Leçon 242 : Suites de nombres réels

Leçon 242 : Suites de nombres réels
I Généralités
Déf : On nomme un n ∈ℕ une suite de réels, toute application
de ℕ dans ℝ qui a n associe u n
1 )Variations :
– Une suite est croissante ssi ∀ n ∈ ℕ, un 1u n
– Une suite est décroissante ssi ∀ n ∈ ℕ, un 1u n
– Une suite est monotone ssi elle est croissante ou
décroissante
2 )Bornes :
– Une suite est majorée ssi ∃ M ∈ ℝ tq ∀ n ∈ ℕ, un ≤M
– Une suite est minorée ssi ∃ N ∈ ℝ tq ∀ n ∈ ℕ, un ≥ N
– Une suite est bornée ssi ∃ (N,M) ∈ ℝ² tq
tq ∀ n ∈ ℕ, N ≤u n ≤M
3 )Convergence :
Déf : Une suite u n n ∈ℕ converge vers  ssi
∀  >0 ∃ N ∈ N tq ∀ n  N , ∣un−∣
Not : Dans ce cas on note = lim u n
n∞
Prop :  est unique
Prop : Toute suite convergente est bornée
4 )Suite extraite :
Def : On dit que v n n∈ℕ est une suite extraite de la suite
un n ∈ℕ ssi il existe une application f de ℕ ds ℕ, strictement
croissante, telle que v n=u f n 
Prop : Toute suite extraite d'une suite convergente vers , est
convergente vers .
5 )Suite de Cauchy
Déf : un n ∈ℕ est dite de Cauchy si
∀  > 0 ∃ N ∈ ℕ tq ∀ n  N et ∀ mN, ∣un−u m∣
Prop : Toute suite convergente est de Cauchy
Th : un n ∈ℕ de ℝ est convergente ⇔ u n n ∈ℕ est de
Cauchy
II Théorèmes d'existence de limite
Th :
– Si u n n ∈ℕ est de Cauchy et dans ℝ alors elle converge.
Th :
© Vincent Obaton, 2006
Si u n n ∈ℕ est croissante et majorée alors elle converge.
Si u n n ∈ℕ est décroissante et minorée alors elle
converge.
–
–
Ex u0 =a 0
v 0 =ba
u n1 =  un v n
v n1 =
un v n
2
Th des segments emboîtés :
Soient I n =[ un , v n ] des segments de ℝ, on suppose que
un n ∈ℕ est croissante, u n n ∈ℕ est décroissante et que
lim u n−v n=0 alors ∃  ∈ ℝ tq
∩ I n ={ }
n∈ℕ
n ∞
Cor : Suites adjacentes
{
u n n∈ℕ croissante
v n n∈ℕ croissante ⇒
lim u n −v n =0
n ∞
Ex :
n ∞
n ∞
∀  p , q ∈ℕ , v pu q
n
−1
n
i =1
n
S n=∑
{
lim un= lim vn =
S2p et S2p+1 sont adjacentes
Th de Bolzano-Weierstrass :
De toute suite bornée de ℝ, on peut extraire une suite
convergente dans ℝ.
n
−1
Ex : un =
n
III Opérations sur les limites
=0
Th : L'ensemble des suites convergeant vers 0 est un sousespace vectoriel de l'ensemble des suites bornées.
Th : Le produit d'une suite qui tend vers 0 par une suite bornée
est une suite qui tend vers 0. On dira que l'ensemble des suites
qui tendent vers 0 est absorbant.
≠0
Rq : On peut toujours se ramener au cas où u n n ∈ℕ tend
1
vers 0 en posant v n=u n− ou v n= u
n
Th : Si u n n ∈ℕ et v n n∈ℕ sont convergentes, alors :
●
lim u n v n = lim u n  lim v n
n ∞
n∞
n ∞
lim  v n = lim v n
●
n ∞
●
●
n  ∞
lim u n ×vn = lim u n× lim vn
n ∞
Si
n ∞
n ∞
lim u n ≠0 alors
n ∞
lim
n ∞
1
1
=
un lim u n
n ∞
L'ensemble C ℝℕ  des suites convergentes est un sousespace vectoriel de Bℝℕ  et l'application lim qui à une
suite fait correspondre sa limite est une application linéaire.
IV Théorèmes de comparaison :
Prop :
Si lim  n=0 et si ∣un∣ n à partir d'un certain rang,
n ∞
alors
lim u n=0
n ∞
Théorème d'encadrement :
● Si v nu nw n à partir d'un certain rang et si
lim vn = lim w n= alors un 
converge vers .
n ∞
● Si
alors
n ∈ℕ
n ∞
v nu n
à partir d'un certain rang et si
lim vn =∞
n ∞
lim u n=∞
n ∞
E nx 
x
Th (comparaison logarithmique )
Si u n n ∈ℕ et v n n∈ℕ sont deux suites à termes
strictement positifs et si, à partir d'un certain rang
u n1 v n 1

alors u n =O v n 
un
vn
App:
u n 1
k1 alors lim u n=∞
∀ n  N,
n ∞
un
u n 1
k1 alors lim u n=0
∀ n  N,
n ∞
un
Th ( Moyenne de Cesaro )
u 1... u n
Si u n n ∈ℕ converge vers  alors v n=
converge
n
vers 
Ex :
un =
∣ ∣
∣ ∣
Préparation à l'agrégation interne