TD2 - Racines d`un polynôme

TD2 – RACINES D’UNE FONCTION POLYNÔME
Définition
Soit f une fonction polynôme .
On dit qu’un réel α est une racine de f ou de f ( x ) lorsque
f (α ) =0
Exercice 1
f ( x ) = 3 x2 − 8 x + 4
Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par
pour tout réel x .
1.
3.
a/
Vérifier que 2 est racine du polynôme f ( x ) .
b/
Montrer que , pour tout réel x et tout réel a ,
f ( x ) – f ( a ) se factorise par x – a .
c/
En déduire que
f ( x ) se factorise par x – 2 .
Résoudre l’équation f ( x) = 0 .
Combien de racines trouve–t–on pour le polynôme f ( x ) ?
Exercice 2
Donner un exemple d’une fonction polynôme de degré 2 qui n’admet pas de racines dans ℝ
Exercice 3
Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ
f ( x ) = x 2 − 10 x + 16 .
Dans un plan muni d’un repère
(O ;
par
i
, j
)
,
la fonction f est représentée graphiquement
par une courbe C .
1. A l’aide du graphique , donner approximativement
deux racines de f .
2. a/ Développer ( x − 5 )2
b/ Montrer que f ( x ) s’écrit comme un produit de deux polynômes de degré 1 .
c/ En déduire les racines de f .
.
Exercice 4
Trouver un exemple d’une fonction polynôme qui admet
comme racines .
1 , – 1 et 3
Exercice 5
1.
Pour tous réels x et y , on a les identités remarquables suivantes
x2 − y2 = ( x − y ) ( x + y )
(x
= (x − y) ( x
x3 − y3 = ( x − y )
x4 − y 4
a/
b/
2
+ x y + y2
3
)
+ x2 y + x y2 + y
3
)
Vérifier que la troisième égalité est bien correcte .
Quelle égalité devrait–on écrire avec
x5 − y5 ?
2. On considère la fonction polynôme f de degré 4 définie sur ℝ
f ( x ) = x4 + x 3 − 5 x + 3
par
a/ Vérifier que 1 est racine de f ( x ) .
b/ Montrer que , pour tous réels x et a , f ( x ) – f ( a ) se factorise par x – a .
b/ En déduire que f ( x ) se factorise par x – 1 .
On précisera le polynôme q ( x ) de degré 3 qui permet d’écrire
f ( x ) = ( x – 1 ) q ( x ) pour tout réel x .
Remarques
•
La situation rencontrée dans la question 2 de l’exercice 5 se généralise de la manière
suivante :
Si α est une racine d’un polynôme f ( x ) de degré n alors on peut factoriser
f ( x ) par x − α sous la forme
f ( x ) = ( x − α ) q( x ) avec un polynôme q ( x )
de degré n – 1 .
•
On pourra aussi admettre et utiliser le résultat général suivant :
Un polynôme de degré n
ne peut pas avoir plus de n racines .