Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Cédrick Tombola, J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
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Topologie pour Économistes (2P –1). Cédrick Tombola, J–Paul K., Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Mars 2013
Vol. 5 – Num. 016
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Espaces Topologiques
(Présentation des Notions Préliminaires)
Série Topologie pour Économistes (2P –1)
Cédrick Tombola Muke, Jean–Paul K. Tsasa Vangu & Moïse Mbikayi Tshimueneka
« Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils
ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée. »
John von Neumann
Résumé
Ce papier s’intéresse aux différentes approches axiomatiques de construction d’une topologie,
fournit quelques preuves intuitives et utiles à cet effet, et définit spécifiquement les notions
d’intérieur, d’adhérence et de frontière d’une partie.
Mots – clé : topologie, intérieur, adhérence, frontière d’une partie.
Abstract
In this paper, we present the main approaches to building a topology and we define the basic
concepts that will serve as inputs in subsequent analysis.
Introduction
Le paradigme économique dominant, à ce jour, impose la rigueur mathématique sur tout le plan. Ainsi,
une maîtrise de l’usage de matériaux constituant son édifice actuel, exige une formation asymptotique à
celle des sciences pures. Face à cette configuration nouvelle de la science économique moderne,
plusieurs comportements sont affichés : (i) soit rejeter la pertinence de la rigueur mathématique, pour
embrasser la voie de la philosophie théorique ; (ii) soit sélectionner les composantes les moins dures et
mettre de côté celles les plus abstraites ; (iii) soit encore naviguer dans l’aléa ; (iv) ou enfin, apprendre
l’art de comprendre l’usage de ces différents matériaux constituant l’édifice de l’économique moderne
afin de participer et d’œuvrer à sa dynamique architecturale. Ainsi, le Laboratoire, ayant adopté la
quatrième option, se propose de construire une plateforme (comprenant quatre séries regroupées des
publications) qui rendrait l’apprentissage d’un tel art plus aisé.
L’objectif ultime poursuivi dans la mise en place de cette plateforme n’est pas de naviguer
"stationnairement" dans l’abstraction mais de fournir un arsenal d’outils facilitant la convergence vers la
frontière des connaissances et en particulier, permettant une lecture de la plupart des articles de grandes
revues en économie mais aussi, des ouvrages de recherche avancée, tels que Ichiishi (1983), Stokey –
Lucas – Prescott (1989), Ljungqvist – Sargent (2004) ou encore Acemoglu (2009).
A titre exemplatif, remarquez que la notion d’espaces revient dans plusieurs endroits comme inputs
essentiels de l’analyse dans l’ouvrage de Stokey – Lucas – Prescott (1989, pages : 43, 44, 45, 47, 169,
171, 176, 196, 339, 447, 449). C’est le même cas, si l’on considérait plusieurs autres ouvrages
classiques ou nombre d’articles sémantiques de l’économie moderne. Il est donc important de bien
comprendre ce que sont les espaces afin de bien saisir leur pertinence en analyse économique. Dans une
publication antérieure, nous avons introduit la notion de structure d’espaces vectoriels (Tombola – Tsasa,

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2013). Dans ce présent papier, nous poursuivons la suite de nos publications dans la série topologie pour
économistes et abordons l’analyse des espaces topologiques.
Plutôt que de présenter dans un papier unique les différents concepts retenus dans le numéro « Espaces
topologiques », nous avons préféré le scinder en plusieurs publications afin de traiter de façon
relativement très soignée chaque aspect considéré. Ainsi, nous procédons en sous – numéro : dans (2P –
1), nous dérivons les notions fondamentales dans la construction et la manipulation d’espaces
topologiques. Dans (2P –2) et (2P –3), nous présentons respectivement quelques applications continues
et constructions topologiques. Dans (2P –4), notre attention portera sur les espaces topologiques
séparés. Dans (2P –5), nous abordons la notion de limites et de valeur d’adhérence. Dans (2P –6) et (2P
–7), nous présentons respectivement les suites et les familles filtrantes croissance dans les espaces
topologiques. Et enfin, dans (2P –8), nous nous intéressons brièvement aux espaces réguliers et
normaux.
A l’effet de procéder à la présentation des espaces topologiques et de ses principales notions satellites
(2P – 1), nous organisons la discussion comme suit. Dans une première section, nous présentons les
différentes approches (axiomes) de construction d’un espace topologique. Dans la deuxième section,
nous définissons les notions d’intérieur, d’adhérence et de frontière d’une partie. Et enfin, dans la
troisième section, nous abordons la notion d’espaces séparables, en évoquant brièvement la notion de
densité d’un ensemble et les premier et second axiomes de dénombrabilité.
