2.4 Idéal engendré par une partie

2.4 Idéal engendré par une partie
Définitions : Soit X une partie d’un anneau A. On appelle idéal engendré par X l’intersection de tous les idéaux de A
contenant X : c’est donc le plus petit idéal (au sens de l’inclusion) de A contenant X.
On le note Id(X).
Un idéal engendré par un seul élément est appelé idéal principal. Si cet élément est a on note Id(a) = (a) l’idéal
engendré par a. Si A est commutatif on a : (a) = {a.x / x
∈
A}.
Si (Ik) est une famille d’idéaux de A, l’idéal engendré par
∪
kk
I est constitué des sommes finies
∑
kk
x avec xk
∈
Ik; on
le note
∑
kk
I et on l’appelle somme des idéaux Ik.
On appelle produit de deux idéaux I et J l’idéal engendré par les produits x.y avec x
∈
I et y
∈
J : c’est l’ensemble des
sommes finie
∑
=
n
kkk
yx
1
, avec xk
∈
I et yk
∈
J. On généralise immédiatement au produit un nombre fini d’idéaux.