Cours de physique générale I

Cours de physique générale I
Systèmes de Communication
Dr Jean-Marie Fürbringer!
!
Section de Physique
L’essentiel du cours a été préparé par Prof. Olivier Schneider!
Leçon 4
Rotations
Coordonnées cylindriques
4.1 Objectifs d’apprentissage
•  Maîtriser les mouvements circulaires
–  Se rappeler de leurs propriétés
–  Visualiser les différents vecteurs représentatifs
–  Appliquer ces propriétés à une situation pour faciliter la
résolution
•  Savoir décrire vectoriellement une rotation
–  Parallèle ou non à un axe du système
•  Savoir dériver un vecteur tournant
JMF, oct 2015
5
3.14 Cinématique du point matériel
~r(t) = position par rapport à O
s(t) = abscisse curviligne
s(t)!
~v (t)
~r(t)
~r = ~r(s) = ~r(s(t))
z!
O!
x!
JMF, sept 2015
y!
s!
v(t) =
~v =
ds
= k~v k = vitesse scalaire
dt
d~r
d~r ds
d~r
=
=v
= vˆ
⌧
dt
ds dt
ds
6
3.14 Cinématique du point matériel (suite)
d
¨
~a(t) = ~x(t) = (~v (t))
dt
d
= (v ⌧ˆ)
dt
dv
dˆ
⌧
=
⌧ˆ + v
dt
dt
= ~ak + ~a?
⌧ˆ ·
JMF, sept 2015
~ak (t)
~v (t)
~a(t)
z!
O!
x!
~r(t)
~a? (t)
y!
dˆ
⌧
1 d 2
1 d
dˆ
⌧
=
⌧ˆ =
(1) = 0 ) ⌧ˆ ?
dt
2 dt
2 dt
dt
7
4.2 Mouvement circulaire
Un disque de rayon r, sur lequel se trouve un point P!
•  Repère Oxy !
–  O au centre du disque !
–  L’axe x passe par la position initiale du point P !
•  Si le disque tourne autour de son centre, le point P effectue un
mouvement circulaire!
•  La distance s parcourue par le point !
s=r✓
r et ✓ coordonnées polaires
✓ en radian
Leçon 13: rotations
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
8
4.3 Vitesse angulaire (scalaire)
•  La vitesse angulaire ω du point P correspond au nombre de
radians que le point P parcourt en une seconde !
•  Dans le cas où la vitesse de rotation du disque est constante : !
✓2 ✓1
✓
=
t2 t 1
t
•  Dans le cas général la vitesse angulaire instantanée ω du point P
est la dérivée de θ par rapport au temps!
✓
d✓
! = lim
=
t!0
t
dt
•  Dans le système d'unité SI, la vitesse angulaire se mesure en
radians par seconde!
!=
JMF, Oct 2015
9
4.4 Accélération angulaire (scalaire)
•  Rapport entre la variation de la vitesse angulaire et
l'intervalle de temps nécessaire à cette variation!
•  L’ accélération angulaire moyenne est définie par!
!
!2 !1
!
↵
¯=
t2
t2
=
t
•  L’accélération angulaire instantanée α est la dérivée de la
vitesse angulaire instantanée par rapport au temps!
↵ = lim
t!0
!
d!
=
t
dt
•  Dans le système d'unité SI, l'accélération angulaire se
mesure en radians par seconde au carré !
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
10
4.5 Mouvement circulaire uniforme
•  Mouvement circulaire ayant une vitesse angulaire ω constante!
!
✓˙ = ! ) ✓(t) = !t + ✓o
•  où θ0 correspond à l'angle θ au temps t = 0 !
•  En coordonnées cartésiennes!
x(t) = r cos ✓(t) = r cos (!t + ✓o )
y(t) = r sin ✓(t) = r sin (!t + ✓o )
JMF, oct 2015
11
4.6 Mouvement circulaire uniformément accéléré
•  Mouvement circulaire ayant une accélération angulaire α constante!
!˙ = ↵ ) !(t) = ↵t + !o
–  où ω0 correspond à la vitesse angulaire au temps t = 0 !
•  L’équation horaire devient!
1
✓(t) = ↵t2 + !o t + ✓o
2
–  où θ0 correspond à l'angle θ au temps t = 0 !
y
•  En coordonnée cartésienne!
!
