Suites et séries I

Suites et séries I
1 Vocabulaire
On a relevé 5 jours de suite la hauteur de pluie tombée à l’EABJM. On obtient les résultats suivants
en mm (pour i∈ {1,2,3,4,5},hidésigne la hauteur relevée le i-ème jour ) :
h1= 5 h2= 3 h3= 8 h4= 6 h5= 4.
Vocabulaire : Les nombres h1,h2,h3etc. constituent une suite de nombres : h1est le premier
terme de la suite, h2est le deuxième, ...
Exercice 1. Pour n∈N, le n-ième terme d’une suite de nombres est donné par la formule
un=n2+ 2n.
1. Calculer u1,u10 et u100.
2. Déterminer l’expression du (n+ 1)-ième terme.
Exercice 2. Une suite de nombre débute par 5, 9, 13, 17 , .... Déterminer, en fonction de n, une
formule donnant son n-ième terme.
2 Symbole Σ
Σ(sigma) est la majuscule grecque correspondant au S de notre alphabet latin. Il permet en mathé-
matiques d’écrire efficacement une somme comportant un nombre important de termes.
La hauteur d’eau totale tombée au cours des 5 jours à l’EABJM est h1+h2+h3+h4+h5.
Cette somme est facile à calculer mais elle est déjà un peu longue à écrire : imaginons qu’on ait relevé
cette hauteur de précipitations pendant 100 jours ou plus...
Les mathématiciens préfèrent la noter
5
X
i=1
hi.
Vocabulaire : iest un indice : il varie ici de 1 à 5 et c’est toujours un entier naturel.
5
X
i=1
hise lit “somme pour i variant de 1 à 5 des h (indice) i”.
Traditionnellement, l’indice de sommation est noté i,j,kou ℓmais d’autres notations sont pos-
sibles.
Exercice 3. Calculer les sommes suivantes après avoir indiqué le nombre de termes contenus dans
chacune :
(a)
5
X
i=0
2i(b)
5
X
k=3
(−1)k
k(c)
5
X
j=0
j(d)
5
X
i=0
2(e)
4
X
j=1
3jn, n ∈N
Exercice 4. On pose pour tout n∈N,vn= 3net Sn=
n
X
k=0
vk.
1. Calculer v0,v1,v2et v3.
2. Calculer S0,S1,S2et S3.
3. Que vaut, pour n>1,Sn−Sn−1?
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Au lieu d’écrire maintenant une somme avec des points de suspension, par exemple 1 + 1
2+1 3+...+1 n
(sommes des inverses des npremiers entiers naturels non nuls, n∈Z+), on utilise le symbole sigma.
Ici, on effectue la somme des nombres 1
k, pour kvariant de 1 à n. Ainsi,
1 + 1
2+1 3+... 1 n=
n
X
k=1
1
k
Exercice 5. Soit r∈R,r6= 1. On pose A1= (1 −r)(1 + r);A2= (1 −r)(1 + r+r2);
A3= (1 −r)(1 + r+r2+r3).
1. Développer et réduire les nombres A1,A2,A3.
2. Rappeler ce que vaut, par convention, r0.
3. n∈Z+: écrire, en utilisant le symbole Σ, la somme 1 + r+r2+...+rn.
4. Que vaut le produit An= (1 −r)(1 + r+r2+...+rn)?
5. En déduire, pour r6= 1, une expression réduite de la somme 1 + r+r2+...+rn.
Que vaut cette somme lorsque r= 1 ?
Propriété : Soit run réel et nun entier naturel non nul.
n
X
k=0
rk=
............ si r6= 1
............ si r= 1
Exercice 6. On considère un nombre rtel que −1< r < 1.
1. En utilisant la calculatrice, que peut-on dire du nombre rnlorsque nprend des valeurs entières
de plus en plus grande (n= 10,50, etc.) ?
2. Dans les mêmes conditions, que peut-on dire du nombre 1−rn
1−r?
Définition et propriété : Soit un nombre rtel que −1< r < 1.
•On dit que le nombre rnconverge vers 0 lorsque l’entier ntend vers l’infini.
•Dans les même conditions, le nombre 1−rn
1−rconverge vers 1 1−ret on note
+∞
X
n=0
rn=1
1−r
Attention ! L’encadré ci-dessus n’est valable que si −1< r < 1.
3 Quelques propriétés de l’addition revues avec le symbole Σ
Propriétés : Soient n∈Z+et x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yndeux suites de nombres réels. λ
désigne un nombre réel fixé.
n
X
i=1
(xi+yi) =
n
X
i=1
xi+
n
X
i=1
yiet
n
X
i=1
λxi=λ
n
X
i=1
xi.
Exercice 7. Calculer, en utilisant la propriété et l’exercice 3 :
5
X
i=0
(i+ 2i)et
5
X
k=3
3(−1)k
k.
Exercice 8. A-t-on toujours
n
X
i=1
xiyi= n
X
i=1
xi! n
X
i=1
yi!?
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