Travaux dirigés, feuille 9 : probabilités

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales
Int´ egration et Probabilit´ es 2010-2011
Travaux dirig´es, feuille 9 : probabilit´es - 2
loi des grands nombres, th´eor`eme de la limite centrale
Loi des grands nombres, convergence p.s. et en probabilit´e
Exercice 1
Soit f: [0,1] →Rcontinue et (Xn)n∈Nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement
distribu´ees de loi uniforme sur [0,1], de densit´e [0,1] par rapport `a la mesure de Lebesgue. Trouver
limn→∞ 1
nPn
i=1 f(Xi).
Exercice 2
Soit f:R→Rcontinue born´ee.
1) On suppose que (Xn)n∈Nest une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees
de loi uniforme sur [0,1], de densit´e [0,1] par rapport `a la mesure de Lebesgue. Trouver lim
n→∞ f 1
n
n
X
i=1
Xi!
puis lim
n→∞ E"f 1
n
n
X
i=1
Xi!#. En d´eduire
lim
n→∞ Z[0,1]n
fx1+··· +xn
ndx1···dxn.
2) On suppose que (Xn)n∈Nest une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees
de loi de Poisson de param`etre α- i.e., pour tout k∈N,P(X1=k) = e−ααk/k!. Trouver lim
n→∞ f 1
n
n
X
i=1
Xi!
puis lim
n→∞ E"f 1
n
n
X
i=1
Xi!#. En d´eduire
lim
n→∞ X
k≥0
e−αn (αn)k
k!fk n.
Exercice 3 : th´eor`eme de Weierstrass
On consid`ere tout au long de l’exercice une fonction f: [0,1] →Rcontinue. On d´efinit sur [0,1] le polynˆome
Qn(pour n≥1) par
Qn(x) =
n
X
k=0
fk
nCk
nxk(1 −x)n−k,
o`u Ck
nd´esigne le nombre de combinaison de k´el´ements parmi n, ou encore le nombre de tirages simultan´es
de k´el´ements parmi n, et vaut Ck
n=n!
k!(n−k)!.
1

1) Montrer `a l’aide de la loi des grands nombres que
∀x∈[0,1] ,lim
n→∞ Qn(x) = f(x).
Indication : on pourra introduire une suite (Xi)i≥1de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de param`etre x, i.e.
P(X1= 1) = xet P(X1= 0) = 1 −x, et exprimer Qn(x)en fonction de Sn=X1+··· +Xn.
2) Montrer que Qnconverge vers funiform´ement sur [0,1].
Indication : majorer E(|f(Sn
n)−f(x)|)en d´ecoupant selon l’´ev´enement {|Sn n−x|> δ}et son compl´ementaire,
pour δ > 0.
Exercice 4
Soit n≥1. Soit (Xk(n))k≥1une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur {1,2, . . . , n}, i.e., pour tout
i∈ {1, ..., n}on a P(Xk(n) = i) = 1/n. Soit
Tn= inf{m≥1|{X1(n), . . . , Xm(n)}={1, . . . , n}}
le premier instant o`u toutes les valeurs possibles ont ´et´e observ´ees.
1) Soit τn
k= inf{m≥1|#{X1(n), . . . , Xm(n)}=k}, pour k∈ {1. . . n}. Montrer que les variables
(τn
k−τn k−1)2≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leur loi respective.
2) a) Calculer E(Tn), et montrer que Var(Tn)≤Cn2o`u Cest une constante.
b) En d´eduire que Tn
nln nconverge vers 1 en probabilit´e, c’est-`a-dire que
∀ε > 0,lim
n→∞ P
Tn
nln n−1
> ε= 0 .
Indication : on pensera `a utiliser l’in´egalit´e de Tchebychev.
Exercice 5
Soient (Xn)n≥1une suite de v.a. r´eelles et Xune v.a. r´eelle d´efinies sur (Ω,F,P). On suppose que Xn→X
en probabilit´e sous P, i.e.,
∀ε > 0,lim
n→∞ P(|Xn−X|> ε)=0.
Soit Qune mesure de probabilit´e absolument continue par rapport `a P, i.e.,
∀A∈ F ,P(A)=0⇒Q(A)=0.
1) Montrer que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
∀A∈ F ,P(A)≤δ⇒Q(A)≤ε .
Indication : on pourra raisonner par l’absurde.
2) Montrer que Xn→Xen probabilit´e sous Q.
Convergence en loi, fonction caract´eristique et th´eor`eme de la limite centrale
Exercice 6
Soient (Xn)n≥1une suite de v.a. r´eelles et Xune v.a. r´eelle d´efinies sur (Ω,F,P). On suppose que Xn→X
en loi. Montrer que f(Xn)→f(X) en loi, pour toute fonction f:R→Rcontinue et born´ee.
2