JMF, oct 2015
1
x(t) = r cos ✓ = r cos ( ↵t2 + !o t + ✓o )
2
1
y(t) = r sin ✓ = r sin ( ↵t2 + !o t + ✓o )
2
P
✓
x
O
12
4.7 Vecteur vitesse (mouvement circulaire)
d
(r cos ✓(t))
dt
d
vy (t) = (r sin ✓(t))
dt
vx (t) =
x(t) = r cos ✓(t)
y(t) = r sin ✓(t)
y
~v
~r
✓
dr
si
=0
dt
r sin ✓(t)✓˙
vy (t) = r cos ✓(t)✓˙
vx (t) =
x
O
✓
◆
✓
◆
cos ✓
sin ✓
˙ cos ✓ sin ✓ + sin ✓ cos ✓) = 0
~r · ~v = r
· r✓˙
= r2 ✓(
sin ✓
cos ✓
si
JMF, oct 2015
dr
= 0 ) ~v ? ~r
dt
13
4.8 Accélération centripète et tangentielle
•  Comme la distance parcourue par le point P vaut
s = r θ , la vitesse v du point P vaut !
ds
d✓
=r
= r!
dt
dt
•  Comme cette vitesse est tangente à la trajectoire,
on obtient la composante de l’accélération du
point P tangente à la trajectoire!
v=
dv
d!
=r
= r↵
dt
dt
•  un point effectuant un mouvement circulaire
subit une accélération centripète qui est dirigée
vers le centre du cercle !
a✓ =
y
P
✓
x
O
v2
ar =
= r! 2
r
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
14
4.9 Accélération scalaire
Accélération tangentielle !
Accélération centripète !
v2
ar =
= r! 2
r
dv
d!
a✓ =
=r
= r↵
dt
dt
a✓ P
a
a=
JMF, Oct 2015
q
a2✓
+
a2r
=r
p
↵2
+
!4
ar
O
15
4.10 Evolution des vecteurs unités
soit O, ê1 , ê2 , ê3 avec O fixe
dê1
= E21 ê2 + E31 ê3
dt
(normal à ê1 puisque êi ·
3
dêi X
= Eji êj
dt j=1
êi · êk =
ik
=)
3
(avec Eii = 0)
0=
3
X
j=1
0
E T = @ E12
E13
JMF, Oct 2015
,
X
dêi
T
=
Eij
êj
dt
j=1
d
(êi · êk ) = 0
dt
Anti-symétrique:!
0
dêi
1 d 2
=
êi = 0)
dt
2 dt
E12
0
E23
1
E13
E23 A
0
Eji êj · êk + êi ·
3
X
Ejk êj = Eki + Eik
j=1
0
0
E T = @ !3
!2
!3
0
!1
1
!2
!1 A
0 Convention!!
16
4.11 Dérivée d’un vecteur tournant
Pour tout ~r fixé dans le repère :
X dêi
d~r
d
ri
=
r1 ê1 + r2 ê2 + r3 ê3 =
dt
dt
dt
i
!
X X
X X
= ri Eji êj =
Eji ri êj = E T ~r
i
0
0
@ !3
!2
j
!3
0
!1
0
1
!1
!
~ = @! 2 A
!3
JMF, Oct 2015
j
i
10 1 0
1
!2
r1
! 3 r 2 + ! 2 r3
! 1 A @r2 A = @ ! 3 r 1 ! 1 r 3 A = !
~ ^ ~r
0
r3
! 2 r 1 + ! 1 r2
d~r
=!
~ ^ ~r
dt
17
4.11 Dérivée d’un vecteur tournant
0
1
0 1
r1
~r = @r2 A
r3
!1
!
~ = @! 2 A
!3
Dérivée d’un vecteur tournant!
z
y
d~r
=!
~ ^ ~r
dt
~v
!
~
~r
✓
O
x
!
~
JMF, Oct 2015
Perpendiculaire au plan de rotation!
Parallèle à l’axe de rotation!
18
4.12 Interprétation du vecteur !
~
!
~
d~r
= 0 , donc ~r ne bouge pas
dt
) la direction de !
~ définit l’axe de rotation au temps t
) sens de !
~ = sens de rotation (règle main droite)
Si ~r est colinéaire à !
~ , alors
d
kd~rk = k~
! ^ ~rk dt = |!| dt k~rk sin ✓
~r(t)
✓
d
~r(t + dt) Mais kd~rk = k~rk sin ✓ d , donc ! =
dt
) la norme de !
