Suites et séries I 1 Vocabulaire On a relevé 5 jours de suite la hauteur de pluie tombée à l’EABJM. On obtient les résultats suivants en mm (pour i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, hi désigne la hauteur relevée le i-ème jour ) : h1 = 5 h2 = 3 h3 = 8 h4 = 6 h5 = 4. Vocabulaire : Les nombres h1 , h2 , h3 etc. constituent une suite de nombres : h1 est le premier terme de la suite, h2 est le deuxième, ... Exercice 1. un = n2 + 2n. Pour n ∈ N, le n-ième terme d’une suite de nombres est donné par la formule 1. Calculer u1 , u10 et u100 . 2. Déterminer l’expression du (n + 1)-ième terme. Exercice 2. Une suite de nombre débute par 5, 9, 13, 17 , .... Déterminer, en fonction de n, une formule donnant son n-ième terme. 2 Symbole Σ Σ (sigma) est la majuscule grecque correspondant au S de notre alphabet latin. Il permet en mathématiques d’écrire efficacement une somme comportant un nombre important de termes. La hauteur d’eau totale tombée au cours des 5 jours à l’EABJM est h1 + h2 + h3 + h4 + h5 . Cette somme est facile à calculer mais elle est déjà un peu longue à écrire : imaginons qu’on ait relevé cette hauteur de précipitations pendant 100 jours ou plus... 5 X hi . Les mathématiciens préfèrent la noter i=1 Vocabulaire : i est un indice : il varie ici de 1 à 5 et c’est toujours un entier naturel. 5 X hi se lit “somme pour i variant de 1 à 5 des h (indice) i”. i=1 Traditionnellement, l’indice de sommation est noté i, j, k ou ℓ mais d’autres notations sont possibles. Exercice 3. Calculer les sommes suivantes après avoir indiqué le nombre de termes contenus dans chacune : 5 5 5 5 4 X X X X X (−1)k (a) 2i (b) (c) j (d) 2 (e) 3j n, n ∈ N k i=0 Exercice 4. k=3 j=0 On pose pour tout n ∈ N, vn = 3n et Sn = i=0 n X j=1 vk . k=0 1. Calculer v0 , v1 , v2 et v3 . 2. Calculer S0 , S1 , S2 et S3 . 3. Que vaut, pour n > 1, Sn − Sn−1 ? 1 IB SL MATH Suites et séries I Page 1/2 Au lieu d’écrire maintenant une somme avec des points de suspension, par exemple 1 + 12 + 13 + . . . + n1 (sommes des inverses des n premiers entiers naturels non nuls, n ∈ Z+ ), on utilise le symbole sigma. Ici, on effectue la somme des nombres k1 , pour k variant de 1 à n. Ainsi, n 1+ 1 1 1 X1 + + ... = 2 3 n k k=1 Exercice 5. Soit r ∈ R, r 6= 1. On pose A1 = (1 − r)(1 + r) ; A2 = (1 − r)(1 + r + r 2 ) ; A3 = (1 − r)(1 + r + r 2 + r 3 ). 1. Développer et réduire les nombres A1 , A2 , A3 . 2. Rappeler ce que vaut, par convention, r 0 . 3. n ∈ Z+ : écrire, en utilisant le symbole Σ, la somme 1 + r + r 2 + . . . + r n . 4. Que vaut le produit An = (1 − r)(1 + r + r 2 + . . . + r n ) ? 5. En déduire, pour r 6= 1, une expression réduite de la somme 1 + r + r 2 + . . . + r n . Que vaut cette somme lorsque r = 1 ? Propriété : Soit r un réel et n un entier naturel non nul. n . . . . . . . . . . . . si r 6= 1 X k r = k=0 . . . . . . . . . . . . si r = 1 Exercice 6. On considère un nombre r tel que −1 < r < 1. 1. En utilisant la calculatrice, que peut-on dire du nombre r n lorsque n prend des valeurs entières de plus en plus grande (n = 10, 50, etc.) ? 1 − rn 2. Dans les mêmes conditions, que peut-on dire du nombre ? 1−r Définition et propriété : Soit un nombre r tel que −1 < r < 1. • On dit que le nombre r n converge vers 0 lorsque l’entier n tend vers l’infini. +∞ X 1 1 − rn 1 rn = • Dans les même conditions, le nombre converge vers et on note 1−r 1−r 1−r n=0 Attention ! L’encadré ci-dessus n’est valable que si −1 < r < 1. 3 Quelques propriétés de l’addition revues avec le symbole Σ Propriétés : Soient n ∈ Z+ et x1 , x2 , . . ., xn , y1 , y2 , . . ., yn deux suites de nombres réels. λ désigne un nombre réel fixé. n n n n n X X X X X (xi + yi ) = xi + yi et λxi = λ xi . i=1 Exercice 7. i=1 i=1 i=1 i=1 Calculer, en utilisant la propriété et l’exercice 3 : 5 5 X X 3(−1)k (i + 2i ) et . k i=0 Exercice 8. A-t-on toujours n X i=1 1 IB SL MATH xi yi = n X i=1 xi ! n X i=1 Suites et séries I yi ! k=3 ? Page 2/2