Exercice E1 - XMaths

Exercice E1
1. On sait que le corps A est apparu le jour J0et que la période d’apparition de A est de 105 jours.
A apparaît donc aux dates J0+ 105xoù xest un nombre entier.
On sait que le corps B est apparu le jour J0+ 6 et que la période d’apparition de B est de 81 jours.
B apparaît donc aux dates J0+ 6 + 81yoù yest un nombre entier.
Pour qu’il y ait apparition simultanée de A et de B, il faut et il suffit que J0+ 105x=J0+ 6 + 81y,
c’est-à-dire : 105x−81y= 6 ou, après simplification par 3:35x−27y= 2.
uet vétant le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0et J1,
le couple (u;v)est solution de l’équation (E1) : 35x−27y= 2 .
2. (a) En utilisant l’algorithme d’Euclide avec les nombres 35 et 27, on peut écrire :
35 = 27 ×1 + 8 ;27 = 8 ×3 + 3 ;8 = 3 ×2 + 2 ;3 = 2 ×1 + 1
On en déduit successivement que :
1 = 3 −2 = 3 −(8 −3×2) = 3 ×3−8 = (27 −8×3) ×3−8 = 27 ×3−8×10 = 27 ×3−(35 −27) ×10
donc : 1 = 27 ×13 −35 ×10 = 35 ×(−10) −27 ×(−13)
(x0;y0) = (−10; −13) est un couple d’entiers relatifs, solution de l’équation (E2) : 35x−27y= 1 .
(b) D’après la question précédente on a : 35 ×(−10) −27 ×(−13) = 1 ,
on en déduit, en multipliant par 2 que : 35 ×(−20) −27 ×(−26) = 2 .
(u0;v0) = (−20; −26) est donc une solution particulière de l’équation (E1) : 35x−27y= 2 .
(c) •Supposons que (x;y)est un couple d’entiers relatifs solution de (E1). On peut alors écrire :
35x−27y= 2 ⇔35x−27y= 35 ×(−20) −27 ×(−26) ⇔35(x+ 20) = 27(y+ 26)
xétant un entier relatif, 35 divise 35(x+ 20), donc 35 divise 27(y+ 26).
Le théorème de Bézout appliqué à l’égalité du 2.(a) justifie que 35 et 27 sont premiers entre eux.
Comme 35 divise 27(y+ 26) et comme 35 est premier avec 27, le théorème de Gauss permet d’affirmer
que 35 divise (y+ 26).
Donc y+ 26 = 35kavec k∈Z, c’est-à-dire y=−26 + 35kavec k∈Z.
En reportant cette expression dans l’égalité 35(x+ 20) = 27(y+ 26), on obtient :
35(x+ 20) = 27 ×35k, donc x+ 20 = 27k, donc x=−20 + 27k.
On a donc démontré que si (x;y)est un couple d’entiers relatifs solution de (E1), on a :
x=−20 + 27ket y=−26 + 35k, avec k∈Z.
•Supposons que (x;y)est un couple d’entiers relatifs de la forme x=−20 + 27k;y=−26 + 35k,k∈Z.
Alors : 35x−27y= 35(−20 + 27k)−27(−26 + 35k) = 35(−20) −27(−26) = 2 .
Donc (x;y)est une solution de E1.
L’ensemble des solutions de E1est donc l’ensemble des couples (−20 + 27k;−26 + 35k), avec k∈Z.
(d) (u;v)est la solution de E1pour laquelle uet vsont des entiers naturels les plus petits possibles.
On doit donc avoir −20 + 27k>0et −26 + 35k>0avec kle plus petit possible.
On obtient k= 1 et (u;v) = (7; 9) .
3. (a) On sait J1−J0= 105u= 6 + 81v. On a 105u= 105 ×7 = 735 (et 6 + 81v= 6 + 81 ×9 = 735)
735 jours s’écouleront donc entre J0et J1.
(b) On peut écrire : 735 = 366 + 365 + 4.
Deux années (dont une bissextile) et quatre jours séparent donc J1de J0.
D’autre part 735 = 7 ×105.105 semaines séparent donc J1de J0.
Sachant que le jour J0est le mardi 7décembre 1999, on en déduit que :
Le jour J1est le mardi 11 décembre 2001 .
(c) Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, la prochaine conjonction des deux astres se produira pour la
valeur k= 2, c’est-à-dire x=−20 + 27 ×2 = 34 et y=−26 + 35 ×2 = 44 .
On obtient alors J2−J0= 105 ×34 = 3570.
Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, il devra attendre 3570 jours à partir de J0ou
2835 jours à partir de J1.
http://xmaths.free.fr Terminale S : Arithmétique - Exercices page 1/1