~ est la vitesse angulaire de rotation
!
~
Cas particulier !
~ = const
d~r
~v =
=!
~ ^ ~r
dt
~a =
d~v
d
= (~
! ^ ~r) = !
~ ^ (~
! ^ ~r)
dt
dt
mouvement circulaire uniforme
JMF, sept 2015
~a = !
~ ^ (~
! ^ ~r)
~r
O!
~v = !
~ ^ ~r
⇢
v=! r
~a = ! 2~r
19
4.12 Rotation passive
yˆ 3
r
r
xˆ 3
yˆ 2
Changement de repère par une rotation passive R:!
⇢
O
Ox̂1 x̂2 x̂3 ! Oŷ1 ŷ2 ŷ3
xˆ 1
~r fixe
yˆ 1
€
dans Ox̂1 x̂2 x̂3 : ~r = x1 x̂1 + x2 x̂2 + x3 x̂3
dans Oŷ1 ŷ2 ŷ3 : ~r = y1 ŷ1 + y2 ŷ2 + y3 ŷ3
y1 = ~r · ŷ1
= (x1 x̂1 + x2 x̂2 + x3 x̂3 ) · ŷ1
= (ŷ1 · x̂1 )x1 + (ŷ1 · x̂2 )x2 + (ŷ1 · x̂3 )x3
0 1 0
10 1
y1
ŷ1 · x̂1 ŷ1 · x̂2 ŷ1 · x̂3
x1
@y2 A = @ŷ2 · x̂1 ŷ2 · x̂2 ŷ2 · x̂3 A @x2 A
(RP )ij = ŷi · x̂j
y3
ŷ3 · x̂1 ŷ3 · x̂2 ŷ3 · x̂3
x3
0 1 0
x1
x̂1 · ŷ1
@x2 A = @x̂2 · ŷ1
x3
x̂3 · ŷ1
JMF, sept 2015
x̂1 · ŷ2
x̂2 · ŷ2
x̂3 · ŷ2
10 1
x̂1 · ŷ3
y1
x̂2 · ŷ3 A @y2 A
x̂3 · ŷ3
y3
R–1 = RT
RP 1
ij
xˆ 2
= x̂i · ŷj
T
= (RP )ji = RP
ij
Matrice orthogonale (|R| =!1)20
4.13 Rotation active
r
r
yˆ 3
xˆ 3
yˆ 2
Rotation active des vecteurs:!
r
O
⇢
r'
Ox̂1 x̂2 x̂3 ! Oŷ1 ŷ2 ŷ3
xˆ 1
yˆ 1
~r
!
~r 0
€
avant la rotation : ~r = x1 x̂1 + x2 x̂2 + x3 x̂3
après la rotation : ~r = x01 x̂1 + x02 x̂2 + x03 x̂€
3 = x1 ŷ1 + x2 ŷ2 + x3 ŷ3
x01 = x̂1 · ~r 0
= x̂1 · (x1 ŷ1 + x2 ŷ2 + x3 ŷ3 )
= (x̂1 · ŷ1 ) x1 + (x̂1 · ŷ2 ) x2 + (x̂1 · ŷ3 ) x3
0 01 0
x1
x̂1 · ŷ1
@x02 A = @x̂2 · ŷ1
x03
x̂3 · ŷ1
|
x̂1 · ŷ2
x̂2 · ŷ2
x̂3 · ŷ2
{z
xˆ 2
10 1
x̂1 · ŷ3
x1
x̂2 · ŷ3 A @x2 A
x̂3 · ŷ3
x3
}
matrice de rotation Ra amenant Ox̂1 x̂2 x̂3 sur Oŷ1 ŷ2 ŷ3 ( et ~r sur ~r 0 )
= inverse de la matrice Rp permettant de passer des coordonnées
dans Ox̂1 x̂2 x̂3 aux coordonnées dans Oŷ1 ŷ2 ŷ3
JMF, sept 2015
21
4.14 Propriétés des rotations
•  Toute rotation conserve le produit scalaire (donc la norme):!
(R~a) · (R~b) = ~a · ~b
•  Composition de deux rotations -> produit des matrices de rotation!
•  Les rotations forment un groupe:!
–  le composition de deux rotations est une rotation!
–  l’identité est une rotation (d’angle 0 autour de n’importe quel axe): !
