TD - Exercices autour de la loi de Poisson

Lycée Dominique Villars
ECE 2
TD
TD - Exercices autour de la loi de Poisson . . .
Exercice 1.
Dans le département des Hautes-Alpes, le nombre annuel d’accidents de la route mettant en cause un
camion suit la loi de Poisson de paramètre 8.
1. Calculer la probabilité d’avoir une année plus de 2 accidents de ce type.
2. Quel est le nombre moyen annuels d’accidents mettant en jeu un camion dans le 05?
Exercice 2 (Etude de la somme de 2 variables indépendantes suivant une loi de Poisson).
Le nombre X de véhicules légers empruntant un pont de faible trafic par période d’une heure suit la
loi de Poisson de paramètre a. Le nombre Y de poids-lourds empruntant ce même pont par période
d’une heure suit la loi de Poisson de paramètre b.
On suppose que X et Y sont indépendantes. Soit Z = X + Y .
1. Déterminer la densité moyenne par heure de trafic sur ce pont.
2. Déterminer la loi de Z. Retrouver le résultat du 1.
3. Sachant qu’à une heure donnée il y a eu en tout n véhicules empruntant le pont, quelle est la
probabilité qu’il y ait eu k poids-lourds parmi eux ?
Exercice 3 (Conditionnement par un variable de Poisson).
Le nombre N de clients par tranche de 10 minutes dans un grand magasin suit la loi de Poisson de
paramètre m. Chaque client a la probabilité p de se faire voler son portefeuille. Les vols ont lieu de
façon indépendante.
Soit X le nombre de clients volés par tranche de 10 minutes.
1. Déterminer la loi de X.
Indication : Donner X(Ω) puis pour un élément k ∈ X(Ω), décomposer l’évènement (X = k) à
l’aide du système complet d’évènements ((N = n))n∈N∗ .
2. Soit Y = N − X. Déterminer la loi de Y puis prouver que X et Y sont indépendantes.
Exercice 4 (d’après ESC 1994).
On suppose que le nombre N de colis expédiés à l’étranger chaque jour par une entreprise suit une loi
de Poisson de parametre 5. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour qu’un colis expédié à l’étranger soit détérioré est égale à 0, 1.
On s’intéresse aux colis expédiés à l’étranger un jour donne :
• N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés ;
• X est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés ; Y est la variable aléatoire égale
au nombre de colis en bon état.
On a donc : X + Y = N .
1. Soient k et n deux entiers naturel. Calculer P(N =n) (X = k) = P (X = k/N = n).
2. Donner la loi du couple (X, N ), puis montrer que X suit une loi de Poisson de parametre 0, 5.
3. Determiner la loi de Y .
4. (a) Si i et j sont deux entiers naturels, calculer la probabilité P ((X = i) ∩ (Y = j)).
(b) les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 5.
Un ascenseur dessert les N étages d’un immeuble, N étant un entier naturel non nul. A chaque voyage,
le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur est une variable aléatoire X suivant la loi de
Poisson de paramètre λ > 0. On suppose que :
• chaque personne choisit son étage d’arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers,
ces choix ce faisant dans l’ordre d’entrée des passagers dans l’ascenseur ;
• aucun arrêt n’est dû à des personnes désurant monter dans l’ascenceur à un autre étage.
1. Soit N0 un entier fixé dans J1, N K et Y la variable aléatoire égale au nombre de passagers choisissant l’étage N0 .
(a) Soit k ∈ N. Donner sans calcul, la loi de probabilité de Y conditionnée par l’évènement
(X = k).
(b) Déterminer la loi de probabilité de Y . On observera que Y suit également une loi de Poisson
dont on précisera la paramètre.
(c) Soit n ∈ N. Déterminer la loi de probabilité de X contionnée par l’évènement (Y = n).
2. Soit Z une variable aléatoire à valeurs dans J0, N K.
Pour tout entier naturel k, on définit l’espérance conditionnelle de Z vis à vis de l’évènement
(X = k) par la somme :
E(Z/X = k) =
N
X
jP (Z = j/X = k)
j=0
Démontrer qu’alors :
E(Z) =
+∞
X
P (X = k) E(Z/X = k)
k=0
Indication : On utilisera que si (ak,j )k∈N;j∈J0,N K est une suite de nombres réels tels que pour tout
N
+∞
N +∞
+∞
P P
P
P
P
ak,j
ak,j =
ak,j converge alors on a
entier j ∈ J0, N K, la série numérique
j=0 k=0
k=0
k=0 j=0
3. Soit Z, la variable aléatoire égale au nombre d’arrêt de l’ascenseur au cours d’un voyage.
(a) Déterminer les valeurs des probabilités conditionnelles suivantes :
P (Z = 0/X = 0) ; P (Z = 1/X = 1) ;
P (Z = j/X = 0) pour j ∈ J1, N K ;
P (Z = j/X = 1) pour j ∈ J2, N K
(b) Déterminer les valeurs des probabilités conditionnelles P (Z = 0/X = k) pour tout k > 1.
(c) Justifier que pour tout entier k > 1,
P (Z = 1/X = k + 1) =
1
P (Z = 1/X = k)
N
(d) Justifier que pour tout entier k > 1 et j ∈ J2, N K,
P (Z = j/X = k + 1) =
N −j +1
j
P (Z = j/X = k) +
P (Z = j − 1/X = k)
N
N
(e) Pour tout entier k > 0, on note uk = E(Z/X = k).
i. Justifier que u0 = 0.
1
ii. Démontrer que pour tout k > 0, : uk+1 = 1 + 1 −
N
iii. En déduire l’expression de uk en fonction de k.
(f) En déduire que :

λ
E(Z) = N 1 − e N 

−
uk .