Devoir non surveillé de mathématiques no 6

Terminale S - sp´ecialit´e pour le lundi 18 mars
Devoir non surveill´e de math´ematiques no6
Exercice 1 :
Soit nun entier non nul. On consid`ere les nombres aet btels que :
a= 2n3+ 5n2+ 4n+ 1 et b= 2n2+n
1. Montrer que 2n+ 1 divise aet b.On pourra factoriser aet bpar 2n+ 1 en utilisant la m´ethode de
l’identification des coefficients.
2. Soit n∈N∗. Montrer que net n+ 1 sont premiers entre eux.
3. Un ´el`eve affirme que le PGCD de aet best 2n+ 1.
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La r´eponse sera justifi´ee).
Exercice 2 :
On consid`ere une puce se d´epla¸cant d’un sommet `a l’autre d’un triangle ABC.
`
A chaque instant, la puce saute sur un des deux sommets laiss´es libres avec la
mˆeme probabilit´e pour chacun.
n´etant un entier naturel, on note anla probabilit´e que la puce se trouve sur le
sommet Aapr`es le n-i`eme saut, bnla probabilit´e que la puce se trouve sur le
sommet Bapr`es le n-i`eme saut, et cnla probabilit´e que la puce se trouve sur le sommet Capr`es le n-i`eme
saut.
a0, b0et c0sont des r´eels positifs tels que a0+b0+c0= 1. Pour tout entient n, on note Pn=anbncn
la matrice ligne traduisant la loi de probabilit´e donnant l’´etat apr`es le n-i`eme saut.
1. D´ecrire la situation `a l’aide d’un graphe probabiliste.
2. M´etant la matrice de transition du graphe pr´ec´edent, donner la matrice M.
3. a. Exprimer Pn(n∈N) en fonction de M, n et P0.
b. Calculer M4puis d´eterminer en fonction de a0, b0et c0, la probabilit´e que la puce soit sur le sommet
Aapr`es la quatri`eme saut.
4. Dans cette question, on souhaite d´eterminer la limite des coefficients de Mnlorsque ntend vers +∞.
a. ´ Etablir que M=1
2(N−I), o`u Iest la matrice identit´e d’ordre 3 et N=
111
111
111
.
b. V´erifier que l’´egalit´e N2= 3N.
c. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier nnon nul, Mn=1
3N+−1 2n3I−N.
d. En d´eduire la limite des coefficients de la matrice Mnlorsque ntend vers +∞.
5. En remarquant que a0+b0+c0= 1, calculer la «limite »de l’´etat probabiliste Pnlorsque ntend vers
+∞.
Cette limite correspond-t’elle `a un ´etat stationnaire pour M?Un simple calcul matriciel suffit.
6. Interpr´eter les r´esultats des questions pr´ec´edentes.
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