Construction d’une Topologie
Avant de procéder à la construction de la topologie, disons un mot sur la topologie en tant que branche
de mathématiques. Le mot topologie (topos et logos = lieu et étude), littéralement étude du lieu
(analysis situs) est une branche de mathématiques qui étude les espaces et leurs propriétés (science de
l’espace). Un espace est un ensemble muni de structures remarquables dont les éléments sont
généralement les points, les vecteurs ou les fonctions. Ainsi, par exemple, on distingue : (i) un espace
vectoriel, ensemble dont les éléments (vecteurs) peuvent être additionnés entre eux et être multipliés
par des scalaires ; (ii) un espace topologique
1
, ensemble muni d’une structure très générale, appelée
topologie, permettant de définir la notion de voisinage et par la suite, d’extraire plus rigoureusement
celles de limite, de continuité et de dérivée ; (iii) un espace métrique
2
, espace topologique dont la
topologie est définie au moyen d’une distance (application satisfaisant certains axiomes et permettant de
préciser la proximité par rapport à un point ou la taille d’un ensemble –diamètre) ; (iv) un espace
probabilisé, espace des événements élémentaires (univers ou ensemble fondamental) muni d’une
mesure sur une tribu ou  (corps de Borel).
Bien que le mot topologie ne fût employé pour la première fois qu’en 1847 par le mathématicien
allemand Johann Benedict Listing
3
(1808 – 1882), l’origine de cette discipline remonte à l’analyse menée
1
Le terme d’espace topologique fut introduit en 1914 par le mathématicien allemand Felix Hausdoff (1868 – 1942). Par
ailleurs, Hausdoff donne également son nom au concept d’espaces séparés (espaces de Hausdoff).
2
Le terme d’espace métrique fut inventé en 1906 par le mathématicien français Maurice René Fréchet (1878 – 1873).
Il mit également en avant l’usage de quelques notions fondamentales en topologie telles que le filtre, la convergence
uniforme, la convergence compacte et l’équicontinuité.
3
Listing a préféré utiliser le terme topologie en lieu et place du terme geometria situs afin de marquer l’autonomie
croissante de cette nouvelle discipline.

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en 1736 par le mathématicien suisse Leonhard Paul Euler afin de proposer une solution au problème des
sept ponts de la ville de Königsberg, célèbre en théorie de graphes.
On distingue différentes branches spécifiques en topologie, notamment la topologie générale, la topologie
algébrique et la géométrie différentielle. Notre attention porte sur la première branche, la topologie
générale. Celle – ci s’intéresse à l’étude des notions fondamentales de la topologie en privilégiant une
approche à la fois simpliste, générale et abstraite.
La topologie générale fournit de structures qui facilitent une définition rigoureuse des relations de
proximité entre élément d’un ensemble et propose, par ailleurs, un cadre qui permet une extraction plus
enrichie de la notion de limite. Notons que la notion de limite est centrale en topologie générale, car
permettant d’extraire celles de continuité et de dérivée. D’où, l’importance des concepts d’ouvert
(ensemble ou partie ne contenant aucun de ses points limites –points de sa frontière) ; de fermé
(ensemble contenant tous ses points limites) et donc, de voisinage. Avant d’y parvenir (dans nos
publications ultérieures), décrivons tout d’abord la structure d’espaces topologiques.
Il existe plusieurs approches permettant de construire une topologie sur un ensemble. Parmi celles – ci,
on note la construction à partir : (i) des axiomes des ouverts ; (ii) des axiomes des fermés ; (iii) d’une
base ; (iv) des axiomes des voisinages ; (v) des axiomes de Hausdorff. Illustrons, à présent et
brièvement, chaque approche de construction.
Une topologie sur un ensemble  est une partie  de  satisfaisant trois propriétés, appelées axiomes
des ouverts, établies comme suit : (1)  ; (2) l’intersection de deux éléments de  est un
élément de  ; (3) la réunion finie ou infinie d’une famille d’éléments de  est un élément de  : si 
est une famille de parties de  appartenant à  alors   Les éléments de  sont appelés ouverts
ou parties ouvertes de  Ainsi, vu sous cet angle, une topologie apparaît comme un ensemble des
ouverts. Et par conséquent, les axiomes (1, 2, 3) peuvent être reformulés comme suit : (i) la partie vide
 et l’ensemble  sont des ouverts ; (ii) l’intersection de deux ouverts est un ouvert ; (iii) la réunion de
toute famille d’ouverts est un ouvert.
