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i=0
Vi − Ii R − V∗
σV
2
(1)
Puisque la relation est linéaire et l’incertitude ne dépend pas de la résistance, les équations,
qui expriment la condition de l’extrémum, sont linéaires dans les variables R et V∗ . On
C’est une quantité positive, qui serait égale à zéro si les mesures étaient parfaites et
le fil idéal et l’on cherche à comprendre dans quelle mesure la loi d’Ohm est une bonne
description. Pour un ensemble donnée de mesures S est une fonction des deux paramètres,
R la résistance et V∗ la tension résuduelle du voltmètre. On cherche, alors, les valeurs qui
rendent S minimale (on a fait la simplification que l’incertitude sur la tension, σV , est
constante) :
N
−1
N
−1
N
−1
X
X
X
∂S
Ii
Ii2 + V∗
Vi Ii = R
=0⇔
∂R
i=0
i=0
i=0
(2)
N
−1
N
−1
X
X
∂S
Ii + V∗ N
Vi = R
=0⇔
∂V∗
i=0
i=0
S(R, V∗ ) ≡
N
−1 X
1. L’exemple que l’on va employer pour illustrer la méthode est celui d’un fil conducteur, dont
on cherche la résistance et la tension du voltmètre. On dispose des mesures (Vi , Ii ), i =
0, 1, 2, . . . , N −1 et l’on fait l’hypothèse que l’incertitude expérimentale, σV , sur la mesure
de la tension est beaucoup plus grande que celle du courant, σI , de façon à pouvoir négliger
cette dernière.
Alors on construit la quantité suivante
Dans cet exercice on dispose d’une suite de données, (xi , yi), i = 0, 1, 2, . . ., et l’on cherche
a calculer les paramètres d’une relation entre ces données, qui serait la prédiction d’un modèle.
La complication est que ces données sont sujettes à des incertitudes, soit de notre appareil de
mesure (graduations finies, précision limitée) soit de notre procédé même. Alors les valeurs des
paramètres, aussi, seront sujettes à des incertitudes. La méthode des moindres carrés est une
approche, qui permet de calculer l’incertitude des paramètres à partir de celles des données,
ainsi, bien entendu, que les “valeurs centrales” de ces paramètres.
TD3 : Régression Linéaire
Université “François Rabelais” de Tours
UFR Sciences et Techniques
Licence de Physique 2010–2011
UE505P : Modélisartion, Simulations et Outils Informatiques
(3)
i=0
N
−1 X
et l’on cherche à calculer R, σR , V∗ , δV∗ .
S≡
Vi − Ii R − V∗
σV
2
1
1
(δVmax + Vmin) et h(δVi )2 i − hδVi i2 =
(δVmax − δVmin )2 ≡ σV2
2
12
On pose, maintenant,
hδVi i =
on peut montrer que
Dans cette approche on cherche, en fait, à comprendre si la distribution uniforme est un
bon modèle pour le phénomène physique en question.
En utilisant les relations
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
1
1
et hr 2 i ≡
r 2 ρ(r)dr =
r 2 dr =
hri ≡
rρ(r)dr =
rdr =
2
3
0
0
0
0
δVi = δVmin + r(δVmax − δVmin )
avec δVi uniformément distribués entre δVmin et δVmax :
Vi = Ii R + V∗ + δVi
2. Pour tester cette approche il serait utile de disposer d’une suite possible de telles mesures.
A défaut de mesures “réelles” on peut employer l’astuce suivante : On fixe R et V∗ et l’on
engendre les paires (Vi , Ii) comme suit :
Ces expressions nous donnent les “valeurs centrales” des paramètres R et V∗ . Mais l’on
veut, aussi, déterminer l’erreur, σR , induite par l’incertitude, σV , sur la tension. On emploie la technique suivante : Par hypothèse, chaque valeur de la tension est tirée d’une
distribution gaussienne, avec valeur moyenne la valeur mesurée, hVii et écart type σV ,
ainsi hVi2 i − hVi i2 ≡ σV2 . On note, maintenant, que, dans les expressions pour R et V∗
les mesures Vi se trouvent toujours aux dénominateurs. Par conséquent, il est facile de
calculer hR2 i − hRi2 et hV∗2 i − hV∗ i2 , d’y remplacer hVi2 i − hVii2 par σV2 et utiliser que les
mesures sont indépendantes et non-corrélées avec les mesures, Ii du courant pour trouver
les expressions pour σR et σV∗ .
Ecrire un programme qui lit les données (Vi , Ii ) et calcule R, σR , V∗ , σV∗ .
peut les résoudre facilement et l’on trouve les expressions
P
P
P −1
N −1
N −1
N N
i=0 Ii
i=0 Vi
i=0 Vi Ii −
R=
2
P
P
N −1 2
N −1
N
−
i=0 Ii
i=0 Ii
P
P
P
P
N −1 2
N −1
N −1
N −1
i=0 Ii
i=0 Vi
i=0 Ii −
i=0 Vi Ii
V∗ =
2
P
P
N −1 2
N −1
N
−
i=0 Ii
i=0 Ii