0.1 Topologie quotient

0.1. TOPOLOGIE QUOTIENT 1
0.1 Topologie quotient
Définition 0.1.1. Soit Hun sous-groupe d’un groupe topologique G. On définit la topologie
quotient sur G/H comme la topologie dont les ouverts sont les parties de G/H dont l’image
réciproque par la projection canonique π:G→G/H sont ouvertes : pour Spartie de G/H,S
est ouvert si π−1(S)est ouverte dans G.
La saturation d’une partie Yde Gest π−1π(Y). On dit que Ysaturée si on a : Y=
π−1π(Y). Les ouverts de la forme π−1(S), où Sparcourt les ouverts de G/H, sont les ouverts
saturés de G.
Proposition 0.1.2. L’ensemble des parties Sde G/H telles que π−1(S)est ouvert dans Gest
bien une topologie.
Démonstration. Le vide et G/H sont clairement des ouverts de G/H.
Si fest une application d’un ensemble Xvers un ensemble Yet si YI,i∈Iest une famille
(pouvant être infinie) de parties de Y, alors, f−1(∪i∈IYi) = ∪i∈If−1(Yi). En l’appliquant à f=π,
il en résulte qu’une réunion quelconque d’ouverts est bien un ouvert.
Avec les hypothèses précédentes, f−1(∩i∈IYi) = ∩i∈If−1(Yi). En l’appliquant à f=π, il en
résulte qu’une intersection finie d’ouverts est bien un ouvert. Ceci achève la preuve.
Lemme 0.1.3. Soit Gun groupe topologique et Hun sous-groupe de G. Soit π:G→G/H la
projection canonique.
(i) L’application πest continue ; plus précisément, la topologie quotient de G/H est la topologie
la plus fine pour laquelle πest continue.
(ii) L’application πest ouverte.
(iii) Soit Yun espace topologique et f:G→Yune application continue et constante sur
les classes modulo H. Alors, l’application fqui fait commuter le diagramme suivant est
continue :
Gf////
π
Y
G/H
.f
====
Démonstration. (i) Par définition, si Sest un ouvert de G/H, son image réciproque par πest
un ouvert de G, d’où la continuité de πpour la topologie quotient.
Inversement, fixons une topologie pour laquelle πest continue et soit Sun ouvert de cette
topologie. Alors, comme πest continue, π−1(S)est un ouvert de Gdont Sest aussi un ouvert
de la topologie quotient.
(ii) Soit Vun ouvert de G,ona:π(V) = πSh∈HV h. Mais pour tout hde H,V h est
l’image de Vpar la translation g7→ gh, qui est un homéomorphisme : donc V h est un ouvert,
si bien que la réunion de V h aussi. Mais alors, on remarque que : Sh∈HV h =π−1π(V). Par
suite, π(V)est ouvert dans G/H.
(iii) Soit Wun ouvert de Y. On veut montrer que f−1(W)est ouvert. Pour cela, il suffit de
montrer que V=π−1f−1(W)est ouvert : cela provient du fait que l’on a : V= (f◦π)−1(W) =
f−1(W)et que fest continue.