Cours d`analyse L1S1P

Cours d’analyse L1S1P
2017
Analyse L1S1 P
Objectifs :
1Apprendre à calculer avec des formules :
domaines de définition,
dérivées
primitives
développements limités
2Se désinhiber face auxdites formules. À la fin de ce semestre vous devriez
trouver les questions suivantes complètement bateau :
Trouver le domaine de définition de
f(X)= esin(1
X)cos(p1XX)
tan(X2+X+1)
Trouver la limite en 0 de
f(X)=
ep1cos(X)cos(X)
arctan(X)arcsin(X) X
ln(1+eX2cos(X)
sin(X))
etc.
3Savoir pourquoi ces formules sont importantes : on verra d’où viennent les
fonctions usuelles, et en quoi l’étude des formules où elles apparaissent est
utile.
Analyse L1S1 P
Aujourd’hui :
Les nombres complexes.
Analyse L1S1 P
Rappels sur le corps des nombres réels.
On sait mettre une structure de corps sur la droite : cela donne les nombres réels, R.
Un corps, c’est un ensemble Esur lequel sont définies deux opérations : +et .,qui
vérifient les propriétés suivantes :
1Elles sont associatives :
(x+y)+z=x+(y+z)et x.(y.z)=(x.y).z.
2Elles sont commutatives :
x+y=y+xet x.y=y.x.
3La multiplication se distribue sur l’addition :
x.(y+z)=x.y+x.z
4Il y a deux éléments distincts 0 et 1 tels que
0+x=xet 1.x=x8x2E
5Pour tout x, il existe un opposé xtel que
x+x=0.
6Pour tout x6=0, il existe un inverse x1tel que
x1.x=1.
ok pour N,Z,Q,R.
ok pour N,Z,Q,R.
ok pour N,Z,Q,R.
ok pour N,Z,Q,R.
ok pour Z,Q,R.
ok pour Q,R.
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Mettre une structure de corps sur le plan (1) ?
•Sur le plan (vectoriel), nous disposons déjà d’une addition :
(a,b)+(a0,b0)=(a+a0,b+b0).
0=(0,0).
•Pour notre 1, il faut faire un choix : 1 =(1,0).
IDessin au tableau
Si l’on désigne par ile point (0,1), on peut donc écrire tout élément zdu plan sous la
forme z=a+ib et il n’y a plus qu’à trouver la bonne multiplication.
•Sur le plan, nous disposons aussi du produit scalaire et de la longueur associée :
z=a+ib ,z0=a0+ib0 <z,z0>=aa0+bb0et |z|2=<z,z>
qui vérifient
|z+z0|2=|z|2+<z,z0>+|z0|2
Lorsque aet a0sont réels, on a bien sûr |a.a0|=|a|.|a0|. Il est naturel de demander à
notre multiplication de vérifier cette propriété de manière générale : on veut avoir
|z.z0|=|z|.|z0|.Alors:
<z.z0,z.z00 >=|z.z0+z.z00|2|z.z0|2|z.z00|2
=|z|2.|z0+z00|2|z|2.(|z0|2|z00|2)
=|z|2<z,z0>
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Mettre une structure de corps sur le plan (2) ?
•On a vu que pour mettre une structure de corps sur le plan, pour laquelle on ait
|z.z0|=|z|.|z0|(8z,z0)
il fallait avoir :
<z.z0,z.z00 >=|z|2<z,z0>(8z,z0)
•En particulier, avec z=z0=iet z00 =1, on obtient
<i2,i>=|i|2<i,1>=0
donc i2doit être perpendiculaire à i. C’est donc soit 1, soit 1.
Isi l’on pose i2=1, on a (i1)(i+1)=0 alors que (i1)et (i+1)sont non
nuls, ce qui est impossible dans un corps (le nombre (1+i)1ne pourrait pas
exister !).
Isi l’on pose i2=1 ... ça marche ! C’est ce que nous allons vérifier.
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Mettre une structure de corps sur le plan (3) ?
•On pose donc i2=1, ce qui nous incite à définir de manière générale
(a+ib).(a0+ib0)=(aa0bb0)+i(ab0+a0b)
L’opération +est associative, commutative, inversible, et a un élément neutre :
ok, c’est juste l’addition des vecteurs.
L’opération .est commutative :
(a+ib).(a0+ib0)=(aa0bb0)+i(ab0+ba0)=(a0+ib0).(a+ib).
L’opération .est associative et distributive sur +:
Ià faire au tableau
On a bien 1.z=z:
(1+i0).(a+ib)=(1.a0.b)+i(1.b+0.a)=a+ib .
Il reste à vérifier que tout z6=0 admet un inverse z1.
