Les fonctions circulaires

Les fonctions circulaires 1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Les fonctions circulaires
1Le cercle trigonométrique
Définition 1
Dans un repère (O,−→ i,−→ j) , le cercle
trigonométrique est le cercle de centre O,
de rayon 1 et orienté dans le sens direct. x
y
sens direct
−→
iI(1; 0)
−→
j
J(0; 1)
O
Convention : le sens direct est par convention le sens positif : il correspond au sens de rota-
tion inverse des aiguilles d’une montre. Le sens indirect est par opposition le sens négatif.
1.a Enroulement de la droite numérique
Dans un repère orthonormé (O,−→ i,−→ j), Crepré-
sente le cercle trigonométrique. La tangente (T) à ce
cercle au point Iest orientée et graduée : elle repré-
sente ainsi l’ensemble des nombres réels t.
On enroule cette droite autour du cercle, ce qui per-
met de faire correspondre à chaque point de la droite
d’abscisse t, un point Mdu cercle. On dit que le point
Mest l’image du réel tsur le cercle C.
−→
i
−→
j
I
J
O
I0
J0
×t
×
M1
(T)
e
n
r
o
u
l
e
m
e
n
t
d
e
l
a
d
r
o
i
t
e
1.b Angle orienté et radian
Définition 2
Sur un cercle trigonométrique,
l’angle au centre qui intercepte un arc
de longueur 1, mesure 1 radian (1 rad).
1 rad
`=1
−→
i
−→
j
O
Le périmètre du cercle trigonométrique est par
convention égal à 2πrad.
Un angle plat mesure πrad, et un angle droit π
2rad.
Un point Msitué sur le cercle trigonométrique
définit un arc orienté IM et un angle orienté noté
−→
i,−−→ OM.
On peut donc associer à chaque point Mdu cercle
trigonométrique un réel tde l’intervalle −π, π.
On constate également qu’on peut associer au point
Mtous les réels de la forme t+2kπ, où k∈Z. Le
nombre 2kπreprésente ktours complets :
- dans le sens direct avec k>0 ;
- dans le sens indirect avec k<0.
60◦
I
M
−→
i
−→
j
O
-3
-2
-1
0
1
2
3
(T)
π/3
−π/3
π/2
−π/2
π
−π
Définition 3
Sur un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle orienté est égal à la mesure de
l’arc intercepté par cet angle, en tenant compte du sens de rotation (mesure positive
pour un sens direct, et négative pour un sens indirect).
Propriété 1
1. Si xet x0désignent deux nombres réels tels que x0=x+2kπoù k∈Z, alors
ces deux réels sont associés au même point sur le cercle trigonométrique.
2. Si un point Mdu cercle trigonométrique est l’image d’un réel x, alors il est
également l’image de tous les réels x+2kπoù k∈Z.
Définition 4
La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle qui appar-
tient à l’intervalle −π, π.
1.c Conversion degré-radian
Pour convertir un angle en degré ou en radian, il suffit d’utiliser des relations de proportion-
nalités. Elle permettent d’aboutir aux relations suivantes :
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α[◦]=180[◦]
π[rad] ×α[rad] α[rad] =π[rad] 180[◦]×α[◦]
α[rad] 0 π/6π/4π/3π/2 2π/3 3π/4 5π/6π
α[◦] 0 30 45 60 90 120 135 150 180
2Les lignes trigonométriques
2.a Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition 5
Soit Mun point du cercle trigonométrique associé au réel t:−→ i,−−→ OM=trad
- le cosinus du réel test l’abscisse du point M;
- le sinus du réel test l’ordonnée du point M.
Mcos(t),sin(t)
−−→
OM =cos(t)−→ i+sin(t)−→ j
2.b Propriétés du cosinus et du sinus
π+t
cos(π+t)=−cos(t)
sin(π+t)=−sin(t)
t
π−t
cos(π−t)=−cos(t)
sin(π−t)=sin(t)
−t
cos(−t)=cos(t)
sin(−t)=−sin(t)
π
2+t
cos(π
2+t)=−sin(t)
sin(π
2+t)=cos(t)
π
2−t
cos(π
2−t)=sin(t)
sin(π
2−t)=cos(t)
sin(t)
cos(t)
Propriété 2
Pour tout réel t:
−1≤cos(t)≤1 −1≤sin(t)≤1 cos2(t)+sin2(t)=1
2.c Valeurs remarquables du cosinus et du sinus
cos
sin
√0
2
−π
3
−π
4
−π
6
π
6
π
4
π
3
2π
3
3π
4
5π
6
7π
6
5π
44π
3
√1
2
√1
2
√2
2
√2
2
√3
2
√3
2
√4
2
√4
2
1
2
√2
2
√3
21
1
2
√2
2
√3
2
1
2.d Résolution d’équation du type cos(t)=cos(a)et sin(t)=sin(a)
Théorème 1
Les solutions dans Rde l’équation
cos(t)=cos(a) sont :
(t=a+2kπ
t=−a+2kπoù k∈Z
Les solutions dans Rde l’équation
sin(t)=sin(a) sont :
(t=a+2kπ
t=π−a+2kπoù k∈Z
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cos(a)
a
−a
sin(a)
a
π−a

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3Fonctions circulaires
3.a Dérivées des fonctions circulaires
Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :
fonction dérivée définie et dérivable sur période
f(x)=cos(x)f0(x)=−sin(x)R2π
f(x)=sin(x)f0(x)=cos(x)R2π
En physique, on utilise souvent les fonctions temporelles cos(ωt+ϕ) et sin(ωt+ϕ). ω
s’appelle la pulsation et ϕla phase : ces fonctions sont périodiques de période T=2π
ω.
fonction dérivée définie et dérivable sur période
f(t)=cos(ωt+ϕ)f0(t)=−ωsin(ωt+ϕ)R2π
ω
f(t)=sin(ωt+ϕ)f0(t)=ωcos(ωt+ϕ)R2π
ω
3.b Propriétés des fonctions circulaires
Théorème 2
- Les fonctions t7−→ cos(t) et t7−→ sin(t) sont périodiques de période 2π. Les
courbes représentatives sont inchangées par la translation de vecteur 2π−→ i:
∀t∈R,cos(t+2π)=cos(t) et sin(t+2π)=sin(t)
- La fonction t7−→ cos(t) est paire, la courbe représentative est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées :
∀t∈R,cos(−t)=cos(t)
- La fonction t7−→ sin(t) est impaire, la courbe représentative est symétrique par
rapport à l’origine du repère :
∀t∈R,sin(−t)=−sin(t)
3.c Variations des fonctions circulaires
3.c1La fonction cosinus : f(x)=cos(x)
Cette fonction est 2πpériodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de lon-
gueur 2π. De plus, cette fonction est paire, on peut donc restreindre son étude sur un intervalle
de longueur π, soit l’intervalle 0, π.
Le tableau de variations est le suivant :
x
f0(x)=−sin(x)
f:x7−→ cos(x)
0π/2π
0−0
11
−1−1
0
3.c2La fonction sinus : f(x)=sin(x)
Cette fonction est 2πpériodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de
longueur 2π. De plus, cette fonction est impaire, on peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur π, soit l’intervalle 0, π.
Le tableau de variations est le suivant :
x
f0(x)=cos(x)
f:x7−→ sin(x)
0π/2π
+0−
00
11
00
3.c3Représentation graphiques des fonctions circulaires
−2π−3π
2−π−π
2
π
2
π3π
2
2π
−1
1
cos
sin
3/3