04 - Algèbre linéaire Exercices (hors programme)

Algèbre linéaire.
Exercices 2014-2015
Les hors programme.
Formes linéaires, dualité, hyperplans.
1. Soit (i,j,k) la base canonique de 3.
On définit les vecteurs : u1 = 2.i – j + k, u2 = i – 2.j + k, u3 = i + j – 2.k.
a. Montrer que (u1, u2, u3) est une base de 3.
b. Trouver trois formes linéaires notées (u1*, u2*, u3*) telles que : ∀ 1 ≤ i,j ≤ 3, ui*(uj) = δi,j.
c. Vérifier que la famille (ui*) est une base de 3* (appelée base duale de (ui)).
Comatrice.
2. Soit A une matrice carrée et A’ la matrice (appelée comatrice de A et notée Com(A)) donc les coefficients
valent :
∀ 1 ≤ i,j ≤ n, a’i,j = (-1)i+j.det(Ai,j), où Ai,j est la matrice déduite de A en supprimant la ième ligne et la jème
colonne.
a. Montrer que : A.tA’ = tA’.A = det(A).In.
b. En déduire une expression de A-1 lorsque A est inversible.
0 L 0


3. Pour : M ∈ Mn(K), et : A =  M M
 ∈ Mn+1(K), calculer Com(A).
0



4. Soit : A ∈ Gln(K).
Montrer que : Com(A) ∈ Gln(K), puis que : (Com(A))-1 = Com(A-1).
5. Soit : A ∈ Mn(K).
a. Montrer que si A est inversible, Com(A) l’est aussi.
b. Montrer que si : rg(A) ≤ n – 2, alors : Com(A) = 0.
c. En utilisant des endomorphismes associés, montrer que si : rg(A) = n – 1, rg(Com(A)) = 1.
d. En déduire l’étude de rg(Com(A)) en fonction de rg(A).
6. Pour : A ∈ Mn(K), et en utilisant l’exercice précédent :
• calculer det(Com(A)),
• calculer Com(Com(…(Com(A))…)), répété k fois.
Groupe symétrique.
7. Décomposer en produit de cycles, de transpositions :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 , puis : σ 2 = 
 .
σ 1 = 
8
7
1
9
3
6
5
2
4
10
1
5
2
8
3
6
7
9
11
4




En déduire σ12014, puis σ22014.
8. a. Dans Sn, pour c1 un p-cycle, et c2 un q-cycle, à supports disjoints, montrer que : (c1 o c 2 ) p .q = Id N n .
En déduire que : ∀ σ ∈ Sn, σ n! = Id N n .
b. Expliquer comment calculer le plus petit kn dans
*, tel que : ∀ σ ∈ Sn, σ
kn
= Id N n .
Application : calculer k24.
9. Montrer que toute permutation de Sn peut s’écrire comme produit de transpositions prises dans la liste
(1 2), (2 3),…, (n 1).
On pourra commencer par exprimer toute transposition à partir de celles proposées.
10. Soit un entier : n ≥ 1, et : E = n, et : B = (e1, …, en), sa base canonique.
Pour une permutation : σ ∈ Sn, on définit : uσ ∈ L(E), par : ∀ 1 ≤ i ≤ n, u(ei) = eσ(i).
a. Montrer que toute transposition s’écrit comme composée de trois transpositions du type : ti = (1 i).
Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Exercices (hors programme).
-1-
En déduire que les transpositions (t2, …, tn) engendrent Sn.
b. Identifier ut lorsque t est une transposition.
c. Soit c le cycle : c = (1 2 … (n – 1) n), pour lequel on suppose qu’il est la composée de p transpositions.
Montrer que : p ≥ n – 1.
d. Donner le nombre minimal de transpositions permettant d’engendrer Sn.
11. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, et : u ∈ L(E).
On définit Φu, de An(E) (espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur E) dans lui-même, qui à f fait
correspondre fu, donnée par : ∀(x1,…,xn) ∈ En, fu(x1,…,xn) = f(u(x1),…,u(xn)).
a. Montrer que Φu est une homothétie de An(E).
On rappelle que An(E) est un K-espace vectoriel de dimension 1.
b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour avoir : Φu ≠ 0.
Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Exercices (hors programme).
-2-