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Mettre une structure de corps sur le plan (4) ?
•Pour z=a+ib,onpose
¯z=aib .
On a alors l’égalité z.¯z=|z|2=a2+b2.
Comme a2+b2est un réel strictement positif dès que z6=0, on peut
l’inverser et écrire
z.
1
a2+b2.¯z=1
ce qui montre que tout z6=0 est inversible et que son inverse est
z1=¯z
|z|2.
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Vocabulaire (1)
Muni de ces opérations +et .le plan est appelé corps des nombres
complexes, et noté C.
Si z=a+ib 2C,onditque
le nombre réel aest sa partie réelle, ce que l’on note a=Re(z),
le nombre réel best sa partie imaginaire, ce que l’on note
b=Im(z),
le nombre réel |z|=pa2+b2est son module,
le nombre complexe ¯z=aib est son conjugué.
Pour avoir tout le vocabulaire nécessaire, il nous reste à introduire
l’argument ...
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L’argument (1)
On pose eix =cos(x)+isin(x). Comme on le voit tout de suite, x7! eix est une
fonction 2⇡-périodique à valeurs dans le cercle unité : |eix |2=cos2(x)+sin2(x)=1.
Formules d’Euler
On a l’égalité ei⇡=1.
On a l’égalité cos(x)= eix +eix
2.
On a l’égalité sin(x)= eix eix
2i.
La notation eix s’explique par des résultats un peu trop durs à démontrer en L1, c’est
plutôt du niveau L2 : disons juste que ei✓est la valeur en i✓d’une fonction
exp :C!C
z7! 1+z+z2
2!+z3 3!+···
vérifiant les propriétés suivantes :
si xest réel, exp(x)=ex: la fonction exponentielle que nous connaissons bien,
pour tous zet z0complexes, on a exp(z+z0)=exp(z).exp(z0),
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L’argument (2)
On va utiliser, sans les démontrer, les deux résultats suivants :
Théorème
Pour tous xet yréels, on a l’égalité ei(x+y)=eix .eiy .
Théorème
Soit z=a+ib un nombre complexe de module 1. Alors
a) Il existe un nombre réel ✓tel que ei✓=z.
b) Les réels ✓1et ✓2sont deux solutions si et seulement si ✓1✓2
2⇡est un nombre entier.
Définition
Soit z6=0 un nombre complexe. Un argument de zest un nombre réel ✓tel que l’on
ait l’égalité z
|z|=ei✓.
D’après le théorème ci-dessus, un tel argument existe, et si ✓0est un argument, alors
l’ensemble de tous les arguments est
{...,✓04⇡,✓02⇡,✓0,✓0+2⇡,✓0+4⇡,...}
En particulier, il en existe un, et un seul, appelé l’argument principal de zqui est
contenu dans [0,2⇡[.
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Vocabulaire (2)
Ainsi, un nombre complexe peut toujours être écrit sous la forme
z=a+ib ,
c’est la forme algébrique.
Il peut aussi toujours être écrit sous la forme
z=⇢ei✓textavec ⇢0et✓2R,
c’est une forme géométrique.
Si ⇢>0et
✓2[0,2⇡[on dit que c’est la forme géométrique principale.
Pour passer de l’une à l’autre :
a=⇢cos(✓)
b=⇢sin(✓)
⇢=pa2+b2=|z|
✓=(arcos(a
⇢)si b0
2⇡arcos(a
⇢)si b<0
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Àquoiçasert?
La découverte des nombres complexes est en partie dûe à la remarque suivante :
Théorème
Soit P(Z)=a0+a1Z+···+anZnun polynôme à coefficients complexes. Alors il
existe un nombre complexe ↵tel que P(↵)=0 : tout polynôme complexe admet une
racine dans C. En factorisant : tout polynôme est de la forme
P(Z)=an(Z!1)↵1···(Z!s)↵s
Et alors ?
Dans les temps moyenageux, on accordait beaucoup d’importance à la résolution des
équations polynomiales à coefficients réels. Par exemple :
X3+pX +q=0.
Il se trouve que pour trouver une formule donnant les solutions réelles de ces
polynômes de degré 3, on a besoin des nombres complexes. Ce sont les formules de
Cardan, que nous allons bientôt voir.
Mais avant, revenons sur l’équation du second degré.
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Trouver les racines carrées d’un nombre complexe sous
forme algébrique
Soit z0=a+ib un nombre complexe. Trouvons les solutions de Z2=z0. Notons
z=x+iy.Onaalors
z2=(x2y2)+2xyi
donc on doit avoir
x2y2=a
2xy =b.
C’est un système d’équations de degré 2, donc a priori du à résoudre.