–  chaque rotation R a un inverse R–1 tel que R R–1 = R–1 R = I!
JMF, sept 2015
22
4.15 Propriétés des rotations
•  Attention: !
–  En général, la composition des rotations n’est pas commutative: !
R1 R2 6= R2 R1
–  Exemple:!
⇡
~
✓1 ( )
2
R1
R2
x̂
3
A
A
A
R2
A
A
O!
R1
x̂2
x̂1
⇡
✓~2 ( )
2
JMF, sept 2015
23
4.16 Coordonnées cylindriques
x3
P
P (⇢, , z)
z
O
x1 = ⇢ cos
x2
x2 = ⇢ sin
x3 = z
ρ
x1
JMF, Oct 2015
24
4.17 Lignes de coordonnées cylindriques
x3
(ρ,φ)
(ρ,z)
ρ
(z,φ)
z
O
x2
φ
x1
JMF, Oct 2015
25
4.18 Repère associé aux coord. cylindriques
x3
(ρ,φ)
(P, e⇢ , e , ez )
(ρ,z)
ρ
(z,φ)
z
z
O
x2
φ
x1
r = ⇢ê⇢ + zêz
JMF, Oct 2015
26
4.19 Coordonnées cartésiennes des vecteurs
du repère cylindrique
ê⇢ = cos x̂1 + sin x̂2
ê = sin x̂1 + cos x̂2
êz = x̂3
z
z
ê⇢ · ê = 0
ê⇢ · êz = 0
ê · êz = 0
Leçon 4: coordonnées cylindriques
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
27
4.20 Vitesse projetée sur le repère des coord. cylindriques
x1 = ⇢ cos
x2 = ⇢ sin
x3 = z
z
r = ⇢ê⇢ + zêz
v = ⇢e
˙ ⇢ + ⇢ ˙ e + żez
Comment arrive-t-on à ce résultat?
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
28
4.21 Dérivée temporelle des vecteurs unité
ê⇢ = cos x̂1 + sin x̂2
ê = sin x̂1 + cos x̂2
êz = x̂3
dê⇢
= ˙ sin x̂1 + ˙ cos x̂2
dt
z
dê
= ˙ cos x̂1
dt
dê⇢ ˙
= ê
dt
r = ⇢ê⇢ + zêz
˙ sin x̂2
dê
= ˙ ê⇢
dt
dr
d
˙ ⇢ + ⇢ ˙ e + żez
= ⇢ê
˙ ⇢ + ⇢ ê⇢ + żêz = ⇢e
dt
dt
Leçon 4: coordonnées cylindriques
Phys. Gen. I, GC, J.-M.
29
4.22 Accélération projetée sur le repère
v = ⇢e
˙ ⇢ + ⇢ ˙ e + żez
x3
de⇢ ˙
= e
dt
ez
z
O
eρ
x2
φ
x1
eφ
ρ
de
= ˙ e⇢
dt
dv
= ⇢¨e⇢ + ⇢ ¨e + ⇢˙ ˙ e + z̈ez
dt
+⇢˙
de⇢
de
+⇢˙
dt
dt
a = ⇢¨ ⇢ ˙ 2 e⇢ + ⇢ ¨ + 2⇢˙ ˙ e + z̈ez
4.23 Que retenir des coordonnées
cylindriques?
x1 = ⇢ cos
x2 = ⇢ sin
x3 = z
z
r = ⇢ê⇢ + zêz
v = ⇢e
˙ ⇢ + ⇢ ˙ e + żez
a = ⇢¨ ⇢ ˙ 2 e⇢ + ⇢ ¨ + 2⇢˙ ˙ e + z̈ez
Pendule mathématique
•  Point matériel P attaché à une tige rigide !
sans masse de longueur L, soumis à son poids
F, et oscillant dans un plan vertical !
•  Repère fixe (lié au référentiel): Oxyz!
O
L
•  Repère en mouvement:! P ê⇢ ê êz
(coordonnées cylindriques) !
•  Contraintes (ou liaisons):!
⇢
⇢ = L = const ) ⇢˙ = ⇢¨ = 0
z = ż = z̈ = 0
•  Accélération:!
~a =
•  2ème loi de Newton:!
L ˙ 2 ê⇢ + L ¨ ê
m~a = F~ + T~ ⇢
•  Projections sur les axes du repère:!
y
T
x
eˆ ρ
F
mL ˙ 2 = F cos
mL ¨ = F sin
équation différentielle à résoudre pour (t)...
