Université de Lorraine – Metz Année universitaire 2012

Universit´e de Lorraine – Metz Ann´ee universitaire 2012-2013
Fondements de l’analyse (L3)
Feuille de TD n02 : Espaces topologiques, comparaison de topologies
Exercice 1 (Extrait du partiel du 16 novembre 2010) Soit Xun ensemble non vide et soit
Aune partie non vide de Xfix´ee. On pose
O={U;A⊂U⊂X} ∪ {∅} .
(a) Montrer que Od´efinit une topologie sur X.
(b) D´eterminer la famille Fdes ferm´es de (X, O).
(c) Soit Bune partie de X. D´eterminer B◦et Bdans (X, O).
(d) Soit x∈X. D´eterminer les ´el´ements du filtre des voisinages Vxde xdans (X, O).
Exercice 2 Soit Xun espace topologique et soient Aet Bdeux parties de X. Montrer les propri´et´es
suivantes :
(a) A◦◦ =A◦et A=A,
(b) si A⊂B, alors A◦⊂B◦et A⊂B,
(c) (A∩B)◦=A◦∩B◦,
(d) A∪B=A∪B,
(e) A◦∪B◦⊂(A∪B)◦,
(f) A∩B⊃A∩B.
Donner des contre-exemples aux assertions r´eciproques de (e) et (f).
Exercice 3 (Extrait du partiel du 19 novembre 2009) Soit Tla famille de parties de Rd´efi-
nie par T:= {A⊂R|R\Aest fini} ∪ {∅,R}.
(a) Montrer que Test une topologie sur R.
(b) D´emontrer que tout ouvert de (R,T) est un ouvert de Rmuni de sa topologie usuelle.
(c) D´emontrer que tout ouvert non vide de (R,T) est dense dans R(c’est `a dire l’adh´erence de
Arelativement `a la topologie Test R).
(d) En d´eduire que l’espace topologique (R,T) n’est pas s´epar´e et que (R,T) n’est pas m´etrisable.
Exercice 4 La droite achev´ee est l’ensemble, not´e R, ´egal `a R∪ {±∞} o`u +∞et −∞ sont deux
´el´ements distincts qui n’appartiennent pas `a R. On d´efinit la fonction f: [−1,1] →Rpar
f(−1) = −∞ , f(1) = +∞, f(t) = t
1− |t|pour t∈]−1,1[ .
On muni [−1,1] de la topologie induite de Ret on muni Rde la topologie finale engendr´ee par la
fonction f.
(a) Montrer que la fonction fest un hom´eomorphisme par rapport `a la topologie de Rainsi
d´efinie.
(b) Montrer que Ravec la topologie usuelle est un sous-espace topologique de R.
(c) Montrer que Rest un ouvert de R.
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On prolonge `a Rla relation d’ordre ≤de Ren posant −∞ ≤ x≤+∞pour tout x∈R.
(d) Montrer que ≤est une relation d’ordre totale sur l’ensemble R.
On ´ecrit x<ysi x≤yet x6=y. Pour a, b ∈Ravec a≤b, on d´efinit les intervalles d’extremit´es
aet bcomme suit :
[a, b] = {x∈R:a≤x≤b},]a, b] = {x∈R:a<x≤b},
[a, b[= {x∈R:a≤x<b},]a, b[= {x∈R:a<x<b}.
En particulier, on a R=] − ∞,+∞[, ]a, +∞] = {x∈R:a≤x}, etc.
(e) Soit x∈R. Montrer qu’une partie Ude Rest un voisinage de xdans Rsi et seulement si
l’une des conditions suivantes est ve´erifi´ee :
1) x∈Ret il existe r > 0 tel que ]x−r, x +r[⊂U;
2) x= +∞et il existe a∈Rtel que ]a, +∞]⊂U;
3) x=−∞ et il existe a∈Rtel que [−∞, a]⊂U.
(f) D´eterminer une base du filtre des voisinages de x∈R.
(g) D´eterminer une base pour les ouverts de R.
(h) Montrer que Rest dense dans R.
(i) Montrer que Rest un espace topologique s´epar´e.
(j) Montrer que toute partie de Rposs`ede une borne inf´erieure et une borne sup´erieure.
Exercice 5 Soient (X, O) et (Y, T) deux espaces topologiques et fune application de (X, O) vers
(Y, T).On dit que fest une application ouverte (resp. ferm´ee) si pour tout ouvert U(resp. ferm´e
F) de X,f(U) (resp. f(F)) est un ouvert (resp. ferm´e) de Y.
1. On suppose maintenant que X=Y=Ret O=Test la topologie usuelle de R.
(a) Montrer que l’application continue f:R→R,d´efinie par : f(x) := x2,∀x∈R,n’est
pas ouverte.
(b) Montrer que l’application f:R→R,d´efinie par : f(x) := 0,∀x∈R,est continue,
ferm´ee et non ouverte.
2. On suppose dans cette question que X=Y=R,Oest la topologie grossi`ere et Test la
topologie discr`ete sur R.Soit f: (R,O)→(R,T) l’application d´efinie par :
f(x) := −1,∀x∈]− ∞,0[; f(0) = 0; f(x) := 1,∀x∈]0,+∞[.
Montrer que fest ouverte, ferm´ee et non continue.
Exercice 6 Soient Xun ensemble, Rune relation d’´equivalence sur Xet π:X→X/R la
projection canonique qui associe `a tout x∈Xsa classe d’´equivalence par rapport `a R. Soit f:
X→Zune fonction de Xdans l’ensemble Ztelle que f(x) = f(y) pour tous x, y ∈Xv´erifiant
xRy.
(a) Montrer qu’il existe une unique application
e
f:X/R →Ztelle que f=
e
f◦π.
(b) Montrer que
e
fest une application surjective si et seulement si fest surjective.
(c) Montrer que
e
fest injective si et seulement si la condition f(x) = f(y) entraˆıne xRy.
Supposons maintenant que Xet Zsont deux espaces topologiques. Montrer que fest continue si
et seulement si
e
fest continue par rapport `a la topologie quotient.
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