Nombres complexes et trigonométrie

Lycée Saint Louis - Paris
PCSI5
TD4
Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 27
À tout point M d’affixe z 6= 1, on associe le point M 0 d’affixe z 0 =
est réel et
z−1
z0 − 1
. Etablir que : |z 0 | = 1,
1 − z̄
z−1
z0 + 1
est imaginaire pur. En déduire une construction géométrique du point M 0 .
z−1
Solution.
|z − 1|
|z − 1|
|z − 1|
=
=
= 1.
|1 − z|
|1 − z|
|1 − z|
Le point M 0 d’affixe z 0 est sur le cercle unité.
z−1
−1
2Re(z) − 2
(z − 1) − (1 − z)
z+z−2
z0 − 1
=−
= 1−z
=
=−
∈ R.
•
z−1
z−1
(1 − z)(z − 1)
|z − 1|2
(z − 1)(z − 1)
Si on note A le point d’affixe 1, on en déduit que les points A, M et M 0 sont donc alignés.
z−1
+1
(z − 1) + (1 − z)
z−z
2iIm(z)
z0 + 1
= 1−z
=
=−
∈ iR.
=−
•
z−1
z−1
(1 − z))(z − 1)
|z − 1|2
(z − 1)(z − 1)
Si on note B le point d’affixe −1, on en déduit que le triangle AM 0 B est rectangle en M 0 .
• |z 0 | =
On déduit de ces conditions (plus précisément des deux premières conditions) que M 0 est le point
d’intersection de la droite (AM ) avec le cercle unité.
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