la réduction d’endomorphismes,
l’algèbre bilinéaire et les équations différentielles linéaires. On y étudie la dia-
gonalisation d’une matrice de la forme A−1B,Aet Bétant symétriques définies
positives. Le raisonnement, bien que relativement classique, est assez fin et né-
cessite d’avoir bien assimilé le cours sur les formes bilinéaires ; les étapes sont
bien détaillées par l’énoncé. On applique ensuite cette réduction à la résolution
du système différentiel Ax′′ =−Kx.
•La deuxième partie, totalement indépendante de la première, est consacrée à
l’analyse et au calcul intégral. Il s’agit de montrer que toute fonction hde
classe C1et 2π-périodique peut être approchée uniformément par une fonction
définie par une intégrale. Il faut notamment savoir bien manipuler les expres-
sions proposées (ici via un changement de variable exploitant la périodicité,
l’inégalité triangulaire, la relation de Chasles et l’inégalité des accroissements
finis) pour établir l’inégalité de la question 10, la plus technique de cette partie.
•L’objectif de la troisième partie est de montrer, à partir des résultats de la
précédente, le théorème suivant, dit ergodique, dans lequel θest une fonction
donnée R→R2:
Si f:R2→Cest de classe C1et 2π- périodique par rapport à
ses deux variables, alors
lim
T→+∞
1
TZT
0
f◦θ(t) dt= (2π)−2Z2π
0Z2π 0
f(θ1, θ2) dθ1dθ2
On montre d’abord ce résultat lorsque fest un polynôme trigonométrique ;
ce n’est pas difficile intuitivement, mais la rédaction soigneuse est un peu lourde.
On procède ensuite par approximation en utilisant les fonctions construites
dans la deuxième partie. La démonstration s’effectue « à la main » en utilisant
la définition de la limite, et il faut là encore être attentif (et astucieux) pour
effectuer les majorations nécessaires.
La dernière question propose d’étudier le comportement global d’une solution
du système différentiel étudié à la fin de la première partie, dans le cas de la
dimension 2. On démontre par l’absurde et en utilisant le théorème ergodique
que, pour une certaine base (e1, e2)de R2, la solution rencontre tout ouvert
non vide inclus dans l’ensemble {ue1+ve2|u, v ∈]−1 ; 1 [}.
C’est donc un très beau problème, qui aborde des aspects variés du programme
(algèbre bilinéaire, équations différentielles et calcul intégral). Les raisonnements sont
bien détaillés par l’énoncé, mais plusieurs questions sont assez techniques et il faut
être bien entraîné au calcul intégral et à l’analyse à une variable pour espérer les
résoudre entièrement.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/17
Indications
1 Montrer que le noyau de l’application x7→ Axest réduit à {0}.
2 Poser z= A−1yet exploiter la symétrie de A.
3 Montrer que les deux membres de l’égalité cherchée valent hKx;yi.
4 Utiliser la question 3 pour montrer que A−1Kest symétrique pour le produit
scalaire ( ; )A, déduire qu’elle est diagonalisable et calculer (E(ei); ei)Ade deux
façons pour trouver le signe de ses valeurs propres.
5 Si xest une solution de (1), écrire x(t) =
n
P
i=1
xi(t)eiet résoudre l’équation diffé-
rentielle scalaire vérifiée par chaque xi.
6 Développer le produit scalaire hAx(t), y(t)ià l’aide des coordonnées de x(t),y(t)
dans la base canonique de Rnet des coefficients de la matrice A, puis dériver.
7 Montrer que la dérivée de cette fonction est nulle en se servant de la question
précédente et de la symétrie des matrices Aet K.
8 Pour calculer l’intégrale, poser x= cos t. Pour l’inégalité, remarquer que
Zπ
01 + cos t
2k
sin tdt6Zπ
01 + cos t
2k
dt
et Z2π
01 + cos t
2k
dt= 2 Zπ
01 + cos t
2k
dt
9 Montrer que, pour tout t∈[ε; 2π−ε]
1 + cos t
2k
6γk
où γ∈[ 0 ; 1 [ (et ne dépend pas de t).
