Devoir non surveillé de mathématiques no 6

Terminale S - spécialité
pour le lundi 18 mars
Devoir non surveillé de mathématiques no 6
Exercice 1 :
Soit n un entier non nul. On considère les nombres a et b tels que :
a = 2n3 + 5n2 + 4n + 1 et b = 2n2 + n
1. Montrer que 2n + 1 divise a et b. On pourra factoriser a et b par 2n + 1 en utilisant la méthode de
l’identification des coefficients.
2. Soit n ∈ N∗ . Montrer que n et n + 1 sont premiers entre eux.
3. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n + 1.
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).
Exercice 2 :
On considère une puce se déplaçant d’un sommet à l’autre d’un triangle ABC.
À chaque instant, la puce saute sur un des deux sommets laissés libres avec la
même probabilité pour chacun.
n étant un entier naturel, on note an la probabilité que la puce se trouve sur le
sommet A après le n-ième saut, bn la probabilité que la puce se trouve sur le
sommet B après le n-ième saut, et cn la probabilité que la puce se trouve sur le sommet C après le n-ième
saut.
a0 , b0 et c0 sont des réels positifs tels que a0 +b0 +c0 = 1. Pour tout entient n, on note Pn = an bn cn
la matrice ligne traduisant la loi de probabilité donnant l’état après le n-ième saut.
1. Décrire la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.
2. M étant la matrice de transition du graphe précédent, donner la matrice M.
3. a. Exprimer Pn (n ∈ N) en fonction de M, n et P0 .
b. Calculer M 4 puis déterminer en fonction de a0 , b0 et c0 , la probabilité que la puce soit sur le sommet
A après la quatrième saut.
4. Dans cette question, on souhaite déterminer la limite des coefficients de M n lorsque n tend vers +∞.


1 1 1
a. Établir que M = 21 (N − I), où I est la matrice identité d’ordre 3 et N = 1 1 1 .
1 1 1
b. Vérifier que l’égalité N 2 = 3N.
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n non nul, M =
n
1
3
N+
n
− 21
d. En déduire la limite des coefficients de la matrice M n lorsque n tend vers +∞.
3I − N
.
5. En remarquant que a0 + b0 + c0 = 1, calculer la « limite » de l’état probabiliste Pn lorsque n tend vers
+∞.
Cette limite correspond-t’elle à un état stationnaire pour M ? Un simple calcul matriciel suffit.
6. Interpréter les résultats des questions précédentes.
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