Exercice 7
On dit qu’une variable al´eatoire Ysuit une loi de Poisson de param`etre lsi Yest `a valeurs dans Net pour
tout k∈N,P(Y=k) = lke−l/k!.
1) On suppose que (Xn)n∈Nest une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees
de loi de Poisson de param`etre 1. On pose Sn=X1+··· +Xn.
a) Montrer que Snsuit une loi de Poisson de param`etre n.
Indication : penser `a la caract´erisation de la loi par la fonction caract´eristique.
b) Exprimer e−nPn
k=0 nk
k!en fonction de la loi de Sn.
c) Montrer en utilisant le th´eor`eme de la limite centrale que
lim
n→∞ e−n
n
X
k=0
nk
k!=1 2.
2) On suppose que (Xn)n∈Nest une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees
de carr´e int´egrable. Pour tout α∈Rcalculer limn→∞ P(X1+··· +Xn≤nα).
Exercice 8
On suppose que (Xn)n∈Nest une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees
de loi µ. On suppose que Var(Xn)<∞. Soient
Y1=X1
2, Y2=1 2(Y1+X2), ... , Yn=1 2(Yn−1+Xn).
1) Calculer E(Yn) et Var(Yn).
2) On suppose que Xnsuit une loi gaussienne N(m, σ2), de densit´e x7→ exp[−(x−m)2/2]/√2πσ2par rapport
`a la mesure de Lebesgue. Montrer que Ynsuit aussi une loi gaussienne, dont on donnera les param`etres.
Montrer que Ynconverge en loi vers une variable al´eatoire Yque l’on pr´ecisera.
Indication : penser aux fonctions caract´eristiques.
Exercice 9
Soient (Xn)n≥1une suite de v.a. constantes, c’est-`a-dire que pour tout n, il existe xn∈Rtel que Xn=xn
p.s., et soit Xune v.a. r´eelle. Montrer que Xn→Xen loi si et seulement si il existe x∈Rtel que Xest
de loi δxet xn→xquand ntend vers l’infini.
Exercice 10 : formule de Stirling
0) Soit Xune v.a. r´eelle de carr´e int´egrable d´efinie sur (Ω,F,P). Montrer que, pour tout a > 0, on a
E(|X−inf(X, a)|)≤pE(X2)P(X≥a).
Soit (Xn)n≥1une suite de v.a. ind´ependantes d´efinies sur (Ω,F,P), de mˆeme loi de Poisson de param`etre 1
- i.e., pour tout k∈N,P(X1=k) = e−1/k!. On pose, pour tout n≥1,
Sn=
n
X
i=1
Xiet Yn=Sn−n
√n.
On note x−=sup(−x, 0) pour tout x∈R.
3

1) Pour tout n≥1, v´erifier que Snsuit une loi de Poisson de param`etre n, i.e. pour tout k∈N,P(Sn=
k) = nke−n/k!. Calculer E(Y2
n) et en d´eduire que pour tout a > 0,
P(Y−
n≥a)≤1
a2.
2) Soit Yune v.a. de loi normale N(0,1), de densit´e y7→ e−y2/2/√2πpar rapport `a la mesure de Lebesgue.
Montrer que la suite (Y−
n)n≥1converge en loi vers Y−.
3) Montrer `a l’aide de la question 0) que
lim
n→∞ E(Y−
n) = E(Y−).
4) En d´eduire la formule de Stirling :
n!∼n
en√2πn quand n→ ∞.
Exercice 11
1) Soit mune mesure de probabilit´e sur (R,B(R)). Pour tout n≥1, on d´efinit une mesure de probabilit´e
mnsur (R,B(R)) par
mn=X
k∈Z
mk
n,k+ 1 nδk/n .
Montrer que (mn)n≥1converge ´etroitement vers m.
Indication : ´etudier le comportement de variables al´eatoires de loi mn.
2) En d´eduire que si (Xn)n≥1est une suite de v.a., avec Xnde loi g´eom´etrique de param`etre e−1/n - i.e.,
pour tout k∈N,P(Xn=k) = (1 −e−1/n)e−k/n - alors la suite (Xn/n)n≥1converge en loi vers une variable
al´eatoire exponentielle de param`etre 1.
Exercice 12
Soit (Xn)n≥0une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,F,P). On suppose Xn∼ N(mn, σ2
n)
avec mn∈Ret σn∈R+∗, i.e. la loi de Xnadmet pour densit´e x7→ 1
p2πσ2
n
exp −(x−mn)2
2σ2
npar rapport
`a la mesure de Lebesgue. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´eelle Ysi et seulement
si les deux suites (mn)n≥0et (σn)n≥0convergent dans R, et identifier la loi limite.
Exercice 13
Soit (Xn)n≥1une suite de v.a. r´eelles d´efinies sur (Ω,F,P), i.i.d. suivant la loi uniforme sur [0,1] (de
densit´e [0,1] par rapport `a la mesure de Lebesgue). On pose Mn= max(X1, . . . , Xn). Montrer que la suite
(n(1 −Mn))n≥1converge en loi quand ntend vers l’infini et expliciter la loi limite.
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