TS - DEVOIR N°1 A RENDRE LE VENDREDI 15 SEPTEMBRE 2006

ARITHMETIQUE : EXERCICES
Exercice 2 (Centres étrangers, goupe 1 – 1999)
Le but de cet exercice est d’utiliser les solutions d’une équation à deux inconnues entières
pour résoudre un problème dans l’espace.
1. a. Déterminer un couple (x0, y0) d’entiers relatifs solution de l’équation 48x + 35y = 1.
(On pourra utiliser l’algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres.)
b. Déduire de a. tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de cette équation.
2. L’espace étant rapporté à un repère orthonormal dont on donne le vecteur u de
coordonnées (48 ; 35 ; 24) et le point A(- 11 ; 35 ; - 13).
a. Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l’ensemble () des points M
de l’espace, de coordonnées (x ; y ; z) tels que u .AM = 0.
b. Soit (D) la droite intersection de () avec le plan d’équation z = 16.
Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à
l’intervalle [- 100 ; 100].
En déduire les coordonnées du point de (D), à coordonnées entières, situé le plus près de
l’origine.
Exercice 2
1. a. L’équation 48x + 35y = 1 admet au moins un couple d’entiers relatifs (x0 ; y0) solution car les nombres
48 et 35 sont premiers entre eux comme le montrent les divisions successives suivantes, le dernier reste non
nul étant égal à 1.
48  35  1  13
48  35  1  13
35  13  2  9
48  35  1  13


 35  13  2  9  
 48  8  35  11 - 1

13  9  1  4
13  2  9  3 - 1 35  3  13  8  1

9  4  2  1
Donc 48(- 8) + 3511 + 1. On en déduit qu’un couple (x0 ; y0) solution est le couple : (- 8 ; 11).
b. Si (x ; y) est un couple d’entiers relatifs solution alors :
48x + 35y = 48(- 8) + 3511  48(x + 8) = 35(11 – y)
35 48(x  8)

48 35(11 - y)
35 x  8

48 11 - y
Ce dernier système découle du théorème de Gauss, les entiers 35 et 48 étant premiers entre eux.
Par conséquent, il existe un couple (k ; k’) d’entiers relatifs tel que :
x = 35k – 8 et y = 11 – 48k’.
Réciproquement, si (x ; y) = (35k – 8 ; 11 – 48k’) où (k ; k’) 2 alors,
48x + 35y = 1  48(35k – 8) + 35(11 – 48k’) = 1
 4835(k – k’) = 0
 k = k’.
En conclusion,
les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions sont les couples (35k – 8 ; 11 – 48k) où k .
2. a. Le vecteur u (48 ; 35 ; 24) étant non nul l’ensemble des points M de l’espace tels que u . AM = 0 est
le plan passant par A et de vecteur normal u .
L’expression analytique du produit scalaire permet d’écrire que :
u . AM = 0  48(x + 11) + 35(y – 35) + 24(z + 13) = 0.
Donc une équation cartésienne du plan () s’écrit :
48x + 35y + 24z – 385 = 0.
b. Le plan d’équation z = 16 a pour vecteur normal k . Les vecteurs u et k ne sont pas colinéaires donc
les deux plans sont sécants suivant une droite (D).
M désignant un point de coordonnées (x ; y ; z),
z  16
z  16
.
M  (D)  

48x  35y  24z - 385  0 48x  35y  1
On recherche alors les points M de cette droite dont les coordonnées sont telles que :
x = 35k – 8, y = 11 – 48k et z = 16, avec k 
en utilisant les résultats de la question 1. b.
Il reste maintenant à déterminer les entiers relatifs k tels que :
-100 ≤ 35k – 8 ≤ 100 et – 100 ≤ 11 – 48k ≤ 100
qui est encore équivalent à : 35(- 2) – 22 ≤ 35k ≤ 353 + 3 et 48(- 1) - 41 ≤ - 48k ≤ 482 + 15.
Par conséquent les entiers relatifs k solutions sont : - 1, 0, 1 et 2.
Ainsi, les points de (D) répondant à la question ont pour coordonnées respectives :
(- 43 ; 59 ; 16), (- 8 ; 11 ; 16), (27 ; - 37 ; 16) et (62 ; - 85 ; 16).
Et le point de (D) le plus proche de l’origine du repère est :
le point de coordonnées (_ 8 ; 11 ; 16).