DS N°5 corrigé

2005/2006 7/02/2006
Devoir sur veilléN°5Ter minaleSspé(2heur es).
Exercice1: Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité  (Bac2001)(10points)
UnastronomeaobservéaujourJ0 lecorpscélesteA,quiapparaîtpériodiquementtousles105
jours.Sixjours plustard(J0 +6),ilobservelecorpsB,dontlapérioded'apparitionestde81
jours.OnappelleJ1 lejourdelaprochaineapparitionsimultanéedesdeuxobjetsauxyeuxde
l'astronome.LebutdecetexerciceestdedéterminerladatedecejourJ1.
1. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1.
Démontreravecprécisionquelecouple(u;v)estsolutiondel'équation(E1): 35x–27y=2.
2.a.Déterminer uncoupled'entiersrelatifs(x0;y0)solutionparticulièredel'équation(E2):
35x–27y=1.
b.Endéduireunesolutionparticulière(u0 ;v0)de(E1).
c.Déterminertouteslessolutionsdel'équation(E1).
d.Déterminerlasolution(u;v)permettantdedéterminerJ1.
3.a.Combiendejourss'écoulerontentreJ0etJ1?
b.LejourJ0 étaitlemardi7décembre1999,quelleestladateexactedujourJ1?(L'année2000
étaitbissextile.).
c. Si l'astronome manquece futur rendezvous, combiende joursdevra tilattendre jusqu'à la
prochaineconjonctiondesdeuxastres?
Exercice2: Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité (10points)
Danstoutl’exercicenestunentiernaturelsupérieurouégalà2.
1. Prouverque:a
n –1=(a–1)(a n1 +a n2 +…….+a+1)pourtoutréela.
2. Décomposer211 –1enproduitdenombrespremiers.
3. OnappellenombredeMersennederangnetonnoteMn lenombre2
n–1.
a. QuelssontlesnombrespremiersparmilesnombresdeMersennepourn £6?
b. ProuverquesiddivisenalorsMnestdivisiblepar2
d–1.
c. EndéduirequesiMnestpremieralorsnestpremier.
4. Sipestpremier,Mp estilpremier?
5. Onsupposequel’entierbestsupérieurà1.Prouverquesib
n–1estpremieralors
nécessair ementb=2etnestpremier.

2005/2006 CORRIGE
Exercice1: 1.L’astreArepasseratousles105xjoursaprèsJ0 etl’astreBpasse6joursaprèsJ0 puis
tous les 81y jours donc le nombre de jours séparant J0 du jour d’une apparition simultanée
(=conjonction)vérifie:105x=81y+6 endésignantparxlenombredepériodeseffectuéesparAetpar
ylenombredepériodeseffectuéesparB.D'oùensimplifiantpar3 : 35x –27y=2.
2.a)Ona35=27 ´1+8
27=8 ´3+3 8=3 ´2+2 3=2+1 d'où:1=3–2=3[8–2 ´ 3] =3 ´3–8
1=3[27–3 ´8] –8=3 ´27– 10 ´8
1=3 ´27–10[35–27] =–10 ´35+13 ´27d'où 10 ´35+13 ´27=1.
UnesolutionparticulièredeE2estdonclecouple(x0 ;y0)=(10;13);
b)OnendéduitunesolutionparticulièredeE1 quiestlecouple(u0;v0)=(20;  26).
c)(u;v)estsolutiondeE1 sietseulementsi:35(u–u0)=27(v–v0).
27et35sontpremiersentreeuxet27diviseu–u0 doncu–u0=27k, k Î ZZ etv –v0=35k.
Réciproquement,lescouples( 20+27k; 26+35k)oùk Î ZZsontsolutionsdeE1.
d)Oncherchelapluspetitesolutionavecu>0,v>0quialieupourk=1etquidonne
u=7,v=9.
3.a)etb)LenombredejoursécoulésentreJ0 etJ1 estdonc105 ´7ou9 ´81+6 c'estàdire735jours
or735=2 ´365+5,2000étantbissextile,ona2 ´ 365+1quiestle7décembre2001,doncladate
estlemardi11décembre2001.Unmardicar365=52 ´7+1etilyadoncundécalagede7joursdela
semaineexactement: 2+5.
c)Pourk=2,onau=34etv=44.La2econjonctionseproduitdonc3570joursaprèsJ0,donc2835
joursaprèsJ1.
Exercice2:
1. Plusieursméthodessontpossibles.Envoiciune:sia=1l’égalitéestvraie.
Supposonsa ¹1onsaitque(a
n1 +a n2 +…….+a+1)=1–a
n
1–a (sommedetermesconsécutifs
d’unesuitegéométriquederaisona)d’oùlerésultat.
2. 211 –1=23 ´89
3.
a. M2 =3,M3 =7etM5 =31sontpremiers.M4 =15etM6 =63sontcomposés.
b. Soitqtelquen=d ´q(q ³ I).
Alorscomme 2
n –1=(2 d
)
q –1=(2
d–1)((2 d
)
q1+ (2
d
)
q2+.. +1)enutilisant1.avec
a = (2
d
)etn= q et comme( (2
d
)
q1 + (2
d
)
q2 + ... ... +1)est un entiercomme sommede
produitsd’entiers,onendéduitque 2
n –1estdivisiblepar2 d–1.
c. Parsuite,siMn estpremieralorsnestpremiercardansb.onaprouvélacontr aposée:
sinnonpremieralorsMnnonpremier.
4. D’après2.,M11 n’estpaspremieralorsque11estpremier.
5. Onsaitd’après1. que b
n –1estdivisibleparb–1 pourtoutentierb,doncsib n–1estpremier
alorsb–1=1donc b=2etnestpremierd’après3.c.