04 - Algèbre linéaire Exercices (hors programme)

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Exercices (hors programme). - 1 -
Algèbre linéaire.
Exercices 2014-2015
Les hors programme.
Formes linéaires, dualité, hyperplans.
1. Soit (i,j,k) la base canonique de 
3
.
On définit les vecteurs : u
1
= 2.i – j + k, u
2
= i – 2.j + k, u
3
= i + j – 2.k.
a. Montrer que (u
1,
u
2
, u
3
) est une base de 
3
.
b. Trouver trois formes linéaires notées (u
1
*, u
2
*, u
3
*) telles que : ∀ 1 ≤ i,j ≤ 3, u
i
*(u
j
) = δ
i,j
.
c. Vérifier que la famille (u
i
*) est une base de 
3
* (appelée base duale de (u
i
)).
Comatrice.
2. Soit A une matrice carrée et A’ la matrice (appelée comatrice de A et notée Com(A)) donc les coefficients
valent :
∀ 1 ≤ i,j ≤ n, a’
i,j
= (-1)
i+j
.det(A
i,j
), où A
i,j
est la matrice déduite de A en supprimant la i
ème
ligne et la j
ème
colonne.
a. Montrer que : A.
t
A’ =
t
A’.A = det(A).I
n
.
b. En déduire une expression de A
-1
lorsque A est inversible.
3. Pour : M ∈ M
n
(K), et : A =
0
00
MM
L
∈ M
n+1
(K), calculer Com(A).
4. Soit : A ∈ Gl
n
(K).
Montrer que : Com(A) ∈ Gl
n
(K), puis que : (Com(A))
-1
= Com(A
-1
).
5. Soit : A ∈ M
n
(K).
a. Montrer que si A est inversible, Com(A) l’est aussi.
b. Montrer que si : rg(A) ≤ n – 2, alors : Com(A) = 0.
c. En utilisant des endomorphismes associés, montrer que si : rg(A) = n – 1, rg(Com(A)) = 1.
d. En déduire l’étude de rg(Com(A)) en fonction de rg(A).
6. Pour : A ∈ M
n
(K), et en utilisant l’exercice précédent :
• calculer det(Com(A)),
• calculer Com(Com(…(Com(A))…)), répété k fois.
Groupe symétrique.
7. Décomposer en produit de cycles, de transpositions :
=425639178
987654321
1
σ , puis : =4119763825110
1110987654321
2
σ .
En déduire σ
12014
, puis σ
22014
.
8. a. Dans S
n
, pour c
1
un p-cycle, et c
2
un q-cycle, à supports disjoints, montrer que :
n
N
qp
Idcc =
.
21
)( o .
En déduire que : ∀ σ ∈ S
n
,
n
N
n
Id=
!
σ .
b. Expliquer comment calculer le plus petit k
n
dans *, tel que : ∀ σ ∈ S
n
,
n
n
N
k
Id= σ .
Application : calculer k
24
.
9. Montrer que toute permutation de S
n
peut s’écrire comme produit de transpositions prises dans la liste
(1 2), (2 3),…, (n 1).
On pourra commencer par exprimer toute transposition à partir de celles proposées.
10. Soit un entier : n ≥ 1, et : E = 
n
, et : B = (e
1
, …, e
n
), sa base canonique.
Pour une permutation : σ ∈ S
n
, on définit : u
σ
∈ L(E), par : ∀ 1 ≤ i ≤ n, u(e
i
) = e
σ(i)
.
a. Montrer que toute transposition s’écrit comme composée de trois transpositions du type : t
i
= (1 i).

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Exercices (hors programme). - 2 -
En déduire que les transpositions (t
2
, …, t
n
) engendrent S
n
.
b. Identifier u
t
lorsque t est une transposition.
c. Soit c le cycle : c = (1 2 … (n – 1) n), pour lequel on suppose qu’il est la composée de p transpositions.
Montrer que : p ≥ n – 1.
d. Donner le nombre minimal de transpositions permettant d’engendrer S
n
.
11. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, et : u ∈ L(E).
On définit Φ
u
, de A
n
(E) (espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur E) dans lui-même, qui à f fait
correspondre f
u
, donnée par : ∀(x
1
,…,x
n
) ∈ E
n
, f
u
(x
1
,…,x
n
) = f(u(x
1
),…,u(x
n
)).
a. Montrer que Φ
u
est une homothétie de A
n
(E).
On rappelle que A
n
(E) est un K-espace vectoriel de dimension 1.
b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour avoir : Φ
u
≠ 0.