… puis on peut tirer T(t)!
OS, 7 octobre 2014
eˆ φ
P
T sur ê⇢
sur ê
!
32
Pendule mathématique (suite)
! démo
•  Galilée observe que la mouvement d’un pendule !
(en particulier la période d’oscillation) ne dépend pas de m:
–  pour que l’équation du mouvement !
soit indépendante de m, il faut que ! mL ¨ =
F = mg, où g est une constante !
F
sin
mL
=
g
sin
L
•  Solution:
–  Mouvement périodique, mais pas de solution analytique simple!
(intégrale elliptique)
–  La période dépend de l’amplitude !
! démo
•  Approximation dans le cas de petites oscillations:
sin
⇠
=
)
g
¨⇠
=
L
) oscillateur harmonique de pulsation! =
OS, 7 octobre 2014
r
g
et de période T = 2⇡
L
s
L
g
33
Contraintes et forces de liaison
•  Point matériel astreint à se déplacer sur une courbe !
ou une surface lisse, fixe ou en mouvement.!
–  Exemples: !
•  Pendule mathématique, contraint à rester à une distance constante !
d’un point fixe (i.e. sur une surface sphérique centrée sur ce point)!
•  Wagonnet d’un « grand huit », qui ne doit pas dérailler!
•  Goutte d’eau coulant sur le pare-brise d’une voiture!
•  Bille dans un anneau en rotation
démo!
•  Force de liaison =
force exercée sur le point matériel!
pour qu’il obéisse à la contrainte géométrique!
–  toujours perpendiculaire à la courbe ou à la surface!
–  jamais de composante tangente à la courbe ou la surface !
(c’est-à-dire dans une direction où le point matériel peut bouger) !
–  la force de liaison devient nulle
la contrainte disparaît!
•  Souvent on ne spécifie pas le mécanisme qui exerce la contrainte!
(tout ce passe comme si la surface ou la courbe exerçait la force de
liaison)!
•  Le force de liaison est a priori inconnue; elle fait partie du problème à
résoudre !
•  La surface ou la courbe peut exercer une force tangente, mais ce n’est pas
une force de liaison (par exemple force de frottement)!
OS, 7 octobre 2014
34
Bob sur une piste cylindrique
z
Repère lié à la piste (référentiel): Oxyz!
O z
R
↵
x
Coordonnées cylindriques: ! ⇢, , z
Contrainte: le bob reste sur la piste!
⇢ = R, ⇢˙ = 0, ⇢¨ = 0
⇢
eˆ z
verticale
y
N
eˆ φ
eˆ ρ ↵
plan
horizontal
N
R
OS, 7 octobre 2014
y
O
x
Forces:!
⇢
poids: m~g = mg(cos ↵x̂ sin ↵ẑ)
~ = N ê⇢
force de liaison: N
mg
⇢
xˆ
Repère en mouvement avec le bob:!
P ê⇢ ê êz
eˆ φ
eˆ ρ
mg
x̂ = cos ê⇢ sin ê
m~g = mg(cos ↵ cos ê⇢
cos ↵ sin
ê
sin ↵ êz )
angle ↵ entre x̂ et m~g
35
Bob sur une piste cylindrique (suite)
r
a = (ρ˙˙ − ρφ˙ ) eˆ + (ρφ˙˙ + 2ρ˙ φ˙ ) eˆ + ˙z˙ eˆ
2
€
€
ρ
φ
z
= −Rφ˙ 2 eˆ ρ + Rφ˙˙ eˆ φ + ˙z˙ eˆ z
r
N = −N eˆ ρ
r
mg = mg (cosα cosφ eˆ ρ − cosα sinφ eˆ φ − sinα eˆ z )
r
r r
2ème loi de Newton : ma = mg + N
&sur eˆ ρ: −mRφ˙ 2 = mg cosα cosφ −N
(
'sur eˆ φ: mR ˙φ˙ = −mg cosα sinφ
()sur eˆ z:
m˙z˙ = −mg sinα
z(t) : mouvement uniformément accéléré
pesanteur = g sin ↵
(t) : mouvement d’un pendule mathématique
pesanteur = g cos ↵, longueur = R
N (t) : 3mg cos ↵ cos (t) + A
(A = constante d’intégration déterminée par les conditions initiales)
OS, 7 octobre 2014
36