Fiche n°4 : Champ et potentiel électrostatiques - MP*1

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MP*1
Fiche n°4 : Champ et potentiel électrostatiques
Force électrique subit par une charge 𝒒 en 𝑴 : 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ (𝑀)
Energie potentielle d’une charge 𝒒 en 𝑴 : 𝐸𝑝 = 𝑞𝑉(𝑀)
𝑄
𝑄
𝑄
𝑄
Charge ponctuelle 𝑸, en 𝑶 : 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟2 𝑢
⃗⃗𝑟 ; 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀
𝑜
Charges ponctuelles 𝑸𝒌 , en 𝑶𝒌 : 𝐸⃗⃗ (𝑀) = ∑𝑘
𝑜
𝑄𝑘
4𝜋𝜀𝑜 𝐴𝑘 𝑀3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑘 𝑀 ; 𝑉(𝑀) = ∑𝑘
𝑜
𝑄𝑘
𝑜𝑟
4𝜋𝜀𝑜 𝐴𝑘 𝑀
Les propriétés du champ électrostatique :
Relation de Maxwell-Faraday : 𝑟𝑜⃗𝑡(𝐸⃗⃗ ) = ⃗0⃗ ↔ ∮ 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑙⃗ = 0
𝜌
𝑄
Relation de Maxwell-Gauss : 𝑑𝑖𝑣(𝐸) = 𝜀 ↔ ∯ 𝐸⃗⃗ . 𝑛⃗⃗𝑑𝑆 = 𝜀𝑖𝑛𝑡
𝑜
𝑜
𝐵
Relations entre le champ et le potentiel : 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗𝑑(𝑉) ↔ ∫𝐴 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑙⃗ = 𝑉(𝐴) − 𝑉(𝐵)
Le champ 𝐸⃗⃗ est dirigé vers les potentiels décroissants.
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
Les propriétés de symétrie du champ électrostatique :
Si la distribution de charges est invariante par une translation 𝑇, 𝐸⃗⃗ (𝑇(𝑀)) = 𝑇 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) =
𝐸⃗⃗ (𝑀) et 𝑉(𝑇(𝑀)) = 𝑉(𝑀)
Si la distribution de charges est invariante par une rotation 𝑅, 𝐸⃗⃗ (𝑅(𝑀)) = 𝑅 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) et
𝑉(𝑅(𝑀)) = 𝑉(𝑀)
Si la distribution de charges est invariante par une symétrie 𝑆 par rapport à un plan
𝐸⃗⃗ (𝑆(𝑀)) = 𝑆 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) et 𝑉(𝑆(𝑀)) = 𝑉(𝑀)
Si 𝑀 appartient à un plan de symétrie, 𝐸⃗⃗ (𝑀) appartient à ce plan.
Si 𝑀 appartient à un plan d’antisymétrie, 𝐸⃗⃗ (𝑀) est perpendiculaire à ce plan.
Flux du champ électrostatique :
Si en géométrie sphérique 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 𝐸(𝑟)𝑢
⃗⃗𝑟 , ∯
𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒
𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 4𝜋𝑟 2 𝐸(𝑟)
Si en géométrie cylindrique 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 𝐸(𝑟)𝑢
⃗⃗𝑟 , ∯𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 2𝜋𝑟ℎ𝐸(𝑟)
Champ et potentiel créé par une boule de centre 𝑂, de rayon 𝑅 , chargé uniformément, de
𝑄
𝑄
𝑄
𝑄
charge 𝑄 : si 𝑟 > 𝑅 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟 2 𝑢
⃗⃗𝑟 ; 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟
𝑜
𝑜
𝑜
𝑜
Champ électrostatique créé par une nappe surfacique dans le plan 𝑥𝑂𝑦 chargée 𝜎
uniforme :
𝜎
Si 𝑧 > 0, 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 2𝜀 𝑢
⃗⃗𝑧
𝑜
𝜎
Si 𝑧 < 0, 𝐸⃗⃗ (𝑀) = − 2𝜀 𝑢
⃗⃗𝑧
𝑜
Condensateur plan
Armatures de surface 𝑆, chargées ±𝑄 = 𝜎𝑆, de ddp 𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 , d’épaisseur 𝑒.
𝜀 𝑆
Capacité : 𝐶 = 𝑜𝑒
Charge : 𝑄 = 𝐶𝑈
𝜎
Champ entre les armatures : 𝐸⃗⃗ = 𝜀 𝑢
⃗⃗𝑧 =
𝑈
𝑒
𝑉1
𝐸⃗⃗
𝑉2 < 𝑉1
𝑜
𝑢
⃗⃗𝑧
Force d’une armature sur l’autre : ‖𝐹⃗ ‖ =
1
𝑆𝜎2
2𝜀𝑜
1
1 𝑄2
Energie d’un condensateur : 𝑊𝐸 = 2 𝑄𝑈 = 2 𝐶𝑈 2 = 2
Energie électrostatique :
La densité d’énergie électrostatique est : 𝜔𝐸 (𝑀) =
L’énergie électrostatique : 𝑊𝐸 = ∭𝑀∈𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝜀𝑜 𝐸 2 (𝑀)
𝜀𝑜 𝐸 2 (𝑀)
2
𝐶
2
𝑑𝜏𝑀
𝑧
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