Fiche n°4 : Champ et potentiel électrostatiques - MP*1
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MP*1 Fiche n°4 : Champ et potentiel électrostatiques Force électrique subit par une charge 𝒒 en 𝑴 : 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ (𝑀) Energie potentielle d’une charge 𝒒 en 𝑴 : 𝐸𝑝 = 𝑞𝑉(𝑀) 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 Charge ponctuelle 𝑸, en 𝑶 : 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟2 𝑢 ⃗⃗𝑟 ; 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑜 Charges ponctuelles 𝑸𝒌 , en 𝑶𝒌 : 𝐸⃗⃗ (𝑀) = ∑𝑘 𝑜 𝑄𝑘 4𝜋𝜀𝑜 𝐴𝑘 𝑀3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑘 𝑀 ; 𝑉(𝑀) = ∑𝑘 𝑜 𝑄𝑘 𝑜𝑟 4𝜋𝜀𝑜 𝐴𝑘 𝑀 Les propriétés du champ électrostatique : Relation de Maxwell-Faraday : 𝑟𝑜⃗𝑡(𝐸⃗⃗ ) = ⃗0⃗ ↔ ∮ 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑙⃗ = 0 𝜌 𝑄 Relation de Maxwell-Gauss : 𝑑𝑖𝑣(𝐸) = 𝜀 ↔ ∯ 𝐸⃗⃗ . 𝑛⃗⃗𝑑𝑆 = 𝜀𝑖𝑛𝑡 𝑜 𝑜 𝐵 Relations entre le champ et le potentiel : 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑑(𝑉) ↔ ∫𝐴 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑙⃗ = 𝑉(𝐴) − 𝑉(𝐵) Le champ 𝐸⃗⃗ est dirigé vers les potentiels décroissants. Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles. Les propriétés de symétrie du champ électrostatique : Si la distribution de charges est invariante par une translation 𝑇, 𝐸⃗⃗ (𝑇(𝑀)) = 𝑇 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) = 𝐸⃗⃗ (𝑀) et 𝑉(𝑇(𝑀)) = 𝑉(𝑀) Si la distribution de charges est invariante par une rotation 𝑅, 𝐸⃗⃗ (𝑅(𝑀)) = 𝑅 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) et 𝑉(𝑅(𝑀)) = 𝑉(𝑀) Si la distribution de charges est invariante par une symétrie 𝑆 par rapport à un plan 𝐸⃗⃗ (𝑆(𝑀)) = 𝑆 (𝐸⃗⃗ (𝑀)) et 𝑉(𝑆(𝑀)) = 𝑉(𝑀) Si 𝑀 appartient à un plan de symétrie, 𝐸⃗⃗ (𝑀) appartient à ce plan. Si 𝑀 appartient à un plan d’antisymétrie, 𝐸⃗⃗ (𝑀) est perpendiculaire à ce plan. Flux du champ électrostatique : Si en géométrie sphérique 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 𝐸(𝑟)𝑢 ⃗⃗𝑟 , ∯ 𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 4𝜋𝑟 2 𝐸(𝑟) Si en géométrie cylindrique 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 𝐸(𝑟)𝑢 ⃗⃗𝑟 , ∯𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝐸⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 2𝜋𝑟ℎ𝐸(𝑟) Champ et potentiel créé par une boule de centre 𝑂, de rayon 𝑅 , chargé uniformément, de 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 charge 𝑄 : si 𝑟 > 𝑅 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟 2 𝑢 ⃗⃗𝑟 ; 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑂𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑟 𝑜 𝑜 𝑜 𝑜 Champ électrostatique créé par une nappe surfacique dans le plan 𝑥𝑂𝑦 chargée 𝜎 uniforme : 𝜎 Si 𝑧 > 0, 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 2𝜀 𝑢 ⃗⃗𝑧 𝑜 𝜎 Si 𝑧 < 0, 𝐸⃗⃗ (𝑀) = − 2𝜀 𝑢 ⃗⃗𝑧 𝑜 Condensateur plan Armatures de surface 𝑆, chargées ±𝑄 = 𝜎𝑆, de ddp 𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 , d’épaisseur 𝑒. 𝜀 𝑆 Capacité : 𝐶 = 𝑜𝑒 Charge : 𝑄 = 𝐶𝑈 𝜎 Champ entre les armatures : 𝐸⃗⃗ = 𝜀 𝑢 ⃗⃗𝑧 = 𝑈 𝑒 𝑉1 𝐸⃗⃗ 𝑉2 < 𝑉1 𝑜 𝑢 ⃗⃗𝑧 Force d’une armature sur l’autre : ‖𝐹⃗ ‖ = 1 𝑆𝜎2 2𝜀𝑜 1 1 𝑄2 Energie d’un condensateur : 𝑊𝐸 = 2 𝑄𝑈 = 2 𝐶𝑈 2 = 2 Energie électrostatique : La densité d’énergie électrostatique est : 𝜔𝐸 (𝑀) = L’énergie électrostatique : 𝑊𝐸 = ∭𝑀∈𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝜀𝑜 𝐸 2 (𝑀) 𝜀𝑜 𝐸 2 (𝑀) 2 𝐶 2 𝑑𝜏𝑀 𝑧
