TD - Exercices autour de la loi de Poisson

Lyc´ee Dominique Villars TD
ECE 2
TD - Exercices autour de la loi de Poisson . . .
Dans le d´epartement des Hautes-Alpes, le nombre annuel d’accidents de la route mettant en cause un
camion suit la loi de Poisson de param`etre 8.
1. Calculer la probabilit´e d’avoir une ann´ee plus de 2 accidents de ce type.
2. Quel est le nombre moyen annuels d’accidents mettant en jeu un camion dans le 05?
Exercice 1.
Le nombre Xde v´ehicules l´egers empruntant un pont de faible trafic par p´eriode d’une heure suit la
loi de Poisson de param`etre a. Le nombre Yde poids-lourds empruntant ce mˆeme pont par p´eriode
d’une heure suit la loi de Poisson de param`etre b.
On suppose que X et Y sont ind´ependantes. Soit Z=X+Y.
1. D´eterminer la densit´e moyenne par heure de trafic sur ce pont.
2. D´eterminer la loi de Z. Retrouver le r´esultat du 1.
3. Sachant qu’`a une heure donn´ee il y a eu en tout nv´ehicules empruntant le pont, quelle est la
probabilit´e qu’il y ait eu kpoids-lourds parmi eux ?
Exercice 2 (Etude de la somme de 2 variables ind´ependantes suivant une loi de Poisson).
Le nombre Nde clients par tranche de 10 minutes dans un grand magasin suit la loi de Poisson de
param`etre m. Chaque client a la probabilit´e pde se faire voler son portefeuille. Les vols ont lieu de
fa¸con ind´ependante.
Soit Xle nombre de clients vol´es par tranche de 10 minutes.
1. D´eterminer la loi de X.
Indication : Donner X(Ω) puis pour un ´el´ement k∈X(Ω), d´ecomposer l’´ev`enement (X=k)`a
l’aide du syst`eme complet d’´ev`enements ((N=n))n∈N∗.
2. Soit Y=N−X. D´eterminer la loi de Ypuis prouver que Xet Ysont ind´ependantes.
Exercice 3 (Conditionnement par un variable de Poisson).
On suppose que le nombre Nde colis exp´edi´es `a l’´etranger chaque jour par une entreprise suit une loi
de Poisson de parametre 5. Ces colis sont exp´edi´es ind´ependamment les uns des autres.
La probabilit´e pour qu’un colis exp´edi´e `a l’´etranger soit d´et´erior´e est ´egale `a 0,1.
On s’int´eresse aux colis exp´edi´es `a l’´etranger un jour donne :
•Nest la variable al´eatoire ´egale au nombre de colis exp´edi´es ;
•Xest la variable al´eatoire ´egale au nombre de colis d´et´erior´es ; Yest la variable al´eatoire ´egale
au nombre de colis en bon ´etat.
On a donc : X+Y=N.
1. Soient ket ndeux entiers naturel. Calculer P(N=n)(X=k) = P(X=k/N =n).
2. Donner la loi du couple (X, N ), puis montrer que Xsuit une loi de Poisson de parametre 0,5.
3. Determiner la loi de Y.
4. (a) Si iet jsont deux entiers naturels, calculer la probabilit´e P((X=i)∩(Y=j)).
(b) les variables Xet Ysont-elles ind´ependantes ?
Exercice 4 (d’apr`es ESC 1994).

Un ascenseur dessert les N´etages d’un immeuble, N´etant un entier naturel non nul. A chaque voyage,
le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur est une variable al´eatoire Xsuivant la loi de
Poisson de param`etre λ > 0. On suppose que :
•chaque personne choisit son ´etage d’arriv´ee au hasard et ind´ependamment des autres passagers,
ces choix ce faisant dans l’ordre d’entr´ee des passagers dans l’ascenseur ;
•aucun arrˆet n’est dˆu `a des personnes d´esurant monter dans l’ascenceur `a un autre ´etage.
1. Soit N0un entier fix´e dans J1, NKet Yla variable al´eatoire ´egale au nombre de passagers choi-
sissant l’´etage N0.
(a) Soit k∈N. Donner sans calcul, la loi de probabilit´e de Yconditionn´ee par l’´ev`enement
(X=k).
(b) D´eterminer la loi de probabilit´e de Y. On observera que Ysuit ´egalement une loi de Poisson
dont on pr´ecisera la param`etre.
(c) Soit n∈N. D´eterminer la loi de probabilit´e de Xcontionn´ee par l’´ev`enement (Y=n).
2. Soit Zune variable al´eatoire `a valeurs dans J0, NK.
Pour tout entier naturel k, on d´efinit l’esp´erance conditionnelle de Zvis `a vis de l’´ev`enement
(X=k) par la somme :
E(Z/X =k) =
N
X
j=0
jP (Z=j/X =k)
D´emontrer qu’alors :
E(Z) =
+∞
X
k=0
P(X=k)E(Z/X =k)
Indication : On utilisera que si (ak,j )k∈N;j∈J0,NKest une suite de nombres r´eels tels que pour tout
entier j∈J0, NK, la s´erie num´erique
+∞
P
k=0
ak,j converge alors on a
N
P
j=0
+∞
P
k=0
ak,j =
+∞
P
k=0
N
P
j=0
ak,j
3. Soit Z, la variable al´eatoire ´egale au nombre d’arrˆet de l’ascenseur au cours d’un voyage.
(a) D´eterminer les valeurs des probabilit´es conditionnelles suivantes :
P(Z= 0/X = 0) ; P(Z= 1/X = 1) ;
P(Z=j/X = 0) pour j∈J1, N K;
P(Z=j/X = 1) pour j∈J2, N K
(b) D´eterminer les valeurs des probabilit´es conditionnelles P(Z= 0/X =k) pour tout k>1.
(c) Justifier que pour tout entier k>1,
P(Z= 1/X =k+ 1) = 1
NP(Z= 1/X =k)
(d) Justifier que pour tout entier k>1 et j∈J2, NK,
P(Z=j/X =k+ 1) = j
NP(Z=j/X =k) + N−j+ 1 NP(Z=j−1/X =k)
(e) Pour tout entier k>0, on note uk=E(Z/X =k).
i. Justifier que u0= 0.
ii. D´emontrer que pour tout k>0, : uk+1 = 1 + 1−1
Nuk.
iii. En d´eduire l’expression de uken fonction de k.
(f) En d´eduire que :
E(Z) = N
1−e−
λ
N
Exercice 5.