Notons au passage qu’en recourant à une démonstration par récurrence, nous pouvons élargir l’axiome
(2) sur un ensemble fini d’éléments et obtenir le résultat suivant : toute intersection d’un nombre fini de
 est un élément de 
Un ensemble  muni de la topologie  est appelé espace topologique, on le note par le couple 
Considérons un ensemble  comprenant deux éléments  et  :  On peut munir l’ensemble  de
quatre topologies distinctes : (i)  ; (ii)  ; (iii) 
 ; (iv) (i)   Un ensemble muni de la topologie discrète est dit
espace discret. Dans tel espace, toute partie est la fois ouverte et fermée.
En considérant un ensemble  on a :   une topologie cofinie sur  Ainsi, si
l’ensemble  est fini (comme dans l’exemple précédent), la topologie cofinie coïncide avec la topologie
discrète. Si l’ensemble  est infini, alors deux ouverts quelconques non vides dans  ont une

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intersection vide. Parallèlement, une topologie codénombrable sur est définie par  
 Nous abordons la notion de dénombrabilité à la section troisième.
Une partie fermée ou fermé de  est une partie de  dont le complémentaire dans  est un ouvert de
 Pour une topologie grossière,  et  sont des fermés, alors que pour une topologie discrète, toute
partie de  est à la fois fermée et ouverte. Pour la topologie  les fermés sont les éléments de  et pour
 les fermés sont les éléments de  Dans l’espace  les fermés sont   et les réunions
d’intervalles  ; et  désigne une topologie sur le corps de réels  (topologie euclidienne ou usuelle
de ).
Au regard de la complicité entretenue par les ouverts et les fermés, il vient qu’on peut également
construire une topologie à partir des fermés. Une partie  de  est l’ensemble des fermés d’une
topologie si et seulement si les axiomes des fermés sont satisfaits : (1’)  ; (2’) la réunion de
deux éléments de  est un élément de  ; (3’) l’intersection finie ou infinie d’une famille d’éléments de 
est un élément de  : si  est une famille de parties de  appartenant à  alors  
Réciproquement,
on peut construire une topologie à partir des ensembles fermés. Ainsi, si  est un ensemble et si  est
un sous – ensemble de  vérifiant (1’, 2’, 3’), alors  est une topologie sur  dont  est
l’ensemble des fermés.
Notons au passage que les ouverts son stables par réunion quelconque et par intersection finies. En
effet, une intersection quelconque d’ouverts n’est pas nécessairement ouverte. Par exemple :
où  étant un singleton, est un fermé.
Parallèlement, les fermés sont stables par intersection quelconque et par réunion finie. Une réunion
quelconque des fermés n’est pas nécessairement fermée. Par exemple :
Admettons à présent un espace topologique  tel que  Si  est une base de la topologie  ou
base d’ouverts de  alors tout ouvert non vide de  est une réunion d’ouverts appartenant à  Tout
espace topologique  possède au moins une base d’ouverts, à savoir la topologie  Par exemple, si 
est un espace discret, alors  est un espace d’ouverts de 
Proposition 1. Si  est un espace topologique tel que  alors 
où :
- Propriété 1 :  est une base d’ouverts de  ;
- Propriété 2 :  

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Démonstration.
-  : Soient  un ouvert de  et   étant une base d’ouverts de  il existe une famille
 d’éléments de  telle que 
Ainsi, 
-  : Soit  un ouvert non vide de  Supposons que  Il vient que
D’où : 
Donc,  est une base d’ouverts de 
Ainsi, on peut montrer par le même raisonnement que pour un espace topologique  un sous –
ensemble de  noté  et une base d’ouverts de  notée  ;  est un ouvert de  si et seulement si :
Soient  un espace topologique et  une base topologique de  Il vient que  satisfait les
propriétés suivantes : (1’’)  ; (2’’) 
Réciproquement,
soit  est un ensemble et  un sous–ensemble de  satisfaisant les propriétés (1’’, 2’’). Alors il existe
une unique topologie  sur  pour laquelle  est une base telle que :
En conséquence, le sous–ensemble  de  est un ouvert pour  si et seulement si :
Soient un ensemble totalement ordonné  et  la partie de comprenant les intervalles ouverts,
des demi – droites ouvertes et l’ensemble  Il ressort de cet exemple que  vérifie les propriétés (1’’) et
(2’’) d’une base. Et donc, il existe une unique topologie  sur  appelée  pour laquelle
 est une base. Le corps réel muni de cette topologie (topologie euclidienne ou topologie usuelle de )
est appelé droite réelle. Ainsi, une droite réelle est totalement ordonnée car muni de la relation d’ordre
usuelle.
Soit  tels que  Par définition : (i)  ;  ;  sont des ouverts de  ; (ii)  ;
 ;  sont des fermés de  ; (iii) un sous – ensemble  de  ouvert implique que  tel
que  et donc, les intervalles ouverts forment une base d’ouverts pour la topologie
usuelle de 