Nombres complexes et trigonométrie

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis - Paris
Nombres complexes et trigonom´etrie
TD4
Exercice 27
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A tout point Md’affixe z6= 1, on associe le point M0d’affixe z0=z−1
1−¯z. Etablir que : |z0|= 1, z0−1 z−1
est r´eel et z0+ 1
z−1est imaginaire pur. En d´eduire une construction g´eom´etrique du point M0.
Solution.
• |z0|=|z−1|
|1−z|=|z−1|
|1−z|=|z−1|
|1−z|= 1.
Le point M0d’affixe z0est sur le cercle unit´e.
•z0−1
z−1=
z−1
1−z−1
z−1=(z−1) −(1 −z) (1 −z)(z−1) =−z+z−2
(z−1)(z−1) =−2Re(z)−2
|z−1|2∈R.
Si on note Ale point d’affixe 1, on en d´eduit que les points A,Met M0sont donc align´es.
•z0+ 1
z−1=
z−1
1−z+ 1
z−1=(z−1) + (1 −z) (1 −z))(z−1) =−z−z
(z−1)(z−1) =−2iIm(z)
|z−1|2∈iR.
Si on note Ble point d’affixe −1, on en d´eduit que le triangle AM 0Best rectangle en M0.
On d´eduit de ces conditions (plus pr´ecis´ement des deux premi`eres conditions) que M0est le point
d’intersection de la droite (AM ) avec le cercle unit´e.
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