1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers Les fonctions circulaires Les fonctions circulaires Définition 1 1 Le périmètre du cercle trigonométrique est par convention égal à 2π rad. π Un angle plat mesure π rad, et un angle droit rad. 2 Un point M situé sur le cercle trigonométrique définit un arc orienté I M et un angle orienté noté → − −−→ i , OM . Le cercle trigonométrique y → − → − Dans un repère (O, i , j ) , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens direct. J(0; 1) → − j O On peut donc associer à chaque pointM du cercle trigonométrique un réel t de l’intervalle −π , π . sens direct → − i I(1; 0) x On constate également qu’on peut associer au point M tous les réels de la forme t + 2kπ, où k ∈ Z. Le nombre 2kπ représente k tours complets : O ×t 1 I Angle orienté et radian → − j 1 rad O −π/3 −π/2 0 -1 -2 −π -3 2. Si un point M du cercle trigonométrique est l’image d’un réel x, alors il est également l’image de tous les réels x + 2kπ où k ∈ Z. La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle qui appartient à l’intervalle −π , π . 1 Sur un cercle trigonométrique, l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1, mesure 1 radian (1 rad). I 1. Si x et x0 désignent deux nombres réels tels que x0 = x + 2kπ où k ∈ Z, alors ces deux réels sont associés au même point sur le cercle trigonométrique. 0 Définition 4 J → − i O 60 → − i 1 ◦ Sur un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle orienté est égal à la mesure de l’arc intercepté par cet angle, en tenant compte du sens de rotation (mesure positive pour un sens direct, et négative pour un sens indirect). Propriété 1 × → − M j M → − j 2 `= Définition 2 (T ) J I0 Définition 3 ent de la d oulem roit enr e On enroule cette droite autour du cercle, ce qui permet de faire correspondre à chaque point de la droite d’abscisse t, un point M du cercle. On dit que le point M est l’image du réel t sur le cercle C. 1.b - dans le sens indirect avec k < 0. Enroulement de la droite numérique → − → − Dans un repère orthonormé (O, i , j ), C représente le cercle trigonométrique. La tangente (T ) à ce cercle au point I est orientée et graduée : elle représente ainsi l’ensemble des nombres réels t. π/2 π/3 3 - dans le sens direct avec k > 0 ; Convention : le sens direct est par convention le sens positif : il correspond au sens de rotation inverse des aiguilles d’une montre. Le sens indirect est par opposition le sens négatif. 1.a (T ) π 1.c → − i Conversion degré-radian Pour convertir un angle en degré ou en radian, il suffit d’utiliser des relations de proportionnalités. Elle permettent d’aboutir aux relations suivantes : 1/3 1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers α[rad] 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π α[◦ ] 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Pour tout réel t : 2.c 2 −1 ≤ sin(t) ≤ 1 sin √ Cosinus et sinus d’un angle orienté 3π 4 → − −−→ Soit M un point du cercle trigonométrique associé au réel t : i , OM = t rad - le sinus du réel t est l’ordonnée du point M. 2π 3 5π 6 M cos(t) , sin(t) - le cosinus du réel t est l’abscisse du point M ; 4 √2 3 √2 2 2 √ 1 2 −−→ → − → − OM = cos(t) i + sin(t) j 0 2 Propriétés du cosinus et du sinus cos( π2 + t) = −sin(t) sin( π2 + t) = cos(t) π −t 2 2.d Théorème 1 t sin(t) 4π 3 cos(π + t) = −cos(t) sin(π + t) = −sin(t) √ 1 2 √ √ 2 2 3 2 1 √ √ √ 2 2 3 4 2 2 cos(−t) = cos(t) sin(−t) = −sin(t) Les solutions dans R de l’équation cos(t) = cos(a) sont : ( t = a + 2kπ où k ∈ Z t = −a + 2kπ cos(a) 2/3 − π 3 π 4 cos π 6 Résolution d’équation du type cos(t) = cos(a) et sin(t) = sin(a) a −a −t π 6 1 2 − cos(t) π+t π 4 − 5π 4 cos(π − t) = −cos(t) sin(π − t) = sin(t) π−t π 3 7π 6 cos( π2 − t) = sin(t) sin( π2 − t) = cos(t) π +t 2 1 √ 3 √2 2 2 1 2 √ 2.b cos2 (t) + sin2 (t) = 1 Valeurs remarquables du cosinus et du sinus Les lignes trigonométriques 2.a Définition 5 −1 ≤ cos(t) ≤ 1 π[rad] × α[◦ ] 180[◦ ] α[rad] = 180[◦ ] × α[rad] π[rad] α[◦ ] = Propriété 2 Les fonctions circulaires Les solutions dans R de l’équation sin(t) = sin(a) sont : ( t = a + 2kπ où k ∈ Z t = π − a + 2kπ π−a sin(a) a 1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers Les fonctions circulaires 3 Fonctions circulaires 3.a Dérivées des fonctions circulaires dérivée f (x) = −sin(x) f 0 (x) = cos(x) 0 définie et dérivable sur R R période 2π 2π Théorème 2 3.c1 La fonction cosinus : f (x) = cos(x) Le tableau de variations est le suivant : x f (x) = −sin(x) fonction dérivée définie et dérivable sur période f (t) = cos(ωt + ϕ) f 0 (t) = −ω sin(ωt + ϕ) R 2π ω f (t) = sin(ωt + ϕ) f 0 (t) = ω cos(ωt + ϕ) R 2π ω 3.c2 −1 Cette fonction est 2π périodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de longueur 2π. De plus, cette fonction est impaire, on peut donc restreindre son étude sur un intervalle de longueur π, soit l’intervalle 0, π . Le tableau de variations est le suivant : x f 0 (x) = cos(x) 0 + 3.c3 π/2 0 π − 1 f : x 7−→ sin(x) - Les fonctions t 7−→ cos(t) et t 7−→ sin(t) sont périodiques de période 2π. Les → − courbes représentatives sont inchangées par la translation de vecteur 2π i : et 0 La fonction sinus : f (x) = sin(x) Propriétés des fonctions circulaires ∀t ∈ R , cos(t + 2π) = cos(t) 1 f : x 7−→ cos(x) π 0 π/2 − 0 0 0 En physique, on utilise souvent les fonctions temporelles cos(ωt + ϕ) et sin(ωt + ϕ). ω 2π s’appelle la pulsation et ϕ la phase : ces fonctions sont périodiques de période T = . ω 3.b Variations des fonctions circulaires Cette fonction est 2π périodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de longueur 2π. De plus, cette fonction est paire, on peut donc restreindre son étude sur un intervalle de longueur π, soit l’intervalle 0 , π . Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant : fonction f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) 3.c 0 0 Représentation graphiques des fonctions circulaires cos sin sin(t + 2π) = sin(t) - La fonction t 7−→ cos(t) est paire, la courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : 1 ∀t ∈ R , cos(−t) = cos(t) - La fonction t 7−→ sin(t) est impaire, la courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère : −2π ∀t ∈ R , sin(−t) = −sin(t) 3/3 − 3π 2 −π − π 2 −1 π 2 π 3π 2 2π