2.4 Idéal engendré par une partie Définitions : Soit X une partie d’un anneau A. On appelle idéal engendré par X l’intersection de tous les idéaux de A contenant X : c’est donc le plus petit idéal (au sens de l’inclusion) de A contenant X. On le note Id(X). Un idéal engendré par un seul élément est appelé idéal principal. Si cet élément est a on note Id(a) = (a) l’idéal engendré par a. Si A est commutatif on a : (a) = {a.x / x ∈ A}. Si (Ik) est une famille d’idéaux de A, l’idéal engendré par le note ∑I ∪I k k k est constitué des sommes finies ∑x k avec xk ∈ Ik; on k et on l’appelle somme des idéaux Ik. k On appelle produit de deux idéaux I et J l’idéal engendré par les produits x.y avec x ∈ I et y ∈ J : c’est l’ensemble des n sommes finie ∑x k =1 k y k , avec xk ∈ I et yk ∈ J. On généralise immédiatement au produit un nombre fini d’idéaux.