0.1 Topologie quotient

0.1. TOPOLOGIE QUOTIENT
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Topologie quotient
Définition 0.1.1. Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G. On définit la topologie
quotient sur G/H comme la topologie dont les ouverts sont les parties de G/H dont l’image
réciproque par la projection canonique π : G → G/H sont ouvertes : pour S partie de G/H, S
est ouvert si π −1 (S) est ouverte dans G.
−1 π(Y ) . On dit que Y saturée si on a : Y =
La saturation
d’une
partie
Y
de
G
est
π
π −1 π(Y ) . Les ouverts de la forme π −1 (S), où S parcourt les ouverts de G/H, sont les ouverts
saturés de G.
Proposition 0.1.2. L’ensemble des parties S de G/H telles que π −1 (S) est ouvert dans G est
bien une topologie.
Démonstration. Le vide et G/H sont clairement des ouverts de G/H.
Si f est une application d’un ensemble X vers un ensemble Y et si YI , i ∈ I est une famille
(pouvant être infinie) de parties de Y , alors, f −1 (∪i∈I Yi ) = ∪i∈I f −1 (Yi ). En l’appliquant à f = π,
il en résulte qu’une réunion quelconque d’ouverts est bien un ouvert.
Avec les hypothèses précédentes, f −1 (∩i∈I Yi ) = ∩i∈I f −1 (Yi ). En l’appliquant à f = π, il en
résulte qu’une intersection finie d’ouverts est bien un ouvert. Ceci achève la preuve.
Lemme 0.1.3. Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. Soit π : G → G/H la
projection canonique.
(i) L’application π est continue ; plus précisément, la topologie quotient de G/H est la topologie
la plus fine pour laquelle π est continue.
(ii) L’application π est ouverte.
(iii) Soit Y un espace topologique et f : G → Y une application continue et constante sur
les classes modulo H. Alors, l’application f qui fait commuter le diagramme suivant est
continue :
G
π
.
f
//Y
==
f
G/H
Démonstration. (i) Par définition, si S est un ouvert de G/H, son image réciproque par π est
un ouvert de G, d’où la continuité de π pour la topologie quotient.
Inversement, fixons une topologie pour laquelle π est continue et soit S un ouvert de cette
topologie. Alors, comme π est continue, π −1 (S) est un ouvert de G dont S est aussi un ouvert
de la topologie quotient.
S
(ii) Soit V un ouvert de G, on a : π(V ) = π h∈H V h . Mais pour tout h de H, V h est
l’image de V par la translation g 7→ gh, qui est un homéomorphisme
S : donc V h est un ouvert,
si bien que la réunion de V h aussi. Mais alors, on remarque que : h∈H V h = π −1 π(V ) . Par
suite, π(V ) est ouvert dans G/H.
−1
(iii) Soit W un ouvert de Y . On veut montrer que f (W ) est ouvert. Pour cela, il suffit de
−1
montrer que V = π −1 f (W ) est ouvert : cela provient du fait que l’on a : V = (f ◦π)−1 (W ) =
f −1 (W ) et que f est continue.