TD2 - Racines d`un polynôme

TD2 – RACINES D’UNE FONCTION POLYNÔME
Définition
Soit f une fonction polynôme .
On dit qu’un réel
α
est une racine de f ou de f ( x ) lorsque
f ( ) = 0
α
Exercice 1
Soit f la fonction polynôme définie sur
ℝ
par
2
f ( x ) = 3 x 8 x + 4
−
pour tout réel x .
1. a/ Vérifier que 2 est racine du polynôme f ( x ) .
b/ Montrer que , pour tout réel x et tout réel a ,
f ( x ) – f ( a ) se factorise par x – a .
c/ En déduire que f ( x ) se factorise par x – 2 .
3. Résoudre l’équation f ( x) = 0 .
Combien de racines trouve–t–on pour le polynôme f ( x ) ?
Exercice 2
Donner un exemple d’une fonction polynôme de degré 2 qui n’admet pas de racines dans
ℝ
.
Exercice 3
Soit f la fonction polynôme définie sur
ℝ
par
2
f ( x ) = x 10 x + 16
− .
Dans un plan muni d’un repère
(
)
O ; i , j
,
la fonction f est représentée graphiquement
par une courbe C .
1. A l’aide du graphique , donner approximativement
deux racines de f .
2. a/ Développer
2
( x 5 )
−
b/ Montrer que f ( x ) s’écrit comme un produit de deux polynômes de degré 1 .
c/ En déduire les racines de f .

Exercice 4
Trouver un exemple d’une fonction polynôme qui admet 1 , – 1 et 3
comme racines .
Exercice 5
1. Pour tous réels x et y , on a les identités remarquables suivantes
( )
( )
2 2
3 3 2 2
4 4 3 2 2 3
x y = ( x y ) ( x + y )
x y = ( x y ) x + x y + y
x y = ( x y ) x + x y + x y +
y
− −
− −
− −
a/ Vérifier que la troisième égalité est bien correcte .
b/ Quelle égalité devrait–on écrire avec
5 5
x y
− ?
2. On considère la fonction polynôme f de degré 4 définie sur
ℝ
par
4 3
f ( x ) = x + x 5 x + 3
−
a/ Vérifier que 1 est racine de f ( x ) .
b/ Montrer que , pour tous réels x et a , f ( x ) – f ( a ) se factorise par x – a .
b/ En déduire que f ( x ) se factorise par x – 1 .
On précisera le polynôme q ( x ) de degré 3 qui permet d’écrire
f ( x ) = ( x – 1 ) q ( x ) pour tout réel x .
Remarques
• La situation rencontrée dans la question 2 de l’exercice 5 se généralise de la manière
suivante :
Si
α
est une racine d’un polynôme f ( x ) de degré n alors on peut factoriser
f ( x ) par
x
α
−
sous la forme
f ( x ) = ( x ) q( x )
α
−
avec un polynôme q ( x )
de degré n – 1 .
• On pourra aussi admettre et utiliser le résultat général suivant :
Un polynôme de degré n ne peut pas avoir plus de n racines .