10 Remarquer que comme l’intégrale de Rkvaut 1, la différence cherchée vaut
Z2π
0
Rk(t1) (h(u−t1)−h(u)) dt1
et majorer l’intégrale de cette fonction sur les intervalles [ 0 ; ε],[ 2π−ε; 2π]
(en utilisant l’inégalité des accroissements finis) et [ε; 2π−ε](via la question 8).
11 Prendre ci=pa2
i+b2 i.
12 Utiliser la périodicité de fpar rapport à ses deux variables pour se ramener au
compact [ 0 ; 2π]2, sur lequel fest continue.
13 Dans le cas où (j, l)6= (0,0), montrer que les deux membres de (4)sont nuls en
écrivant f◦θsous la forme f◦θ(t) = eiψ eiωt puis en calculant directement son
intégrale sur [ 0 ; T ].
14 Remarquer que (1+cos(x−θ))/2kpeut s’écrire comme une combinaison linéaire
des quantités (epxeqθ )p,q6|k|,
15 Introduire la fonction
gk(u, v) = Z2π
0
Rk(u−θ1)f(θ1, v) dθ1
et majorer séparément f−gket gk−fk.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/17
16 Écrire la différence à majorer comme somme des trois termes
1
TZT
0
(f◦θ−fk◦θ) + 1
TZT
0
fk◦θ−(2π)−2Z2π
0Z2π 0
fk!+ (2π)−2Z2π
0Z2π 0
(fk−f)
Se donner alors ε > 0fixé et utiliser la question 15 pour majorer le premier et le
troisième terme par Mε; puis prendre Tassez grand pour que le deuxième terme
soit majoré par ε.
17 Exploiter l’indication de l’énoncé en notant que Ωcontient un ensemble de la forme
U = {ue1+ve2|(u, v)∈] cos b; cos a[×] cos d; cos c[}
et remarquer que si (cos θ1,cos θ2)/∈Ualors φa,b(θ1)ou φc,d(θ2)est nul (donc leur
produit est nul).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/17
I. Oscillations d’un certain système
linéaire
1Soit y∈Rnappartenant au noyau de A. Ainsi Ay= 0 donc hAy;yi= 0.
Or, par hypothèse sur A,hAx;xi>0pour tout vecteur xnon nul ; on en déduit
que yest nul. Le noyau de x7→ Axest donc réduit à {0}; cette application est
injective. Comme il s’agit d’un endomorphisme de Rn, elle est bijective, et c’est l’en-
domorphisme de Rncanoniquement associée à la matrice A. Ainsi,
Aest inversible.
2Soient x,y∈Rn. D’après la question 1, Aest inversible, notons z= A−1y; alors
hA−1x;yi=hA−1x; Azi
=hA(A−1x); zicar Aest symétrique
soit ∀x, y ∈RnhA−1x;yi=hx; A−1yi
L’endomorphisme x7→ A−1xest donc symétrique pour le produit scalaire usuel, donc
sa matrice dans toute base orthonormale pour ce produit scalaire est symétrique ;
c’est le cas pour la base canonique de Rn, et la matrice correspondante est alors A−1.
On conclut :
La matrice A−1est symétrique.
3Montrons que l’application ( ; )A, qui est à valeurs réelles, est un produit scalaire :
•elle est linéaire à gauche : si x,y,z∈Rnet λ, µ ∈Ron a
hA(λx +µy); zi=hλAx+µAy;zi=λhAx;zi+µhAy;zi
•elle est symétrique : si x,y∈Rn, on a par symétrie de la matrice A
(x;y)A=hAx;yi=hAy;xi= (y;x)A
Étant symétrique et, d’après le point précédent, linéaire à gauche, ( ; )Aest une
forme bilinéaire symétrique ;
•elle est définie positive : si x∈Rnest non nul, (x;x)A=hAx;xi>0par
hypothèse sur A, et si xest nul, ce terme est nul ; ainsi, (x;x)A>0, avec
égalité si et seulement si x= 0.
On conclut que ( ; )Aest un produit scalaire sur Rn.
On note E = A−1K, de sorte que pour x,y∈Rn
(E(x); y)A=hAE(x); yi=hA(A−1Kx); yi=hKx;yi
et (x; E(y))A=hAx; A−1Kyi
=hx; AA−1Kyipar symétrie de A
=hx; Kyi
(x; E(y))A=hKx;yipar symétrie de K
Ainsi ∀x, y ∈Rn(E(x); y)A= (x; E(y))A
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