Astuce : on rajoute l’équation |z|2=|z0|:
x2y2=a
x2+y2=pa2+b2=|z0|
2xy =b
,
et l’on déduit : p2x=±p|z0|+aet y=b
2x
(attention au cas x=0 quand même). En remettant tout ensemble, on déduit :
z=± r|z0|+Re(z0)
2+i.sgn(b)r|z0|Re(z0) 2!
Remarque : les deux solutions trouvées ainsi sont bien opposées l’une de l’autre.
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Trouver les racines d’un polynôme de degré 2
Soit P(Z)=aZ 2+bZ +cun polynôme de degré 2 à coefficients complexes. On a
l’égalité
P(Z)=a"✓Z+b
2a◆2
b24ac
4a2#
Posons =b24ac. On sait trouver tel que 2=.Onaalors
P(Z)=a"✓Z+b
2a◆2
✓
2a◆2#
et donc
P(Z)=a✓Zb+
2a◆✓Zb 2a◆
qui nous donne les deux solutions
Z±=b±
2a.
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Racines de polynômes de degré 3 et +
Considérons une équation de la forme
z3+pz +q=0
Astuce : on pose z=u+v, et on développe
u3+v3+3uv2+3u2v+pu +pv +q=0,(p+3uv )(u+v)+(q+u3+v3)=0,
expression qui s’annule dès que
⇢uv =p
3
u3+v3=q
Posant U=u3et V=v3, ces dernières équations impliquent les suivantes :
UV =p3
27 et U+V=q
donc Uet Vsont solutions de
Z2+qZ p3
27 =0.
On en déduit
U=q+
2et V=q 2
pour un certain tel que 2=q2+4
27 p3.
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Racines de polynômes de degrés 3
Finalement, les solutions sont de la forme
z=u+vavec 8
>
<
>
:
u3=q
2
v3=q+
2
2=q2+4
27 p3
A priori, on a trop de solutions : il existe trois nombres complexes !tels que !3=1,
ce sont 1, j=1+ip3
2et ¯
j=1ip3
2.
Par conséquent, une équation z3=Za 3 solutions, exactement, et notre système
ci-dessus en a 9. Ce n’est pas très grave : si on sait les calculer, il suffitdenegarder
que celles qui fonctionnent.
Problème : on ne sait pas en général trouver les racines cubiques d’un nombre
complexe en fonction de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, sans passer par la
forme polaire ! ! !
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•Cas particulier : pet qsont réels et est positif. On peut écrire sans ambiguïté :
z0=3
sq+p
2+3
sq+p
2
puis revérifier par le calcul que c’est bien une racine. Dans ce cas, il n’y a pas d’autre
racine réelle, et les deux racines complexes conjuguées sont
zk=jk3
sq+p
2+¯
jk3
sq+p
2(k=1,2)
Exemple : le nombre plastique ⇢=3
r1+3
q1+3
p1+3
p1+···est l’unique racine
réelle de Z3Z1. La formule ci-dessus donne :
⇢=
3
p108 +12p69 +3 p108 12p69
6
C’est en gros le seul cas dans lequel on peut dire quelque chose de raisonnable.
Par exemple, en utilisant (par exemple) les formules d’addition des fonctions
trigonométriques, on peut vérifier sans trop de peine que 2 cos(2⇡
9)est l’une des trois
racines réelles de Z33Z+1... Essayez d’en dire plus grâce aux formules ci-dessus !
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En degrés >3
Il existe aussi des formules à prendre avec encore plus de précautions pour les
polynômes de degré 4, mais on sait (Abel, Galois, XVIII-ème) qu’il n’en existe pas
pour les polynômes de degrés 5.
Remarque : ce n’est pas très grave, il n’y a aucune application de la vie courante qui
demande de faire cela. Par contre, il existe de nombreux problèmes qui dépendent de
la recherche de valeurs approchées de ces racines.
Voici un exemple : en dynamique des populations, ou en économie, ou dans des tas
d’autres domaines, on se retrouve à étudier des suites récurrentes du genre suivant
un+d=ad1un+d1+···+a0un(a06=0).
On introduit le polynôme caractéristique P(Z)=Zdad1Zd1···a0.
Théorème.
Si toutes les racines de P(Z)sont de module strictement inférieur à 1, alors (un)
tend vers 0.
Si toutes les racines de P(Z)sont de module inférieur à ou égal à 1, alors (un)
tend vers 0.
Si au moins une racines de P(Z)est de module strictement supérieur à 1, alors
pour presque toutes les conditions initiales, (un)explose.
Dans le fichier Weyl.py disponible sur ma page personnelle, un tel algorithme est
implémenté, et un didacticiel est disponible pour expliquer comment ça marche.
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