Leçon 242 : Suites de nombres réels

Leçon 242 : Suites de nombres réels
I Généralités
Déf : On nomme
unn∈ℕ
une suite de réels, toute application
de ℕ dans ℝ qui a n associe
un
1 )Variations :
–Une suite est croissante ssi ∀ n ∈ ℕ,
un1un
–Une suite est décroissante ssi ∀ n ∈ ℕ,
un1un
–Une suite est monotone ssi elle est croissante ou
décroissante
2 )Bornes :
–Une suite est majorée ssi ∃ M ∈ ℝ tq ∀ n ∈ ℕ,
un≤M
–Une suite est minorée ssi ∃ N ∈ ℝ tq ∀ n ∈ ℕ,
un≥N
–Une suite est bornée ssi ∃ (N,M) ∈ ℝ² tq
tq ∀ n ∈ ℕ,
N≤un≤M
3 )Convergence :
Déf : Une suite
unn∈ℕ
converge vers  ssi
∀  >0 ∃ N ∈ N tq ∀ n  N ,
∣
un−
∣
Not : Dans ce cas on note
= lim
n ∞
un
Prop :  est unique
Prop : Toute suite convergente est bornée
4 )Suite extraite :
Def : On dit que
vnn∈ℕ
est une suite extraite de la suite
unn∈ℕ
ssi il existe une application f de ℕ ds ℕ, strictement
croissante, telle que
vn=ufn
Prop : Toute suite extraite d'une suite convergente vers , est
convergente vers .
5 )Suite de Cauchy
Déf :
unn∈ℕ
est dite de Cauchy si
∀  > 0 ∃ N ∈ ℕ tq ∀ n  N et ∀ mN,
∣
un−um
∣
Prop : Toute suite convergente est de Cauchy
Th :
unn∈ℕ
de ℝ est convergente ⇔
unn∈ℕ
est de
Cauchy
II Théorèmes d'existence de limite
Th :
–Si
unn∈ℕ
est de Cauchy et dans ℝ alors elle converge.
Th :
–Si
unn∈ℕ
est croissante et majorée alors elle converge.
–Si
unn∈ℕ
est décroissante et minorée alors elle
converge.
Ex
u0=a0
v0=ba
un1= unvn
vn1=unvn
2
Th des segments emboîtés :
Soient
In=[ un, vn]
des segments de ℝ, on suppose que
unn∈ℕ
est croissante,
unn∈ℕ
est décroissante et que
lim
n∞
un−vn=0
alors ∃  ∈ ℝ tq
∩
n∈ℕ In={}
Cor : Suites adjacentes
{
unn∈ ℕ croissante
vnn∈ℕ croissante
lim
n∞
un−vn=0
⇒
{
lim
n∞
un=lim
n ∞
vn=
∀ p , q∈ℕ , v puq
Ex :
Sn=∑
i=1
n−1n
n
S2p et S2p+1 sont adjacentes
Th de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite bornée de ℝ, on peut extraire une suite
convergente dans ℝ.
Ex :
un=−1n
n
III Opérations sur les limites
 = 0
Th : L'ensemble des suites convergeant vers 0 est un sous-
espace vectoriel de l'ensemble des suites bornées.
Th : Le produit d'une suite qui tend vers 0 par une suite bornée
est une suite qui tend vers 0. On dira que l'ensemble des suites
qui tendent vers 0 est absorbant.
 ≠ 0
Rq : On peut toujours se ramener au cas où
unn∈ℕ
tend
vers 0 en posant
vn=un−
ou
vn=1
un
Th : Si
unn∈ℕ
et
vnn∈ℕ
sont convergentes, alors :
●
lim
n∞
unvn= lim
n∞
unlim
n∞
vn
●
lim
n∞
vn= lim
n ∞
vn
●
lim
n∞
un×vn= lim
n∞
un×lim
n∞
vn
● Si
lim
n∞
un≠0
alors
lim
n∞
1
un
=1
lim
n∞
un
L'ensemble
Cℝℕ
des suites convergentes est un sous-
espace vectoriel de
Bℝℕ
et l'application lim qui à une
suite fait correspondre sa limite est une application linéaire.
IV Théorèmes de comparaison :
Prop :
Si
lim
n∞
n=0
et si
∣
un
∣
n
à partir d'un certain rang,
alors
lim
n∞
un=0
Théorème d'encadrement :
● Si
vnunwn
à partir d'un certain rang et si
lim
n∞
vn=lim
n∞
wn=
alors
unn∈ℕ
converge vers .
● Si
vnun
à partir d'un certain rang et si
lim
n∞
vn=∞
alors
lim
n∞
un=∞
Ex :
un=Enx
x
Th (comparaison logarithmique )
Si
unn∈ℕ
et
vnn∈ℕ
sont deux suites à termes
strictement positifs et si, à partir d'un certain rang
un1
un
vn1
vn
alors
un=Ovn
App:
∀ n  N,
∣
un1
un
∣
k1
alors
lim
n∞
un=∞
∀ n  N,
∣
un1
un
∣
k1
alors
lim
n∞
un=0
Th ( Moyenne de Cesaro )
Si
unn∈ℕ
converge vers  alors
vn=u1... un
n
converge
vers 
© Vincent Obaton, 2006 Préparation à l'agrégation interne